Chiamiamo con retta euclidea l’insieme dei punti della retta che soddisfano i principali postulati della geometria euclidea della retta, quali ad esempio:

(1)

ReRetttata,, ppiiaannoo,, ssppaazziioo eeuucclliiddeeoo V

Veettttoorrii aapppplliiccaattii SoSommmmaa ddii vveettttoorrii

PrProoddoottttoo ddii uunn vveettttoorree ppeerr uunnoo ssccaallaarree SSoottttoossppaazzii ddii RRⁿⁿ

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.1

27 febbraio 2008

RETTA, PIANO E SPAZIO EUCLIDEO

Chiamiamo con retta euclidea l’insieme dei punti della retta che soddisfano i principali postulati della geometria euclidea della retta, quali ad esempio:

due punti distinti individuano un’unica retta.

Chiamiamo con piano euclideo l’insieme dei punti del piano che soddisfano i principali postulati della geometria euclidea del piano, quali ad esempio :

dato un punto esterno P ad una retta r esiste una ed una sola retta passante per P e parallela ad r.

Analogamente chiamiamo spazio euclideo l’insieme dei

punti dello spazio che soddisfano i principali postulati della

geometria euclidea dello spazio

(2)

(3)

VETTORI APPLICATI IN UN PUNTO

Un vettore applicato in un pto A del piano ( risp. dello spazio) è un ente caratterizzato da queste proprietà:

- pto iniziale A - direzione - verso

- intensità (modulo)

Spesso il vettore applicato si chiama segmento orientato , e differisce dal segmento AB che è sprovvisto di orienta- mento ( l’insieme dei pti della retta su cui giacciono A e B, che sono compresi tra A e B ).

Esempio: Indicare tutte le relazioni possibili tra i seguenti vettori applicati

-

AC

ha stessa direzione, stessa intensità , ma verso opposto di

AD

, si indica con -

AD

, è l’opposto di

AD

-

AE

ha la stessa direzione, stesso verso, ma diversa intensità di

AD

-

AB

ha la stessa intensità , ma diversa direzione ( e quindi non ha senso confrontare il loro verso) di

AD

A

B

B è il pto finale

A C B

D E

(4)

OPERAZIONI SUI VETTORI APPLICATI

• Somma di vettori applicati ( nello stesso pto ! )

Dati i vettori applicati

OP

,

^OQ

con P, Q, O non allineati definiamo

OP

+

^OQ

con la regola del parallelogramma

Se O, P, Q sono allineati il parallelogramma ‘degenera’, schiacciandosi sulla retta comune, ma la regola conti- nua a funzionare :

O

Q R

P

OP

+

^OQ

=

OR

O Q P R

Q O R P OQ

=-

RP

=>

OP

+

OQ

=

OR OQ

=

PR

=>

OP

+

OQ

=

OR

In termini di coordinate :

a2

a₁ b₂

b₁

A O

B C

OA

+

OB

=

OC

OA ↔ A=(a

1

,a

₂

) OB ↔ B=(b

¹

,b

2

)

″Corrispondenza tra vettori applicati nell’origine e punti ″

=> (a

1

,a

2

)+ (b

1

,b

2

) = (a

1

+ b

1

, a

2

+b

2

)

(5)

• Prodotto di un vettore applicato per uno scalare

Se λ è un numero reale e

^OP

è un vettore applicato in O

definiamo

λ

^OP

il vettore applicato in O , ottenuto allungando o arrorciando il segmento OP nel giusto verso, più precisamente :

λ

^OP

ha direzione uguale a quella di

OP

ha verso di

OP

se λ>0

ha modulo uguale a |λ| |

^OP

| ,

dove |λ| indica il valore assoluto del numero reale λ e |

^OP

| indica il modulo del vettore

OP

In termini di coordinate :

O P

O

OP -

4

1

OP

OA ↔ A=(a

1

,a

₂

) , λOA = λ (a

1

,a

₂

)

=> λ (a

1

,a

₂

) = (λ a

1

, λ a

2

)

OA

λ

^OA

a1

a2

λa1

λa²

Q

UINDI RICORDIAMO LE OPERAZIONI IN

R

ⁿ

- (a

1

,a

2

,…,a

n

) + (b

1

,b

2

,…,b

n

) = (a

1

+b

1

, a

2

+b

2

,…, a

n

+b

n

) - λ (a

¹

,a

2

,…,a

n

) = (λa

¹

, λa

²

,…, λa

ⁿ

)

La differenza di due vettori applicati: un caso parti- colare della somma (algebrica).

