Teoria del raffreddamento e confinamento di atomi

Capitolo 1

Teoria del raffreddamento e confinamento di atomi

neutri

In questo capitolo viene esposta la teoria del raffreddamento Doppler, primo schema di laser cooling elaborato; si passa poi a descrivere i meccanismi di raffreddamento pi`u complessi, indicati in letteratura come meccanismi di raf- freddamento sub-Doppler. Segue una breve descrizione di come sia possibile non soltanto raffreddare, ma anche intrappolare gli atomi, attraverso una con- figurazione particolare di campi laser e campi magnetici che si chiama trappola magneto-ottica; ne sono descritte le principali peculiarit`a e sono esaminati i pos- sibili regimi del suo funzionamento. Conclude il capitolo un paragrafo che tratta della possibilit`a di focalizzare gli atomi attraverso l’ uso di un’ onda stazionaria.

1.1 Raffreddamento Doppler

Schematizziamo un atomo come un sistema a due livelli di energia, E1 ed E2, la cui hamiltoniana sia descritta da:

H0= E1|1ih1| + E²|2ih2| (1.1) assumendo E1> E2. L’ interazione del sistema con un campo elettromagnetico modifica la forma dell’ hamiltoniana, introducendo il potenziale

V (t) = e

mcp· A + e²

2mc²A² (1.2)

Se il campo `e debole, cos`ı che possa essere trattato come una perturbazione al primo ordine, il secondo termine si pu`o trascurare. Nel caso che ci interessa (interazione con radiazione elettromagnetica monocromatica) il campo si pu`o scrivere nella forma A(t) = A0cos(k · r − ωt), ed il campo elettrico ´e dato da

E(t) = −¹_c^∂A_∂t. Con un po’ di manipolazione algebrica, e assumendo valida l’

approssimazione di dipolo, si ricava che l’ interazione atomo-radiazione si pu`o descrivere in termini della seguente hamiltoniana:

H⁰(t) = −dE0

2 (|1ih2|e^−iωt+ |2ih1|e^iωt) ≡¯hΩR

2 (|1ih2|e^−iωt+ |2ih1|e^iωt) (1.3) dove `e stata introdotta la frequenza di Rabi¹

ΩR≡ −e

¯hh1|r · E(r, t))|2i (1.4)

L’ evoluzione del sistema formato da N atomi uguali, interagenti con tale campo,

`e studiato attraverso l’ evoluzione temporale della sua matrice densit`a, utiliz- zando il modello di Feynman, Vernon, Hellwart, e giungendo alle equazioni di Bloch ottiche. La loro soluzione stazionaria, per la quale rimandiamo a [12] , descrive come gli atomi si ridistribuiscano sui due livelli energetici del sistema perturbato, tenendo conto anche del fenomeno dell’ emissione spontanea, che `e alla base del rafreddamento Doppler.

Un atomo che si trova inizialmente fermo sul livello fondamentale, se investito da radiazione laser di frequenza risonate con la transizione |2i 7→ |1i, pu`o as- sorbire un fotone e portarsi sul livello eccitato. Supponiamo che il fascio laser propaghi in direzione ˆz, che la sua frequenza sia ω e che il suo vettore d’ onda sia k( il cui modulo ´e <sup>ω</sup><sub>c</sub> ). L’ atomo, allora, portandosi sul livello eccitato, assor- bir`a una quantit`a di energia pari ad ¯hω ed aquister`a una quantit`a di moto pari ad ¯hk nella direzione ˆz. A questo punto l’ atomo potr`a decadere nuovamente sul fondamentale o per emissione spontanea o per emissione stimolata: se per emissione stimolata, emetter`a un fotone identico a quello assorbito (in partico- lare con la stessa quantit`a di moto ¯hk); se per emissione spontanea, emetter`a il fotone in una direzione qualunque. Nel primo caso l’ emissione stimolata causa una perdita della quantit`a di moto dell’ atomo lungo z di −¯hk, e dunque, se l’

atomo, che si suppone inizialmente fermo, assorbe un fotone e lo riemette per emissione stimolata, la sua variazione di impulso `e nulla. Nel secondo caso, in- vece, supponendo che il fotone sia emesso in una direzione che forma un angolo ϑi con l’ asse z, la perdita di impulso dell’ atomo lungo z sar`a di −¯hk cos ϑⁱ. Quindi alla fine del processo di assorbimento+ emissione spontanea l’ atomo avr`a subito una variazione della quantit`a di moto lungo z pari a:

4z = ¯hk(1 − cos ϑⁱ) (1.5)

Il processo che viene ad interessare l’atomo, forzato dal campo laser ad assorbire ed emettere fotoni, `e di tipo stocastico, con la quantit`a di moto nella direzione z, pz, variabile casuale. Sul sistema risulta agire una forza media lungo

1La definizione data di ΩR `e valida, in particolare,anche quando si ha a che fare con un campo che ha una dipendenza non banale dalla posizione. Si vedr`a questo pi`u in dettaglio nei paragrafi successivi.

