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Il campo magnetico

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Academic year: 2021

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(1)

Il campo magnetico

Un campo magnetico può essere creato da cariche elettriche in moto, cioè da una corrente, oppure da un magnete permanente

Sperimentalmente si trova che esistono due polarità nel magnetismo polo nord e polo sud: poli uguali si respingono, poli opposti si attraggono. A differenza del campo elettrico, per il campo magnetico non è stato ancora isolato il monopolo magnetico, anche se le teorie lo hanno ipotizzato; come conseguenza non possiamo definire il campo magnetico utilizzando una sonda di prova.

L’interazione elettrica e l’interazione magnetica sono due aspetti diversi della stessa interazione, l’interazione elettromagnetica

Sperimentalmente si trova che una carica elettrica in quiete in un campo magnetico non subisce interazioni che ne alterino lo stato di moto, mentre una carica elettrica in moto in un campo magnetico risente di una forza distinta da quella dovuta all’interazione gravitazionale e a quella elettrica

(2)

La forza dovuta al campo magnetico si determina sperimentalmente osservando l’azione del campo su diverse particelle in condizioni di moto differenti. Si trova che

B v

q

F r

B

r r

×

=

La relazione così trovata ci dice che il campo magnetico agisce solo su particelle dotate di carica e già in moto con velocità v.

Inoltre possiamo notare che:

¾ FB = 0 se v⎥⎪B

¾ FB ⊥ v e B ⇒ FB non compie lavoro ⇒ E si conserva

¾ la particella si muove su una traiettoria circolare in un piano ⊥ B Forza di Lorentz

(3)

Interazione di un fotone γ con un elettrone in una camera a bolle del LBL (Lawrence Berkeley Laboratory). La camera contiene idrogeno liquido ed è immersa in un campo magnetico uscente ⊥ al foglio.

Nell’urto γ e-, viene prodotta una coppia e+ - e- (positrone ed elettrone): le due

particelle, avendo carica opposta, vengono deviate in direzioni opposte dal campo

magnetico. Il moto a spirale è determinato dalla perdita di energia delle particelle che interagiscono con gli atomi di idrogeno

v FB B

e+ v B

FB

e-

(4)

Infine si nota che B non dipende né da q né da v e quindi descrive una proprietà caratteristica del campo magnetico detta intensità del

campo magnetico o induzione magnetica.

Se abbiamo contemporaneamente campo elettrico e magnetico, la forza totale agente sulla particella di carica q e in moto con velocità v vale

( E v B )

q

F r r r r

× +

=

Questa forza è detta, a volte, forza di Lorentz

[ ]

B = N

(

Cms1

)

= kgs1C1 = T 1T =104G

L’unità di misura dell’intensità del campo magnetico è il Tesla (T) o il Gauss (G)

(5)

Anche per il campo magnetico possiamo definire le linee di forza che sono sempre tangenti alla direzione del campo e la cui densità è

proporzionale all’intensità del campo

A differenza del campo elettrico, non essendo stato ancora identificato il monopolo magnetico, le linee di forza sono continue e passano sempre all’interno della sorgente del campo magnetico, uscendo dal polo nord ed entrando in quello sud. Polo nord terrestre è in realtà un polo sud, o polo nord geomagnetico e le linee di forza entrano nel polo nord terrestre ed escono da quello sud

(6)

Esperimento di J.J. Thomson

Esperimento del 1897 a Cambridge, porta alla scoperta dell’elettrone Thomson usa un tubo a raggi catodici in cui sono presenti un campo E ed un campo B ⊥ tra di loro (campi incrociati).

Nel tubo c’è il vuoto ed il filamento incandescente emette particelle cariche (risulteranno essere degli e-) che vengono accelerate dalla V.

