IL CAMPO MAGNETICO
3.1 Il campo magnetico radiale
Nei motori ad effetto Hall il campo magnetico riveste un ruolo fondamentale per lo sviluppo dei fenomeni responsabili della produzione della spinta e merita quindi una particolare attenzione.
Il campo magnetico, che è inversamente proporzionale al raggio di Larmor r , agisce direttamente sulle traiettorie degli elettroni e degli ioni che si
Lmuovono all’interno del canale del motore, in particolare deve essere tale da garantire valori del raggio di Larmor sufficientemente piccoli per gli elettroni, cosi da imprigionarli nella parte del canale dove il campo magnetico è più intenso e contemporaneamente impedire la loro collisione con le pareti, e sufficientemente grande per gli ioni affinché le loro traiettorie rimangano pressoché rettilinee ovvero:
( ) ( )
L ioneL elettroner L
r L
dove L è la profondità della camera di accelerazione.
Approssimando la velocità elettronica normale al campo magnetico w
⊥con la velocità termica media possiamo scrivere:
e
8
e
c = kT π m ≈ w
⊥(3.1)
ove con , k m
ee T si è indicato rispettivamente la costante di Boltzmann,
ela massa dell’elettrone e la temperatura elettronica.
Possiamo quindi affermare che il raggio di Larmor per gli elettroni dipende solamente dall’intensità del campo magnetico B e dalla temperatura elettronica T :
e( )
L elettrone er T
∝ B (3.2) Questa relazione ci autorizza ad affermare che la condizione
( ) r
L elettroneL può essere verificata in un ampio intervallo di temperature elettroniche con piccole variazioni del campo magnetico e la necessità di massimizzare la ionizzazione per collisione tra neutri ed elettroni determina un limite inferiore per la temperatura elettronica, equivalente approssimativamente al potenziale di ionizzazione del propellente.
Per quanto riguarda la disuguaglianza ( ) r
L ioneL risulta molta importante la massa del propellente. Maggiore è la massa atomica maggiore è il raggio di Larmor e più piccola risulta la curvatura della traiettoria assunta dagli ioni. Ecco dunque che la scelta dello Xenon (131 a.m.u.) è preferibile rispetto ad altri gas come Argon (40 a.m.u.) e Krypton (84 a.m.u.).
Un limite al rendimento dei motori ad effetto Hall è dato dalla corrente lettronica. E’ per questo che per migliorare le prestazioni si cerca di porre l’anodo il più lontano possibile dalla zona di ionizzazione.
Fù Morozov a dimostrare per primo che il profilo del campo magnetico radiale ha una forte influenza sulle prestazioni del propulsore. Se il gradiente del campo magnetico è tale da essere positivo lungo il canale di accelerazione e quindi monotono crescente verso l’uscita del motore, allora il rapporto tra la corrente di ioni e quella di elettroni è approssimativamente del 90%. Questa percentuale si abbassa al 60%, peggiorando le prestazioni, nel caso di gradiente relativamente piccolo o nullo e addirittura e addirittura si arriva a percentuali inferiori al 50% se il gradiente diventa negativo.
Più in particolare Morozov analizzò tre particolari situazioni:
• Gradiente radiale positivo ∇
zB
r> : il campo magnetico cresce 0
dall’anodo fino alla sezione massima posta presso l’uscita della
camera di accelerazione;
• Gradiente radiale costante ∇
zB
r≈ : il campo magnetico è 0 all’incirca costante lungo il canale;
• Gradiente radiale negativo ∇
zB
r< : il campo magnetico 0 decresce dall’anodo verso l’uscita del canale;
Si deduce quindi che la migliore condizione possibile è rappresentata da un priofilo del campo magnetico interno al motore tale da produrre l’intensità maggiore in prossimità del piano d’uscita.
Il problema fu affrontato anche teoricamente e fu mostrato che un plasma che passa attraverso una zona a gradiente negativo è instabile a causa dell’attrito tra le varie parti della nuvola elettronica a velocità angolari diverse producendo onde magnetofoniche di deriva.
Figura 3. 1 Origine delle onde magnetofoniche di deriva
In considerazione di questi studi i moderni HET soddisfano la condizione
z
B
r0
∇ > .
Una buona approssimazione del campo magnetico ideale si ottiene attraverso il seguente modello matematico il quale rispetta la condizione di gradiente positivo fino al piano di uscita dove si raggiunge il massimo dell’intensità.
( )
0( )
max ( max)2 z zB z
r= B z + B e
− −(3.3)
Molto importante, nel dimensionamento di un propulsore HET, è la conoscenza della dinamica di moto degli elettroni.
Nonostante i meccanismi che generano la corrente elettrica non siano ancora completamente noti, questa può essere controllata modellando opportunamente la forma e l’intensità del campo magnetico.
Morozov dimostrò che la differenza di potenziale elettrico tra due linee consecutive del campo magnetico è molto piccolo e quindi possono essere considerate, in prima approssimazione, come linee equipotenziali con un ordine di precisione di kT e .
eLa funzione:
( )
0
e
ln
eth
e