Figura 1.1: Evoluzione della quantit`a di moto di un atomo nei processi di assorbimento, emissione stimolata ed emissione spontanea di fotoni

ˆ

z, che, detto nsp = _Γ¹_s il numero di emissioni spontanee per unit`a di tempo, `e pari a²:

F = ∂pz

∂t ≈ h4pz(t = 1)i = h

nsp

X

i=1

¯hk(1 − cos ϑi)i = ¯hkhnspi (1.6) Supponendo uno stato iniziale con h4p²z(t = 0)i = 0, si ricava inoltre un coefficiente di diffusione per pz pari a

D =1

2(¯hk)²hn^spi(1 + hcos²ϑi) (1.7) dipendente soltanto da k, hnspi, e da hcos²ϑi. Quest’ ultimo dipende solamente da quali livelli energetici si considerano, e lo fisseremo pari al valore ²₅, ottenuto supponendo di utilizzare la distribuzione angolare di dipolo elettrico classico. ³ Invece il valore di hnspi ´e fornito dalle equazioni di Bloch ottiche applicate all’

emissione spontanea, e dalla loro soluzione stazionaria, cui `e stato accennato sopra, poich´e i processi di emissione spontanea per atomo sono, nell’ unit`a di tempo, Γ^N_N¹, essendo Γ il coefficiente di emissione spontanea, N1la popolazione del livello eccitato, ed N quella totale. Detto δ = ω−ω¹²il disaccordo (detuning) tra frequenza del laser e della transizione atomica, e scrivendo il valore di N1

ottenuto dalla soluzione delle equazioni di Bloch, otteniamo che:

hn^spi = ΓΩ²_R 4

1 (^Γ₂)²+ δ²+^Ω

2 R

2

(1.8)

2Il risultato della media sulle varie direzioni dei fotoni emessi `e zero poich´e sono tra loro scorrelate

3Quantisticamente si ottiene un risultato simile considerando transizioni tra livelli atomici con momento angolare rispettivamente 3 e 4, che richiede l’ uso degli appropriati coefficienti di Clebsh Gordan, ed una media su questi. Per quanto ci interessa `e sufficiente sapere che tale valor medio `e non nullo e costante.

Da ci´o segue l’ espressione della forza esercitata dal fascio laser sull’ atomo:

F = ¯hkΓΩ²_R 4

1 (^Γ₂)²+ δ²+^Ω

2 R

2

(1.9)

o, anche:

F = ¯hkΓ 2

Γ²s0

4δ²+ Γ²+ Γ²s0

(1.10) avendo introdotto il parametro di saturazione s0 ≡ _Isat^I , essendo I l’ intensit`a della radiazione incidente ed Isatl’ intensit`a di saturazione della transizione. ⁴ Il coefficiente di diffusione vale:

D = 7

10(¯hk)²hnspi (1.12)

Sopra abbiamo visto che, se investighiamo un sistema di atomi inizialmente fermi con radiazione laser di frequenza opportuna, sul singolo elemento dell’ ensemble si esercita una forza media F che ha la forma 1.9, e conseguentemente si ha uno scarto quadratico medio della pz, che si `e espresso in termini del coefficiente di diffusione 1.12.

Se il sistema atomico, invece, si muove in direzione ˆz con velocit`a v, ed `e investito da due fasci laser contropropagantesi lungo ˆz, su di esso agiranno due forze, F1

ed F2, dirette in sensi opposti, di forma analoga a quella in 1.9. Tuttavia, adesso la velocit`a atomica influisce per effetto Doppler sulle frequenze angolari sentite dall’ atomo in moto, che sono cos`ı modificate: ω±= _1±^ωv

c ' ω(1 −^vc) = ω ∓ kv.

Utilizzando queste nelle espressioni delle forze, ed espandendo in serie al primo ordine in kv⁵si ottiene l’ espressione seguente:

F ' 4¯hk² I Isat

2δ Γ

(1 + (^2δ_Γ)²)² (1.13) Pertanto si vede che quando il disaccordo assume valori negativi, i.e. se ω < ω12, la forza 1.13 ´e di carattere viscoso, F = −Mγv, con il coefficiente di viscosit`a del sistema dato da

γ = 4¯hk² M

I Isat

−2δ Γ

(1 + (^2δ_Γ)²)² (1.14) ed M massa atomica. Il coefficiente di diffusione complessivo risulta doppio rispetto a 1.12, per cui:

D = 7

10(¯hk)²hnspi (1.15)

.

