Equazione di Schrödinger - 1

Gas/fluido confinato

Sono dati N punti materiali racchiusi in una sfera di raggio R e interagenti via un potenziale di Lennard-Jones

U(~r₁,~r₂) =4

"

 σ r₁₂

12

− σ r₁₂

6#

dove r12= |~r1− ~r₂|

calcolate le traiettorie e i momenti delle particelle ~ri(t),

~pi(t) con i = 1, . . . , N, data una certa configurazione iniziale ~r_i⁽⁰⁾(t), ~p_i⁽⁰⁾(t)

Difficoltà e problemi

scrivete le equazioni del moto di Newton fate attenzione alle condizioni iniziali ...

... e alle condizioni al contorno

definite bene lo schema di discretizzazione (suggerimento:

algoritmo di Verlet) Bonus

make a movie

Calcolo del pH di una miscela di acidi deboli e loro sali

Dati M acidi deboli e loro sali in soluzione acquosa:

H_n1A₁, NaH_n1−1A₁, . . . , Na_n1A₁, H_n2A₂, NaH_n2−1A₂, . . . , Na_n2A₂, . . .,

H_nMA_M, NaH_nM−1A_M, . . . , Na_nMA_M con costanti K₁⁽¹⁾,K₂⁽¹⁾, . . . ,K_n⁽¹⁾₁ , K₁⁽²⁾,K₂⁽²⁾, . . . ,K_n⁽²⁾₂ , . . ., K₁^(M),K₂^(M), . . . ,K_n^(M)_M e concentrazioni iniziali c₁⁽¹⁾,c⁽¹⁾₂ , . . . ,c_n⁽¹⁾

1+1,c₁⁽²⁾,c₂⁽²⁾, . . . ,c⁽²⁾_n

2+1,. . .,

c_n^(M)₁₊₁,c^(M)₁ ,c₂^(M), . . . ,c_n^(M)_M+1calcolate il pH del sistema Difficoltà e problemi

ricavate con attenzione l’equazione non-lineare polinomiale

Bonus

app per il calcolo di diagrammi logaritmici

Reazione oscillante

È dato il meccanismo di reazione

NaIO₃ →^k1 Na⁺+ IO⁻₃ (1)

IO⁻₃ →^k2 I⁻+prodotti (2) IO⁻₃ +2I⁻ →^k3 3I⁻+prodotti (3)

I⁻ →^k4 1

2I₂+prodotti (4)

Assumendo un mescolamento perfetto, calcolate l’andamento delle concentrazioni delle specie A = NaIO₃,B = IO⁻₃,C = I⁻,D = I₂nel tempo; dati suggeriti:

k1=0.001 min⁻¹,

k2=0.01 min⁻¹,k3=2.5 × 10⁹dm⁶mol⁻²min⁻¹,k4=1 min⁻¹e c_A⁽⁰⁾=0.01 mol dm⁻³,c⁽⁰⁾_B =2 × 10⁻⁵mol dm⁻³,c_C⁽⁰⁾= 1 × 10⁻⁵mol dm⁻³,c_D⁽⁰⁾=0 mol dm⁻³

Difficoltà e problemi

scrivete attentamente le equazioni della cinetica

potete usare un driver di MatLab per la soluzione, ma attenzione alla stiffness del problema

Bonus

reazioni chimiche oscillanti!

Voltammetria

È dato un recipiente cilindrico di raggio R e altezza L, contenente una soluzione con una specie redox sulla superficie di un elettrodo circolare di raggio r posto alla base del cilindro

Ox +ne⁻→ Red

inizialmente Ox e Red sono distribuite uniformemente, con concentrazioni che verificano l’equazione E0+^RT_nF ln ^c

eq Ox c_Red^eq =0 calcolate, in presenza di diffusione (D sia il coefficiente di diffusione) l’andamento nel tempo delle concentrazioni di Ox e Red, per una variazione lineare del potenziale elettrico imposto all’elettrodo, E0+ δEt; assumete che la convezione sia inesistente

Difficoltà e problemi

definite attentamente le condizioni al contorno, che dipenderanno dal tempo (Butler Volmer)

usate la simmetria cilindrica del sistema e fate attenzione allo schema di discretizzazione

Bonus

modello tridimensionale di voltammetria

Equazione di Schrödinger - 1

Una generica particella di massa m è soggetta a un potenziale a simmetria radiale, espresso in funzione della distanza r dall’origine come una generica funzione polinomiale di grado n

U =

n

X

i=0

a_irⁱ

dove limr →+∞U = +∞

calcolate e le autofunzioni e gli autovalori del sistema per un generico potenziale U della forma data

Difficoltà e problemi

usate la simmetria sferica per ridurre la dimensionalità del problema e ...

... calcolate in in modo numerico la parte non analitica della funzione d’onda

Bonus

rappresentazione grafica delle autofunzioni su superfici sferiche

Equazione di Schrödinger - 2

È data una scatola bidimensionale quadrata di lato L divisa in due parti uguali da una parete perpendicolare a due lati e con una fessura centrale di lunghezza l

una particella di massa m è inizialmente preparata come un pacchetto d’onda in una posizione specifica della scatola

Ψ(~r , 0) ∝ exp



−(~r − ~r₀)² 2σ² +i~k~r



calcolate l’andamento della funzione d’onda nel tempo Difficoltà e problemi

la soluzione del problema è numerica; valutate la possibilità di usare un metodo variazionale Bonus

diffrazione di onde di materia