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(1)

ESERCIZI SU ELLISSE E IPERBOLE

1. Trovare l’equazione dell’ellisse passante per i punti A = (0, 3) e P = (1,

3

√ 3 2

).

(a) trovare le intersezioni Q

1

e Q

2

di tale ellisse con la retta di equazione y = 3x;

(b) calcolare l’equazione delle tangenti all’ellisse parallele alla retta y = 3x;

(c) disegnare il grafico dell’ellisse e delle sue tangenti, (d) trovare la distanza fra le due tangenti.

2. Trovare l’equazione della tangente all’ellisse di equazione 3x

2

+ 8y

2

= 35 nel suo punto P = (3, 1).

(a) trovare l’area del rettangolo inscritto nell’ellisse e avente P come vertice;

(b) scrivere l’equazione della stessa ellisse utilizzando un parametro angolare α. Qual è l’angolo α corrispondente al punto P?

(c) una corda dell’ellisse passante per il centro si chiama diametro; quanto è lungo il diametro dell’ellisse inclinato a 45

◦

? 3. Sotto quale angolo viene vista l’ellisse di equazione x

2

+ 4y

2

= 4 dal punto P = (1, 2)?

Se T

1

e T

2

sono i punti di tangenza delle due rette tangenti mandate da P, trovare l’area del quadrilatero PT

1

OT

2

. 4. Un’iperbole equilatera riferita agli assi passa per il punto A(3, 1).

(a) si determinino l’equazione dell’iperbole, le coordinate dei fuochi e dei vertici e se ne tracci con accuratezza il grafico;[1]

(b) un triangolo rettangolo ABC ha l’angolo retto in A e il vertice B nel punto dell’iperbole di ascissa

92

e di ordinata positiva.

Quali sono le coordinate del vertice C, se anch’esso giace sull’iperbole? [2]

(c) si trovi l’equazione della tangente in A all’iperbole e si verifichi che tale tangente risulta perpendicolare all’ipotenusa del

triangolo ABC. [1, 5]

5. Data la curva di equazione y =

ax+bx−1

, determinare a e b in modo che essa intersechi l’asse y nel punto A di ordinata −1 e che la

tangente in A alla curva abbia coefficiente angolare −3. [2]

6. Tracciare con accuratezza i grafici delle seguenti coniche:

x

2

10 + y

2

= 1 e x

2

8 − y

2

= 1

(a) verificare che le curve hanno gli stessi fuochi; [0, 5]

(b) verificare che i punti di intersezione delle due curve appartengono ad una circonferenza di cui si chiede di trovare

l’equazione. [1]

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