La condizione in cui si trovano gli atomi ” invischiati” nella melassa ottica `e

4E molto utile la relazione:´

Ω²R= Γ² I 2Isat

(1.11)

5ipotizziamo cio´e che |kv|  Γs

del tutto analoga a quanto si verifica nel moto Browniano: una forza di frizione media frena il sistema, il quale ha anche una diffusione; conseguentemente la funzione di distribuzione della quantit`a di moto lungo ˆz risulta descritta, nella sua evoluzione temporale, dall’ equazione di Fokker Plank ([12]), la cui soluzione stazionaria risulta una distribuzione di Maxwell Boltzmannn per l’ equilibrio termodinamico:

P1|1(p) = C exp(−γp²

2D) = C exp(−γM D

p²

2M) (1.16)

Pertanto si pu`o introdurre una temperatura effettiva T, definendola da 1.16 come:

T = D

KBγM (1.17)

detta temperatura Doppler. Tale temperatura dipende da δ, ed ha il minimo per δ = −^Γ2, in cui vale:

TD= 7¯hΓ 20KB

(1.18) Essa dipende solamente dalla larghezza naturale di riga del livello eccitato, i.e.

dal rate di decadimento Γ: questo `e infatti il meccanismo di dissipazione at- traverso cui `e scambiata la quantit`a di moto tra laser e sistema atomico.

La teoria del raffreddamento Doppler 3D necessita di una correzione, giacch´e in tal caso bisogna tener conto delle relazioni delle diffusioni sui diversi assi: pro- prio a causa di queste ultime, la temperatura minima raggiungibile attraverso lo schema di Doppler cooling tridimensionale ´e TD=_2K^¯hΓ

B, maggiore di 1.18. ⁶

1.2 Raffreddamento sub Doppler

La tecnica sopra esposta permette di portare gli atomi ad una temperatura minima limitata dal valore di Γ. Altri schemi di raffreddamento permettono di superare tale limite e pertanto prendono il nome di sub Doppler cooling. Qui di seguito riportiamo la teoria, sintetizzata, dei due schemi di raffreddamento da noi utilizzati, i.e. delle configurazioni σ+σ− e lin⊥lin: ambedue permettono di raggiungere una Tsdescritta da

KBTs= Cs¯hΩ²_R

|δ| (1.19)

essendo Csun coefficiente che dipende dalla tecnica usata; tale valore limite pu´o essere comparato con la temperatura di rinculo ⁷ data dall’ espressione

KBTr= (¯hk)²

M (1.20)

6per il Cs ∼ 125µK.

7Essa `e la temperatura associata allo scambio di un solo fotone tra campo e sistema atomico.

Tr∼ 0.2µK per il Cesio

I due schemi si fondano sul fatto che, in realt`a, gli atomi hanno una struttura a molti livelli, in cui i vari livelli sono accoppiati o disaccoppiati a seconda che la radiazione laser abbia, olterch´e la frequenza ω opportuna, anche la corret- ta polarizzazione ˆε: in tal caso l’ orientazione del momento di dipolo atomico rispetto alla polarizzazione della radiazione incidente `e importante. Giocando sulle diverse caratteristiche dell’ interazione che punto per punto si vengono ad instaurare tra atomo e campo e.m., tali tecniche permettono un raffreddamento dell’ atomo. Questo non `e pi`u basato, come era nel Doppler cooling, sul diver- so assorbimento da parte dei due fasci contropropaganti per effetto dello shift Doppler; bens´ı `e legato alla non adiabaticit`a del processo di pompaggio ottico.

Lo schema generale prevede (in una dimensione) una coppia di fasci laser contro- propaganti quasi risonanti col sistema, di uguale intensit`a e con polarizzazioni particolari, specificate qui di seguito. Ricordiamo, prima di procedere, alcuni fatti e definizioni inerenti proprio la polarizzazione, che torneranno utili in se- guito.

Sia k il vettore d’ onda parallelo a ˆz, sia E0e sia ˆε la direzione di polarizzazione dei due laser contropropaganti: il campo risultante `e

E = E0εcos(ωt − kz) + Eˆ ⁰εcos(ωt + kz)ˆ

= 2E0cos(kz) cos(ωt) (1.21)

In tal caso si genera un’ onda stazionaria con dipendenza spaziale dell’ intensit`a

∝ cos²(kz) e periodo ^λ₂.

Se le polarizzazioni dei due fasci sono lineari ed ortogonali - diciamo ˆx ed ˆy -il campo risultante `e

E= E0xcos(ωt − kz) + Eˆ ⁰ycos(ωt + kz)ˆ

= E0[(ˆx + ˆy) cos(kz) cos(ωt) + (ˆx − ˆy) sin(kz) sin(ωt) (1.22) La polarizzazione cambia spazialmente, da lineare a 45^◦ rispetto alla direzione ˆ

x, in z = 0, a circolare σ+ in z = ^λ₈, a circolare σ− in z = ^3λ₈, a lineare a −45^◦ in z =^λ₄. Una tale configurazione `e detta lin ⊥ lin.