Le particelle passano per C, entrano in un zona in cui ci sono E e B ed infine arrivano sullo schermo S che è fluorescente. Regolando E e B si determina il punto finale sullo schermo S

(7)

Thomson procedette nel seguente modo

¾ fece passare le particelle attraverso il tubo con E = 0 e B = 0

ottenendo così la posizione non deflessa del fascio sullo schermo

¾ applicò E e misurò la deflessione su S

¾ mantenendo E, applicò B in modo da bilanciare la deflessione dovuta ad E

La deflessione dovuta ad E è data da

2 2

2mv

yE = qEL Thomson ricavò che la deflessione era

quella di una particella con carica negativa Il campo B applicato bilancia E → si determina la velocità

( )

B

v E vB

q vB

q E

q = sin 90o = =

yE L B q

m

2

2

= 2

q m

(8)

L’effetto Hall

Hall fece questo esperimento nel 1879 a 24 anni durante il dottorato con Rowland: studio del moto dei portatori di carica in un conduttore

immerso in campo magneticoportatori di carica sono gli elettroni Corrente i in un conduttore immerso

in campo magnetico B ⊥ al piano del conduttore ed entrante

Gli elettroni sono deviati verso destra dalla forza di Lorentz (FB), dopo un certo tempo si ha un accumulo di carica sul lato destro del conduttore e un conseguente E da sinistra a destra del conduttore, la ΔV (d.d.p. di Hall) vale

(9)

Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 9

Dopo un certo tempo (teq) il campo elettrico dovuto alla d.d.p. di Hall esercita sugli elettroni una forza (FE) uguale ed opposta ad FB e sugli elettroni agisce una forza risultante nulla.

Misurando il valore della d.d.p. si trova quale lato è a V maggiore e si determina la carica dei portatori di carica.

Se la sezione trasversale della lamina vale A, il suo spessore è l=A/d, e otteniamo

V el

Bi eldE

Bi eAE

n Bi

neA i ne

v j B

ev eE

F

FE B d d

= Δ

=

=

=

=

=

= r ;

r r

r

In questo modo si ricava la densità dei portatori di carica, oppure si può ricavare la velocità di deriva vd. Si fa muovere la lamina

conduttrice con velocità variabile in verso opposto a quello dei portatori di carica fino a che la d.d.p. Hall scompare, a questo punto vd è uguale alla velocità della lamina rispetto al laboratorio.

(10)

Carica in moto circolare

Prendiamo una particella in moto circolare uniforme, |v| = cost., sulla particella deve agire una forza risultante centripeta, ovvero sempre ⊥ a v e costante in modulo, forza di Lorentz ha queste caratteristiche.

Elettroni in moto circolare uniforme in un campo magnetico ⊥ al foglio ed uscente

Analizziamo il moto delle particelle cariche

(11)

Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 11

ciclotrone di

pulsazione

2

frequenza 2

1

periodo 2

v v

2 v

2

nza circonfere della

raggio v

v v v

e

v2 2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

m B q m

qB m qB T

qB m qB

m T r

qB r m

m r B

q B

q r F

m F

a m F

r r r r

ω πν

ω ν π

π π

π

Si nota che, per velocità non relativistiche, T, ν e ω non dipendono da v All’aumentare della velocità, aumenta anche il raggio della traiettoria.

Notiamo inoltre che tutte le particelle con lo stesso rapporto m/q hanno il medesimo T; se q > 0 la rotazione avviene in verso antiorario, se q < 0 in verso orario, osservando nella direzione di B.

(12)

Consideriamo ora il caso in cui la particella carica abbia una componente della velocità parallela alla direzione del campo magnetico, la traiettoria risultante è un’elica.

φ φ

e sin

|| vcos v v

v = =

v|| determina il passo dell’elica, v⊥ il raggio

(13)

Come applicazioni di questo effetto abbiamo la bottiglia magnetica di cui un esempio sono le fasce di radiazione di van Allen e il fenomeno dell’aurora polare.

(14)

Spettrometro di massa (Dempster)

Prendo delle particelle con carica +q (ioni) prodotte da una sorgente S e le accelero attraverso una d.d.p. ΔV, poi le faccio entrare in una zona in cui c’è un campo magnetico B ⊥ al foglio ed uscente. La velocità v con cui gli ioni entrano nella zona in cui c’è B si ricava dalla conservazione dell’energia (gli ioni escono dalla sorgente con

velocità trascurabile)

2

2 2

2 1

q m V v q

V q mv

E EK p

Δ

Δ

=

Δ

=

=

2 V

q Δ

=

(15)

Notiamo che il rapporto tra carica e massa di uno ione dipende solo da B, ΔV ed r, quindi, dato che B e ΔV sono noti per costruzione, la misura di r ci il rapporto (q/m) . Grazie allo spettrometro di massa sono stati scoperti gli isotopi (12C, 13C).

