1. Equazione del calore.

(1)

Equazioni del calore e metodo delle linee ¹

A. Sommariva

²

Keywords: Equazione del calore in Matlab. Eulero esplicito, implicito e theta metodi.

Revisione: 4 maggio 2020

1. Equazione del calore.

Consideriamo l’equazione del calore







∂u

∂t

=

^∂_∂x²^u₂

+ G, 0 < x < 1, t > 0 u(0, t) = d

₀

(t), u(1, t) = d

₁

(t), t ≥ 0 u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ 1

(1)

Sia

• m > 0 intero,

• h

x

= 1/m,

• x

j

= jh

x

con j = 0, 1, . . . , m.

Se la soluzione `e sufficentemente regolare da

∂

²

u

∂x

²

(x

_j

, t) ≈ u(x

_j+1

, t) − 2u(x

_j

, t) + u(x

_j−1

, t)

h

²_x

, j = 1, . . . , m − 1 (2) posto u

j

(t) := u(x

j

, t) otteniamo per j = 1, . . . , m − 1 il sistema di equazioni differenziali

u

⁰_j

(t) = u

j+1

(t) − 2u

j

(t) + u

j−1

(t)

h

²_x

+ G(x

j

, t) (3)

Nel risolvere il sistema dobbiamo far attenzione alle condizioni sul bordo u

0

(t) = d

0

(t), u

m

(t) = d

1

(t)

e ricordare che la condizione iniziale del sistema di equazioni differenziali `e

u

j

(0) = f (x

j

), j = 1, . . . , m − 1.

(2)

Il sistema differenziale (3) pu`o essere riscritto matricialmente. Posto u(t) := [u

1

(t), . . . , u

m−1

(t)]

^T

u

₀

:= [f (x

₁

), . . . , f (x

_m−1

)]

^T

g(t) := 1

h

²_x

d

0

(t), 0, . . . , 0, 1 h

²_x

d

1

(t)

^T

+ [G(x

1

, t), . . . , G(x

m−1

, t)]

^T

Λ = 1 h

²_x







−2 1 0 0 . . . 0

1 −2 1 0 . . . 0

0 1 −2 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 0 1 −2







(4)

allora (3) `e equivalente al sistema di equazioni differenziali lineari

u

⁰

(t) = Λu(t) + g(t), u(0) = u

0

(5)

1.1. Equazione del calore e metodo delle linee: Eulero esplicito, implicito e θ-metodi Risolvendo u

⁰

(t) = Λu(t) + g(t), u(0) = u

0

in t

n

= nh

t

, n = 0, 1, . . . con

• Eulero esplicito, per u

n+1

:= u(t

n+1

), si ha v

n+1

≈ u

n+1

ove

v

n+1

= v

n

+ h

t

(Λv

n

+ g(t

n

))

v

0

assegnato (6)

• Eulero implicito, si ha

v

n+1

= v

n

+ h

t

(Λv

n+1

+ g(t

n+1

))

v

0

assegnato (7)

ovvero

(I − h

t

Λ)v

n+1

= v

n

+ h

t

g(t

n+1

)

v

0

assegnato (8)

con I −h

t

Λ definita positiva (e quindi non singolare) poich`e Λ `e definita negativa (per due teoremi di Gerschgorin).

A partire da Eulero esplicito ed Eulero implicito si definiscono i cosidetti θ−metodi in cui

v

_n+1

= v

_n

+ (1 − θ)h

_t

(Λv

_n

+ g(t

_n

)) + θh

_t

(Λv

_n+1

+ g(t

_n+1

)) con v

₀

assegnato.

Si osservi che:

• θ = 0 corrisponde al metodo di Eulero esplicito;

• θ = 1 corrisponde al metodo di Eulero implicito.

(3)

0 0.2

0.4 0.6

0.8 1

0 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura 1: Grafico della soluzione dell’equazione del calore (9).

Esempio 1.1. Studiamo numericamente l’equazione del calore







∂u

∂t

=

^∂_∂x²^u2

+ G, 0 < x < 1, t > 0 u(0, t) = d

0

(t), u(1, t) = d

1

(t), t ≥ 0 u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ 1

(9)

per







G(x, t) = (−0.1 + π

²

) (exp(−0.1 · t) sin(π x)) d

0

(t) = 0, d

1

(t) = 0

f (x) = sin(π x)

(10)

avente quale soluzione

u(x, t) = exp(−0.1 · t) sin(π x).