Se le polarizzazioni dei fasci sono σ+ e σ−, il campo risultante `e E= E0(ˆxcos(ωt − kz) + ˆycos(ωt − kz)) +

E0(ˆxcos(ωt + kz) + ˆycos(ωt + kz))

= 2E0cos(ωt)(ˆxcos(kz) + ˆysin(kz)) (1.23) In tale configurazione non c’ `e sfasamento temporale tra le due direzioni di propagazione ed il campo risultante `e polarizzato linearmente in ogni punto dello spazio e ruota di π nell’ intervallo ∆z =^λ₂. Tale configurazione si chiama σ+σ−.

I due schemi si fondano, tra l’ altro, sul fatto che la radiazione, essenzialmente per effetto Stark, sposta i livelli imperturbati dell’ atomo: questo si pu`o vedere riguardando quanto fatto in 1.1, nel caso semplice di sistema a due livelli. Per

comodit`a diciamo che le energie del sistema imperturbato siano E1,2= ±<sup>¯hω</sup>2<sup>12</sup>, cosicch´e l’ hamiltoniana impertubata si pu`o esprimere, rispetto ai suoi autostati, nella forma:

H0= ¯hω12

2 (|1ih1| − |2ih2|) (1.24)

La hamiltoniana di interazione, sempre di tipo dipolare, dell’ atomo con un’

onda e.m. piana di ampiezza E(r) e polarizzazione ˆε, si pu`o scrivere come:

H⁰= −d¹²E(r)(|1ih2|e^−iωt+ |2ih1|e^iωt) (1.25) dove d12 `e l’ elemento di matrice dell’ operatore di dipolo proiettato sulla di- rezione di polarizzazione del campo, tra i due stati imperturbati. Introdotta la frequenza di Rabi (vedi 1.1) si arriva alla forma seguente per l’ hamiltoniana totale:

Htot(t) = ¯hω12

2 (|1ih1| − |2ih2|) − ¯hΩR(r)

2 (|1ih2|e^−iωt+ |2ih1|e^iωt) (1.26) Il sistema evolve secondo l’ equazione di Schr¨oedinger

i¯h∂|ψ(t)i

∂t = Htot(t)|ψ(t)i (1.27)

Riscrivendo l’ hamiltoniana totale nella base

|1i⁰ = e^iωt2 |1i

|2i⁰ = e^−iωt2 |2i

si ottiene facilmente la diagonalizzazione dell’ Htot ed i suoi autovalori⁸: Eˆ2 = −¯h

2Ω Eˆ1 = +¯h

2Ω

Ω ≡ q

Ω²_R+ δ²

Cio´e l’ interazione con la radiazione provoca uno shift dei livelli E1,2 → Eˆ1,2

Per ΩR |δ| vale

∆E1,2 = ±¯hΩ²

4δ (1.28)

Veniamo adesso ad esaminare i due schemi di raffreddamento σ+σ− e lin⊥lin.

8Il light shift del fondamentale `e negativo per δ < 0

1.2.1 Configurazione lin⊥lin

La teoria che riguarda questa configurazione `e stata svilupata da Dalibard e Cohen-Tannoudji ([13]), e la teoria pi`u semplice si applica alla transizione J = ¹₂ → J = ³2, per un atomo immerso in un campo generato dalla configu- razione lin⊥lin (vedi 1.22). Qualitativamente si spiega cos`ı: laddove la polariz- zazione sia σ+ il processo di pompaggio ottico spinge a popolare maggiormente il (sotto)livello M = +¹₂, poich´e l’ assorbimento richiede necessariamente una transizione con ∆M = +1, mentre l’ emissione spontanea permette decadimen- to con ∆M = 0, ±1, e dunque mediamente il processo comporta un ∆M ≥ 0.

Analogamente, laddove la polarizzazione `e σ−, il processo comporta in media un ∆M ≤ 0, per cui si popola maggiormente il (sotto)livello fondamentale M = −<sup>1</sup>2. Conseguentemente la popolazione del fondamentale deve riorganiz- zarsi completamente sui sottolivelli M = ±<sup>1</sup>2 nell’ arco di un tratto ∆z = <sup>λ</sup><sub>2</sub>. Tali livelli risultano shiftati a causa della presenza del campo (vedi light shifts 1.28 per un sistema a due livelli): il light shift in tal caso non `e semplice da calcolare, essendo il sistema atomico qui trattato pi`u complesso; un calcolo rig- oroso ([15], eq 8.1) porta all’ espressione per il light shift del fondamentale, per la transizione ora considerata in regime di basse intensit`a, dato da