R

O P

Q

-

^OQ

-

OP _O _P

Q R

OQ

-

OP

=

OQ

+(-

OP

) =

OR

OP

-

OQ

=

OP

+(-

OQ

)=

OR

(6)

ESERCIZIO1.

Sottoinsiemi particolari di R

²

Si consideri il sottoinsieme V={t(a,b)|t∈R} di R

²

( si indica anche L(v) con v=(a,b) ).

Disegnare V e determinare un’equazione che lo rappresenta nei seguenti casi :

1) (a,b) = (1,0) 2) (a,b) =(-1,2)

1) V={t(a,b)|t∈R} ={t(1,0)|t∈R}

I pti di V sono del tipo (t,0) al variare di t in R, ossia x= t, y=0 al variare di t in R

- ogni pto (t,0) di V soddisfa y=0

- ogni pto che soddisfa y=0 è del tipo ( a, 0) , con a∈R e come tale sta in V .

O

P=(1,0) ^x

y

È la retta di equazione y=0

2) (a,b)=(-1,2) : V={t(a,b)|t∈R} ={t(-1,2)|t∈R}

x= -t, y=2t sono i pti di V , t ∈R

un’equazione che soddisfa (-t,2t) è : y=-2x ,cioè 2x+y=0.

E viceversa ogni pto che soddisfa 2x+y=0 è del tipo (a,-2a) o equivalentemente (-a,2a), e quindi sta in V

-2 è il coeff. ang. della retta

MM

PROPRIETA

’

I sottoinsiemi di R

ⁿ

del tipo V={t(a

1

,a

2

,…,a

n

)|t∈R}

soddisfano le due seguenti proprietà:

a) se v

1

, v

2

∈ V allora v

¹

+v

2

∈ V b) se v∈ V , t∈ R allora tv∈ V

MM

(7)

ESERCIZIO2.

Proprietà dei sottoinsiemi L(v)

Sia dato V={t(1,1,2)|t∈R} ⊆ R

³

.

a) verificare che V soddisfa le 2 precedenti proprietà b) determinare le equazioni essenziali che descrivono V c) disegnare V

a) I Proprietà: se v

₁

, v

₂

∈ V allora v

1

+v

₂

∈ V

v

1

= (t,t,2t), v

2

= (r,r,2r) sono elementi di V

Ö v

1

+v

2

= (t,t,2t)+ (r,r,2r) ( def. di somma in R

ⁿ

) = (t+r,t+r,2(t+r)) ∈ V ok !

II Proprietà: se v∈ V , t∈ R allora tv∈ V

v= (t,t,2t)∈ V

Ö tv = (tv,tv,2(tv)) ∈ V ok!

( def. di prodotto per uno scalare in R

ⁿ

)

b) V={t(1,1,2)|t∈R} ⊆ R

³

=> x=t, y=t,z=2t , t∈R

Diciamo che :

⎩⎨

⎧

=

= z 2x

y

x

sono le equazioni essenziali che descrivono V

Perché ?

• Il pto (t,t,2t) di V soddisfa ⎩⎨⎧

=

= z 2x

y x

e

• la soluzione di

_⎩^⎨^⎧_2x^x ⁼₌^y_z

è del tipo (a,a,2a), e quindi appartiene a V .

N.B. L’altra equazione z=2y è superflua perché è conse- guenza di quelle date.

t=0 => O=(0,0,0)

t=1=> A=(1,1,2) E’ la retta per O,A

x

y z

O

A