Definiamo il termine noto in g.m

function gt=g(t,x,hx,d0,d1,G)

% Valuta:

% g(t)=(1/hxˆ2)*(d0(t),0,...,0,d1(t))+[G(x1,t),...,G(x_(m-1),t)].

gt=feval(G,x,t);

gt(1)=gt(1)+(1/hxˆ2)*feval(d0,t);

gt(length(gt))=gt(length(gt))+(1/hxˆ2)*feval(d1,t);

e implementiamo il metodo in metodolinee.m

function [V_hist,x_in,t_in,hx,ht]=metodolinee(theta,tfin,m,f,d0,d1,G,sigma)

% INPUT.

% theta : PARAMETRO DEL THETA METODO in [0,1].

% tfin : ISTANTE FINALE.

% m : DETERMINA IL PASSO SPAZIALE CON PASSO h_x=1/m.

% f : u(x,0)=f(x)

% d0, d1 : u(0,t)=d0(t), u(1,t)=d1(t).

% G : (D_t)u=(Dˆ2_x)u+G.

% sigma: IL PASSO TEMPORALE E’ sigma*(hxˆ2)/2.

(4)

% OUTPUT.

% V_hist : SOLUZIONE ISTANTE PER ISTANTE. RIGHE INIZIALI -> BASSO t.

% x_in : PUNTI INTERNI NELLA VARIABILE x.

% t_in : PUNTI INTERNI NELLA VARIABILE t.

% hx : PASSO SPAZIALE.

% ht : PASSO TEMPORALE.

hx=1/m; ht=sigma*(hxˆ2)/2; % PASSI SPAZIALI E TEMPORALI.

x=(0:hx:1)’; x_in=x(2:end-1,:);% PUNTI INTERNI.

u0=feval(f,x_in); % VETTORE SOLUZIONE AL TEMPO "0".

t=(0:ht:tfin)’; t_in=t(2:end,1); % TEMPI DA ANALIZZARE.

Lambda=-(1/hxˆ2)*gallery(’tridiag’,m-1); % Lambda=full(Lambda);

iftheta < 1, gt_prev=g(0,x_in,hx,d0,d1,G); end

V_old=u0; V_hist=[V_old’]; err_hist=[]; % INIZIALIZZAZIONI.

for index=1:length(t_in) % STUDIO SOLUZIONE IN TEMPI FINO A tfin.

t_curr=t_in(index); gt_curr=g(t_curr,x_in,hx,d0,d1,G);

switch theta

case 0 % EULERO ESPLICITO.

V_new=V_old+ht*(Lambda*V_old+gt_prev);

gt_prev=gt_curr;

case 1 % EULERO IMPLICITO.

A=eye(size(Lambda))-ht*Lambda;

b=V_old+ht*gt_curr; V_new=A\b;

otherwise % THETA METODO.

A=eye(size(Lambda))-(ht*theta)*Lambda;

b=V_old+ht*(1-theta)*(Lambda*V_old+gt_prev)+ht*theta*gt_curr;

V_new=A\b; gt_prev=gt_curr;

end

V_hist=[V_hist; V_new’]; V_old=V_new;

end

1. Il parametro m determina il passo spaziale h

x

= 1/m;

2. se theta=0 allora si utilizza il metodo di Eulero esplicito, mentre se theta=1 Eulero implicito;

3. la variabile tfin determina l’ultimo istante possibile da analizzare;

4. il parametro sigma determina il passo temporale a partire da quello spaziale ovvero h

t

= sigma · h

²_x

/2 dove h

x

= 1/m.

Salviamo in demo calore.m

function demo_calore(theta,sigma) if nargin < 2,sigma=1;end

mV=[2 4 8 16]; tfin=5; % SETTINGS.

% ESEMPIO.

G=@(x,t) (-0.1+piˆ2)*(exp((-0.1)*t).*sin(pi*x));

d0=@(t) zeros(size(t));

d1=@(t) exp((-0.1)*t).*sin(pi);

f=@(x) sin(pi*x);

solution=@(x,t) exp((-0.1)*t).*sin(pi*x);

err_hist=[];

for k=1:length(mV)

m=mV(k); % ANALISI SUDD. m PUNTI SPAZIALI.