∆E2= ¯hs0C₁₂² δ

1 + (^2δ_Γ)² (1.29)

dove s0 `e il parametro di saturazione, C12`e il coefficiente di C.G. relativo alla transizione considerata, Γ ´e il rate di decadimento⁹. Per radiazione polarizzata σ+ tale shift risulta, per il sottolivello con M = ¹₂, tre volte maggiore (in valore assoluto) di quello del sottolivello con M = −¹2; analogamente, se la polariz- zazione `e σ−, lo spostamento del livello con M = −<sup>1</sup>2 `e tre volte quello subito dall’ M = ¹₂. Combinando questo a quanto detto per la redistribuzione della popolazione atomica sui sottolivelli ad opera dell’ emissione spontanea, risulta che il campo lin⊥lin tende a popolare il livello il cui light shift `e maggiore (in valore assoluto). Ci`o vale in generale per ogni transizione J2→ J¹= J2+ 1.

Il raffreddamento origina da questo. Supponiamo che un atomo sia inizial- mente in un punto in cui la radiazione sia σ+: la radiazione shifta i sottolivelli magnetici e tende a popolare quello con M = +¹₂, pi`u basso in energia. Muoven- dosi lungo la direzione di propagazione dei fasci laser esso trova un gradiente di potenziale ed `e forzato ad aumentare la sua energia potenziale, a scapito della sua energia cinetica; questo per il fatto che la radiazione cambia polarizzazione, e lo stato con M = +¹₂ risulta sempre pi`u debolmente accoppiato col campo e.m..

Dopo aver percorso un tratto^λ₄ il campo `e σ−, e gli atomi sono forzati sul livello M = −<sup>1</sup>2, che ora risulta ad energia pi`u bassa rispetto ad M = +₂¹. Cio´e, nell’

arco di ^λ₄, l’ atomo trasforma la sua energia cinetica in potenziale, la quale `e poi

9Rispetto a 1.28 l’ espressione ha le segg. differenze:il risultato `e due volte maggiore di quello in 1.28 poich´e si considera una coppia di laser; l’ accoppiamento `e modificato poich´e il ground state `e degenere in M, cosa che `e espressa dal coefficiente C12; in particolare il coefficiente dipende da M, per cui il light shift `e diverso a seconda della polarizzazione dei laser e dei sottolivelli magnetici considerati.

Figura 1.2: Schema del raffreddamento Sisifo: i light shift del livello fondamen- tale dipendono dalla posizione dell’ atomo. Esso percorre un tratto spaziale pari a λ/4 trasformando la propria energia cinetica in potenziale: poi viene ripompato otticamente sul sottolivello ad energia minore; e cos´ı via.

dispersa per irraggiamento nel processo di pompaggio ottico, essendo la frequen- za della emissione spontanea pi`u alta di quella di assorbimento. L’ andamento dell’ atomo nel campo cos`ı configurato `e schematizzato in figura precedente. Il processo `e limitato ad un range di velocit`a particolare: si ha raffreddamento massimo per gli atomi che subiscono uno ed un solo pompaggio ottico nel tratto spaziale λ/4, allorch´e si trovino sulla cima della collina di potenziale. Atomi pi`u lenti subiranno il pompaggio ottico prima di raggiungere la cima, ed ato- mi pi`u veloci dopo averla passata: in ambo i casi il potenziale irradiato sar`a minore e dunque il raffreddamento meno efficiente. Sempre qualitativamente il coefficiente viscoso del processo si pu`o ricavare col seguente ragionamento. De- nominando τp= _γ¹

p il tempo caratteristico del pompaggio ottico, i.e. l’ inverso del rate totale di scattering, e ricordando che la velocit`a ottimale vc`e quella per cui si ha pompaggio una sola volta nel tratto ^λ₄, scriviamo

τp= λ

4vc = 2π

4kvc (1.30)

da cui ricaviamo vc La forza agente su atomi con tale velocit´a ´e F = ∆W

∆z ' ∆Ek ≡ −βvc, (1.31)

∆E essendo il light shift, e con β intendendo il coefficiente di damping. Per γp

vale l’ espressione seguente valida per basse intensit´a γp= s0Γ³

4δ² (1.32)

per cui si rimanda a [15], eq 2.26. Per ∆E vale l’ espressione 1.29. Si ricava

che β

M = ¯hk²δ 2M Γ = ωrδ

Γ (1.33)

e un andamento della temperatura

KBT = c¯hΩ²

|δ| (1.34)

La forza sopra ricavata ha lo stesso ordine di grandezza della forza Doppler 1.13 ma il range di velocit`a degli atomi cui si applica `e ??. Risulta che il coefficiente di damping `e 2δ/Γ volte maggiore di quello Doppler, e poich´e si pu`o dimostrare, inoltre, che il coefficiente di diffusione per tale processo `e dello stesso ordine di grandezza di 1.15, la temperatura limite raggiungibile con la configurazione lin⊥lin

T = D

M KBΓ (1.35)

´e minore dello stesso fattore, rispetto a 1.17.