Inoltre, misurando q/m al variare di v si trova che m = m0/(1-v2/c2)1/2, pertanto q risulta essere una quantità invariante, ovvero ha lo stesso valore per tutti gli osservatori in moto relativo uniforme.

(16)

Il ciclotrone

Il primo ciclotrone fu realizzato nel 1932 da Lawrence

Gli elementi fondamentali del ciclotrone sono una sorgente di ioni S posta al centro dell’acceleratore, due regioni (D) di spazio, delimitate da superfici conduttrici, dentro le quali c’è il vuoto. Perpendicolarmente al piano in cui si svolge il moto degli ioni, esiste un campo magnetico B uniforme e uscente dal foglio.

Tra le due D è applicata una d.d.p. ΔV dell’ordine di 104 Volt. Ioni positivi prodotti dalla sorgente S entrano nella prima D, nel cui interno non esiste campo elettrico, ma solo campo magnetico; come conseguenza gli ioni vengono deflessi e seguono una traiettoria circolare il cui

(17)

Prof. F. Soramel Elementi di Fisica 2 A.A. 2010/11 17

Affinché ad ogni passaggio tra le D lo ione trovi un campo accelerante che aumenta la sua energia, il valore del campo elettrico tra le due D deve variare nel tempo con la stessa frequenza con cui gli ioni si muovono nel campo magnetico (pulsazione di ciclotrone), quindi

m qB

inoltre

0 sin =

=V ωt ω

V

Dopo mezzo giro la polarità delle D si è invertita. Ad ogni salto tra le D il raggio della traiettoria aumenta, mentre ω rimane costante.

Quando si arriva al bordo delle D (raggio della traiettoria R) e velocità degli ioni pari a vMAX, si estrae il fascio di ioni. Avremo

m BR v q

B v q

R m MAX MAX

⎜ ⎞

= ⎛

= e

2 2 2

2 1 2

1 B R

m q q mv

EK MAX

⎜ ⎞

= ⎛

=

Notiamo che l’energia cinetica non dipende dalla d.d.p. ΔV tra le D.

(18)

All’aumentare dell’energia, aumenta la velocità, quando arriviamo a velocità relativistiche, la massa m varia e di conseguenza varia anche la pulsazione di ciclotrone e non abbiamo più risonanza tra moto degli ioni e d.d.p.

Consideriamo un protone da 50 MeV ( v/c ≥ 10%), a causa degli effetti relativistici si ha che la frequenza di ciclotrone diminuisce.

Se invece consideriamo un protone da 500 GeV in un campo magnetico da 1.5 T, otteniamo che il raggio della traiettoria descritta dal protone è pari a 1,1 km.

Protosincrotrone: B e νosc variano nel tempo in modo che νcicl = νosc, la traiettoria diviene ora circolare, allora l’acceleratore sarà un anello di raggio pari a quello della traiettoria seguita dai protoni. Per arrivare ad alte energe abbiamo bisogno comunque di anelli di raggio elevato.

Protosincrotone del Fermilab ha un raggio di 6.3 km e accelera protoni ad energie dell’ordine del TeV = 1012 eV.

(19)

Forza magnetica su di una corrente

dl

i

B j

uT

S

Consideriamo un conduttore attraverso il quale fluisce una corrente i dovuta al moto delle cariche con velocità v.

Se abbiamo n portatori di carica per unità di volume, nell’unità di tempo attraverso la sezione S passano nv particelle.

S j nqvS

S v nq S

j i

v nq

j r r r r r r r

r = ⇒ = • = • = ||

Pongo il conduttore in una zona in cui c’è campo magnetico B uniforme, su ogni carica in moto agirà la forza di Lorentz F = q vxB, quindi per unità di volume, avremo

B j

B v

nq

f r r r r r

×

=

×

=

(20)

Per un volume infinitesimo dV sarà

dV B j

dV f F

d r r r r

×

=

=

E per tutto il volume

×

=

V

dV B j

Fr r r

Nel caso del filo, dV = Sdl, quindi

( ) = ∫

× = × = × ×

=

=

=

=

=

l T q

i jS l T

l T

u j j

l

j B Sdl j u B Sdl jS u B dl i u B dl

F

T

r r r r r r

r r

r

r r cost

cost

(21)