[V_hist,x_mid,t_mid,hx,ht]=metodolinee(theta,tfin,m,f,d0,d1,G,sigma);

(5)

U=feval(solution,x_mid,t_mid(end));

err=norm(U’-V_hist(end,:),inf); % ERRORE METODO.

err_hist=[err_hist;err];

fprintf(’\n \t [m]: %3.0f [ERROR]: %2.2e [hx]: %2.2e [ht]: %2.2e’,...

m,err,hx,ht);

end

Per motivi di stabilit`a tipici di Eulero esplicito, necessita che h

t

≤ h

²_x

/2.

Vediamo su vari esempi cosa succede numericamente. Dopo aver settato in demo calore il parametro theta=0, proprio di Eulero Esplicito, scegliamo per esempio sigma=1.5.

Quindi dalla shell digitiamo quanto segue:

>> demo_calore(0,1.5)

[THETA]:0.000 [TFIN]:5.000 [SIGMA]:1.5e+00

[m]: 2 [ERROR]: 1.45e-01 [hx]: 5.00e-01 [ht]: 1.88e-01 [m]: 4 [ERROR]: 1.40e+04 [hx]: 2.50e-01 [ht]: 4.69e-02 [m]: 8 [ERROR]: 7.32e+100 [hx]: 1.25e-01 [ht]: 1.17e-02 [m]: 16 [ERROR]: NaN [hx]: 6.25e-02 [ht]: 2.93e-03

>>

Segliamo un parametro sigma pi`u piccolo, sigma=1.1.

[m]: 2 [ERROR]: 1.44e-01 [hx]: 5.00e-01 [ht]: 1.38e-01 [m]: 4 [ERROR]: 3.25e-02 [hx]: 2.50e-01 [ht]: 3.44e-02 [m]: 8 [ERROR]: 2.89e+11 [hx]: 1.25e-01 [ht]: 8.59e-03 [m]: 16 [ERROR]: 3.77e+149 [hx]: 6.25e-02 [ht]: 2.15e-03

>>

Il metodo non fornisce evidentemente risultati apprezzabili. Scegliamo ora sigma=1.0:

il metodo di Eulero esplicito finalmente converge.

>> demo_calore(0,1)

[m]: 2 [ERROR]: 1.43e-01 [hx]: 5.00e-01 [ht]: 1.25e-01 [m]: 4 [ERROR]: 3.25e-02 [hx]: 2.50e-01 [ht]: 3.12e-02 [m]: 8 [ERROR]: 7.93e-03 [hx]: 1.25e-01 [ht]: 7.81e-03 [m]: 16 [ERROR]: 1.97e-03 [hx]: 6.25e-02 [ht]: 1.95e-03

>>

In definitiva affinch`e il metodo di Eulero esplicito converga, il passo temporale dev’essere scelto dell’ordine di h

²_x

/2, che in molti casi risulta essere troppo piccolo e rende il metodo non competitivo dal punto di vista computazionale.

Analizziamo ora il comportamento di Eulero implicito (cio`e theta=1).

Tale metodo richiede la risoluzione di sistemi lineari tridiagonali, ma ci`o non `e un problema dal punto di vista computazionale (per ogni t

i

il costo e’ O(m)).

Proviamo il comportamento per sigma=1.5,

[m]: 2 [ERROR]: 1.45e-01 [hx]: 5.00e-01 [ht]: 1.88e-01 [m]: 4 [ERROR]: 3.26e-02 [hx]: 2.50e-01 [ht]: 4.69e-02 [m]: 8 [ERROR]: 7.95e-03 [hx]: 1.25e-01 [ht]: 1.17e-02

(6)

[m]: 16 [ERROR]: 1.97e-03 [hx]: 6.25e-02 [ht]: 2.93e-03

>>

Per curiosit`a proviamo per sigma=10,

>> demo_calore(1,10)

[m]: 2 [ERROR]: 1.44e-01 [hx]: 5.00e-01 [ht]: 1.25e+00 [m]: 4 [ERROR]: 3.26e-02 [hx]: 2.50e-01 [ht]: 3.12e-01 [m]: 8 [ERROR]: 7.96e-03 [hx]: 1.25e-01 [ht]: 7.81e-02 [m]: 16 [ERROR]: 1.98e-03 [hx]: 6.25e-02 [ht]: 1.95e-02

>>

Esercizio 1.1 (Facoltativo). Eseguire gli stessi test eseguiti per Eulero esplicito col θ-metodo, per

• θ = 0.25,

• θ = 0.5,

• θ = 0.75.

Com’e’ il comportamento del metodo? Simile ad Eulero esplicito o ad Eulero implici-

to?

1. Equazione del calore.

Equazioni del calore e metodo delle linee 1

A. Sommariva

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