1.2.2 Configurazione σ₊σ₋

Questo schema, analogamente al precedente, ´e stato sviluppato da Dalibart e da Cohen-Tannoudji ([13]) e sfrutta la configurazione dei due fasci laser contropro- paganti tipo 1.23, con δ < 0. Essendo la polarizzazione puntualmente lineare le sole transizioni permesse sono quelle con ∆M = 0; il caso pi`u semplice in cui tale schema `e applicabile `e quello di un atomo con J2 = 1, che faccia una transizione J = 1 → J<sup>0</sup> = 2. Scegliendo come sistema di riferimento quello in cui l’ asse di polarizzazione ruota spazialmente cos`ı da essere costantemente parallela alla polarizzazione della luce il light shift viene ad essere indipendente dalla posizione.

Per atomi fermi il pompaggio ottico tende a ridistribuire le popolazioni sui sot- tolivelli magnetici, a seconda della direzione della polarizzazione, in modo da popolare maggiormente il sottolivello M = 0 rispetto a M = ±1, ugualmente popolati. D’ altra parte, gli atomi risentono della variazione dell’ orientazione dell’ asse di quantizzazione, e quindi devono essere pompati per ”inseguire ” tale rotazione: ossia sono forzati, punto per punto, a riorganizzare le popolazioni dei sottolivelli fondamentali.

Si dimostra che, dette P± le popolazioni dei sottolivelli fondamentali M = ±1, vale (P+− P−) ∝ v: cio´e che gli atomi che si dirigono verso il fascio σ⁺ con velocit`a v vanno preferibilmente a popolare il sottolivello con M = +1. Si ha inoltre che per radiazione σ+ C.G.(M = 1 → Mecc= 2) = 6 C.G.(M = −1 → Mecc= 0). Inoltre per emissione spontanea gli atomi che si trovano in Mecc= 2 possono decadere solamente su M = 1. Questo ha l’ effetto complessivo di far scatterare all’ atomo in moto verso il fascio σ+ un gran numero di fotoni restando in M = 1. Siccome vale anche in tal caso quanto detto a proposi- to del Doppler cooling, cio´e che la variazione della quantit`a di moto dopo un

ciclo di assorbimento + emissione spontanea `e non negativa nella direzione di propagazione del fascio laser (1.5), l’ atomo viene ostacolato nel suo moto, e quindi frenato. Gli stessi discorsi valgono ovviamente anche per radiazione σ−

e sottolivello fondamentale M = −1. Da notare che in 1.1 era lo shift Doppler a causare il diverso assorbimento da parte dei due fasci, mentre in questo caso

`e il differente popolamento dei sottolivelli fondamentali, congiunto alla diversa forza di accoppiamento di essi con il campo laser che si dirige in senso opposto al loro moto. Una spiegazione rigorosa di tale schema `e abbastanza complessa e non `e semplice esprimere i coefficienti di diffusione e di smorzamento. Basti sapere che anche in tale schema vale una relazione per la temperatura uguale alla 1.34.

1.3 Trappola magneto-ottica

Con gli schemi di raffreddamento visti in 1.2 si rallenta il moto degli atomi, ma non si intrappolano. Per produrre su di essi una forza di richiamo di tipo elastico, si associa alla melassa ottica un campo magnetico non omogeneo ([14]).

Il campo magnetico rimuove la degenerazione dei sottolivelli Zeeman e provoca su di essi uno shift di energia, dato dalla relazione:

∆E(M ) = µbgFM B (1.36)

in cui µb`e il magnetone di Bohr e gFil fattore di Land´e. Tale shift dipende dalla posizione in cui l’ atomo si trova, se B `e disomogeneo. In una dimensione, si consideri una coppia di fasci contropropaganti lungo ˆz in configurazione σ+σ−, ed un campo magnetico che vicino all’ origine si possa approssimare con B(z) = bz ˆz ¹⁰. Consideriamo un atomo a due livelli, con livello fondamentale J = 0 ed eccitato J = 1, quasi-risonante con la radiazione, e supponiamo δ < 0.

Sappiamo che σ+permette solamente transizioni a ∆M = +1 e che σ−permette soltanto quelle con ∆M = −1. Un atomo che si trovi in z > 0 avr´a

∆E(+1) = µbgFB > 0

∆E(−1) = −µ^bgFB < 0

supposto che b e gF siano entrambi positivi.