Consideriamo un conduttore rettilineo in un campo magnetico uniforme

L

uθT B

x z y

i

uT e B sono vettori costanti

L B u

i dl

B u

i

F T

T L

r r r r

r = ×

= ×

F è sempre ⊥ a B e uT, il suo modulo vale θ

sin iBL Fr =

( )

(

T

)

MAX

T

F iBL

F B

u

F B

u

=

=

=

=

=

r r r r 2

0

||

0 θ π

θ

Su questo principio sono basati i motori elettrici

(22)

Consideriamo una spira rettangolare di lati L ed L’, percorsa da corrente i ed immersa in un campo magnetico uniforme B che forma un angolo θ con un

L

L’

i B

un F’

F’

F

F θ

τ

Sui lati L’ agiscono forze F’ uguali in modulo, ma opposte in verso

θ cos '

' iBL F =

Il loro effetto è di tentare di deformare il circuito, ma non danno origine a coppie a momenti.

Sui lati L invece, abbiamo forze F uguali in modulo, opposte in direzione ed agenti su rette d’azione diverse, esse pertanto danno origine ad una coppia di forze e ad un momento.

( )( θ ) ( ) θ

τ

'sin sin

iBL L ' iS B

iBL F

S LL =

=

=

=

(23)

Definisco ora il vettore

θ μ

τ μ

τ μ

sin

e

spira della

piano al

B B

u iS

n

=

×

=

= r r r

r r

μ è il momento magnetico di dipolo della spira percorsa da corrente.

In analogia con quanto visto per i dipoli elettrici, abbiamo che l’energia magnetica di una spira percorsa da corrente è

B U

mag

= − μ r • r

L’unità di misura di μ è

[ ]

μ = J /T = m2s1C

(24)

Legge di Ampére-Laplace

i

ur

dB uT dl

P

r dl u i u

K

Br = m

rT ×2 rr

Sperimentalmente si è scoperto che un filo percorso da corrente crea un campo

magnetico nello spazio circostante.

Consideriamo un tratto di filo di lunghezza dl, nel punto P a distanza r dal filo, il campo magnetico vale dB ed ha la direzione indicata in figura. Il valore di B è espresso dalla

legge di Ampére-Laplace Km è una costante

vuoto del

magnetica ta'

permeabili dove

10

oppure

10

0 0

2 7

2 7

=

=

= ×

=

K

r dl u i u

B mkgC

TmA

Km T r

r r r

π μ μ

r

(25)

Consideriamo ora una corrente rettilinea molto lunga e sottile

Il campo prodotto da ds nel punto P è parallelo al versore uθ = uT x ur, quindi dB è sempre ⊥ al piano determinato da P e dalla corrente i.

In P dB è tangente al cerchio di raggio R. Per il modulo di B ricaviamo

ur uT

( ) ( )

R d i

R d i

R R i

B

d R

ds

d d

ctg d Rctg Rctg

R s r

r ds i

B u

uT r

π θ μ

π θ θ μ

θ θ ϑ

π μ

θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ π

θ π

θ μ

π π

sin 2 4

sin sin 1

sin 4

sin 1

sin 1 sin

; cos

sin ;

sin sin 4

0 0

0 0 2

2 2

0

2

2 2

0

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

×

+

r r

π θ

μ u R Br i r

2

= 0

Vettorialmente abbiamo

Biot-Savart

(26)

Le linee di forza sono cerchi concentrici con la corrente e ⊥ ad essa.

In un acceleratore lineare il fascio delle particelle accelerate è un filo di ioni che produce sia campo elettrico che campo magnetico

0 0 2

2 0

0

0 0

1 e 1

2 2

ε μ λ

ε μ

π μ πε

λ

θ

=

×

=

×

=

=

=

c E

c v B E

i u B

r u B i

r u E

T r

r r r

r r r

r r r r

Forze tra correnti

Consideriamo due fili infiniti, sottili, ║, percorsi dalle correnti concordi ia e ib e posti a distanza d. Il filo a produrrà sul filo b un campo magnetico Ba dato da

d a

b T b

a b

T b ba

a

a F i u B ds u B u B

d

B = μ2π0i r =

r × r ; r × r = r

uT

ud

(27)

Analogamente per il filo a si trova

b a

a b

a d

ab s s s

d i u i

F ⎟ =

⎜ ⎞

= ⎛ con 2

0π r μ

r

Troviamo che due fili percorsi da correnti concordi si attraggono, mentre due fili percorsi da correnti discordi si respingono.

Questo risultato ha applicazioni nei motori elettrici.

Unità di misura nel sistema SI

Per la scelta della quarta grandezza fondamentale possiamo partire da due leggi diverse, la legge di Coulomb oppure l’interazione tra due correnti rettilinee

2 2 1 2

2

1 2

l

r i K i

r F q K q

F = e = m

Abbiamo due costanti, Ke e Km, in realtà, però, abbiamo un solo grado libertà poiché abbiamo introdotto una sola grandezza fisica, la carica q

(28)

Nel 1960 si stabilì che Km = 10-7 e venne scelto l’Ampére come quarta grandezza fondamentale

1A = corrente che, circolando in due conduttori rettilinei ║, separati da una distanza di un metro, risulta in una forza su ciascun conduttore di 2 · 10-7 N per metro di lunghezza del conduttore

1C = quantità di carica che fluisce attraverso una sezione trasversale qualsiasi di un conduttore in un secondo quando la corrente è 1 A La scelta di A piuttosto che C, è dovuta al fatto che è più facile preparare uno standard per la corrente. Dal punto di vista fisico, il concetto di

carica è più fondamentale di quello di corrente.

2 0

0 0

0

costante 1

4 4

1 c

K K

m

e = = = =

μ ε μ

π πε

(29)

Campo magnetico creato da una spira circolare di corrente

Calcoliamo il campo B lungo l’asse z usando la formula di Ampére – Laplace, ogni elemento infinitesimo ds della spira produce in P un

campo dB (uT è il versore tangente a ds)

2 0

2 0

4

r da e P da o determinat piano

al sempre

1 4

r i ds dB

u u

r ds u i u

B d

r T

r T

π μ

π μ

=

=

×

= × r r

r r r

Possiamo ora scomporre dB nelle due componenti dB e dB, notiamo che le componenti dB si elidono a due a due, quindi il campo totale in P sarà la somma delle sole componenti dB e sarà ║ all’asse z

( 2 2)1/2

3 2 2 0

0 3

|| 0 3

|| 0 r R

2 costante 4

r

cos 4 z

r ds iR

r dB iR

B r ds

iR r

dB R dB

dB = α = = μπ = ==πR μπ = μ = +

(30)

( )

per ipunti sull'asse z

2 2 2 3/2

2 0

z R

R B i

= μ +

Ricordando ora che il momemto magnetico di dipolo vale μ = iSun, si ha

(

2 2

)

3/2

0

2 R z

B = +μ

π μ

Se R << z

( )

3 0 3

0 3

0 2

4 1

dipolo un

di elettrico campo

il con analogia

in 2

4

2 r

E p z

B z r

πε μ

π μ μ

π

μ = =

=

Le linee di forza si chiudono su se stesse e sono concatenate alla corrente ⇒ campo solenoidale (campo che non ha sorgenti puntiformi)

(31)

Campo magnetico di un circuito solenoidale

In ogni spira circola la stessa corrente i, quindi il campo totale sarà la somma dei campi creati da ciascuna spira, sia L la lunghezza del solenoide, N il numero

di spire presenti nel solenoide ed n = N/L il numero di spire per unità di lunghezza in modo che in un tratto dR ci siano

(N/L)dR spire, sia a il raggio delle spire.

( ) ( )

( )

( )

( ) 0 ( 2 1)

0 0

2 2 2

2 2

2 / 2 3 2

2 0

2 / 2 3 2

2 0

cos 2 cos

2 sin 2 sin

sin sin

2 2

2 1

β μ β

β μ β

β μ β

β β β β

μ μ

β

β =

=

=

=

= +

=

=

= +

= +

dB

iNL d iNL

B

L d dB iN

R a a

a d dR

arctg a

R

R a

dR a L

dR iN L N R

a dB ia

i L

P dR

β1β β2 R

(32)

Se L è molto grande β1 ≅ π e β2 ≅ 0

i L n

B = μ0iN = μ0

solenoide ∞, B sull’asse Ad una estremità del solenoide β1 ≅ π/2 e β2 ≅ 0

2 2

0

0 n i

L

B μ iN μ

=

= sul bordo del solenoide

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