Pertanto, come mostrato in figura, in z > 0 la radiazione sar`a pi`u risonante con il sottolivello eccitato M = −1, per cui avverranno principalmente tran- sizioni σ−, i.e. processi di pompaggio ottico ad opera di σ−, e l’ atomo sar`a spostato in direzione−ˆz. Analogamente avverr´a che per l’ atomo in z < 0 sar`a pi`u favorito il pompaggio ad opera di σ+, essendo con essa pi`u risonante, e sar`a spinto verso l’ origine z = 0. Il risultato `e che l’ atomo sar`a soggetto lungo ˆz ad una forza

F = −βv − χz (1.37)

10Tale campo si pu`o generare con due bobine in cui scorrano correnti di segno opposto

Figura 1.3: La struttura dei sottolivelli di un sistema atomico viene splittata dal campo magnetico per z 6= 0: esso ´e immerso anche in un campo e.m. in configurazione σ+σ−, e si genera una forza di richiamo, oltrech´e viscosa

essendo il coefficiente di damping di 1.33 e χ un coefficiente elastico la cui espressione risulta data da:

χ = µbb

¯hkβ = −4k I

Isatgµbb 2_Γ^δ

(1 + (2_Γ^δ)²)² (1.38) Γ essendo la larghezza naturale di riga. Come nel Doppler cooling si ha una dipendenza dalla intensit`a del laser e dal detuning; in particolare la forza `e di richiamo per δ < 0, ammesso g > 0.

In tre dimensioni dobbiamo fare un analogo intrappolamento lungo ˆx ed ˆy, e cercare configurazioni del campo magnetico per confinare gli atomi anche lungo tali direzioni. Data la natura pseudovettoriale del campo magnetico non `e pos- sibile creare un campo a simmetria sferica; tuttavia, con una coppia di bobine in configurazione anti-Helmotz, i.e. con correnti che scorrono in sensi opposti, si ottiene un campo che vicino all’ origine ha un andamento lineare nelle tre direzioni: risulta un campo quadrupolare che ha la forma

B= b





−^x2

−^y2

z



 (1.39)

b essendo il gradiente di quadrupolo in direzione ˆz. Questo genera una forza elastica

Fel= −χ





−^x2

−^y2

z



 (1.40)

χ essendo dato da 1.38. La forza risultante agente sull’ atomo intrappolato nella MOT ´e data pertanto da:

F= −βv + Fel (1.41)

β essendo dato da 1.33.

1.4 Regimi di funzionamento della MOT

Per descrivere il comportamento e la dinamica degli atomi intrappolati una trap- pola magneto-ottica in un primo tempo ( vedi [14]) si `e tentata una teoria il cui modello faceva risalire i meccanismi di raffreddamento ed intrappolamento agli shift Doppler e Zeeman, come del resto si `e fatto in 1.3; tuttavia i risultati cos`ı ricavati sono applicabili soltanto a quegli atomi che si trovino in fase di cattura, e non `e utilizzabile per spiegare quanto avviene nella parte centrale della MOT.

In tale regione la forza dominante ha origine da meccanismi sub Doppler ed `e estremamente complicato trattarla. Nel regime di funzionamento standard le interazioni atomo-atomo sono estremamente importanti per la dinamica della nube atomica, e fenomeni di riassorbimento di fotoni scatterati e di collisioni fredde tra gli atomi intrappolati vanno studiati e considerati. Poich´e una mod- ellizzazione di tali regimi risulta essere complessa, la via pi`u semplice da seguire

`e quella di combinare teorie semplici ai risultati sperimentali e produrre un set di relazioni semi-empiriche ([17]). La descrizione di tale metodo `e una sintesi di quella riportata in [18], in cui si sviluppa un modello semplice della forza agente sugli atomi di una MOT statica, introducendo un coefficiente di diffu- sione costante D, atto a spiegare il ”calore”, ed una espressione per la forza della forma:

f (r, v, n) = fo(r, v) + faa(r, v, n) (1.42) in cui r e v sono la posizione e la velocit`a dell’ atomo intrappolato, ed n `e la densit`a numerica locale degli atomi. Il primo termine di 1.42 `e la forza di frena- mento pi`u la forza di richiamo vista in 1.40, mentre il secondo termine descrive la forza che si origina dalla interazione tra l’ atomo ed il resto della MOT. Si assume che, vicino all’ origine, come descritto in 1.3, valgano le uguaglianze:

kz= 2kx= 2ky (1.43)

per i coefficienti elastici nelle tre direzioni. Si assume che valga il teorema di equipartizione dell’ energia, e ci`o genera le relazioni tra le deviazioni standard della velocit`a e della posizione nella trappola nelle varie direzioni i

1

2M ∆v_i²=1

2kii∆r²_i (1.44)

Tale assunzione sarebbe in linea di principio valida solamente per un sistema isolato, ma `e accettabile fintanto che faaed i termini di ordine superiore al pri- mo di fo sono trascurabili. La modellizzazione di faa `e, come gi`a detto, molto pi`u critica, ed un modo semplice di farlo pu`o essere quello di assumere ([19]) che l’ interazione interatomica modifichi, laddove sia influente, il valore della costante elastica risentita dall’ atomo intrappolato.

1.4.1 Regime limitato in temperatura

Se gli atomi sono ”pochi” (N < 10⁴) e la densit`a `e bassa `e legittimo trascurare il secondo termine di 1.42 e studiare una nube di atomi freddi non interagenti.

Dal teorema dell’ equipartizione dell’ energia risulta allora che:

1

2kii∆r_i²= 1

2KBT (1.45)

ed usando 1.46 per il campo quadrupolare `e ovvio che

p(2)rz= rx= ry (1.46)

In [18] `e fornito l’ andamento del coefficiente elastico k (sempre inteso quello lungo la direzione ˆz), dato da:

k = k0bΓ

δ (1.47)

essendo b il gradiente di quadrupolo espresso in Gauss. Definendo r ≡ rz, detto inoltre N il numero di atomi nella trappola, la densit`a atomica spaziale al centro della distribuzione ellittica gaussiana risulta:

n = N

2(√

2πr)³ (1.48)

Il raggio della nube non dipende da N poich´e si sta assumendo che T non dipenda da N e pertanto, per T fissata, n ∝ N.

In tale regime `e stato dimostrato ([20, 21]) che la temperatura del sistema risulta esattamente quella di una melassa ottica (stessa configurazione dei laser ma senza gradiente di campo magnetico), e ci si aspetta che T vari secondo la legge 1.34, che riscriviamo nella forma pi`u generale con l’ aggiunta di un offset¹¹:

KBT = c0+ cσ¯hΩ²

|δ| (1.49)

dove _K^c0

B ' 1 − 3µK, e cσ' 0.2 − 0.3. Allorch´e l’ offset si possa trascurare essa coincide con la 1.34, per cui si genera un raggio della nuvola indipendente dal detuning, se utilizziamo l’ espressione di k data da 1.47:

rT =r ¯hcsbΓ k0

ΩR

Γ (1.50)

1.4.2 Regime multiple scattering

In 1.4.1 abbiamo detto che il regime descritto di seguito vige quando gli atomi della MOT sono ”pochi”: in effetti, allorch´e N > 10⁴, le formule e le relazioni

11tale espressione vale per valori (assoluti) del disaccordo superiori a 5Γ, e con 0.02Γ <

Ω² R δ < 0.4Γ.

sopra ricavate non hanno pi`u valore. Quando la forza di interazione atomo-nube faa non `e trascurabile si trova la seguente legge empirica per la densit`a degli atomi nella MOT:

nM S = cM S

k0b λ¯hΓ

r Γδ

Ω² (1.51)

valida per detuning negativi e superiori in modulo a 2Γ; la costante cM S' 50.

Esiste un modello proposto da Walker, Sesko e Wieman [22], in cui le interazioni interatomiche nella nuvola sono schematizzate attraverso una forza repulsiva faa ∝ r_aa¹² . Il calcolo necessita una espressione delle sezioni d’ urto ottiche per l’ assorbimento dei fotoni laser e per l’ assorimento di fotoni re-irradiati dagli atomi della nuvola; il risultato `e la seguente espressione per la densit`a, per δ > 2Γ:

nM S= k0bΓ δ

(4δ²+ Γ²+ 12Ω²)² 18λ¯hΓΩ⁴

δ²+ 6Ω²

δ²− 2Γ² (1.52)

In [18] si afferma che sperimentalmente non `e stato riscontrato un andamento come descritto da 1.52, che farebbe pensare ad una densit`a della nube uniforme spazialmente, dipendente fortemente dal detuning e dalla intensit`a dei fasci.

Quello che `e stato, invece, riscontrato negli esperimenti `e una distribuzione gaussiana della densit`a, che non dipende sensibilmente da δ e da Ω. Sempre in questo articolo si sostiene che in effetti il MS si individua sperimentalmente quando si viene a formare un picco della densit`a che risulta pi`u o meno indipen- dente dal numero di atomi intrappolati.

Il raggio della nube si stima in tale regime assumendo che, per N fissato, nM S'N

V = N

(√

2πr)³ ∝ b (1.53)

Conseguentemente risulta

rM S = 1

√2π N nM S

1 3

(1.54) Il confronto tra 1.54 e 1.50 detta il confine tra i due regimi fin qui visti: per rM S > rT la nube non `e compressa fino al valore del regime limitato in temper- atura, ma resta pi`u estesa a causa del multiple scattering dei fotoni.

La temperatura risulta, in tale regime, data (vedi [20, 21]) da:

TM S= aN¹³ Ω

|δ|+ b (1.55)

essendo a [20] e b [21] rispettivamente:

a = 1.2µK b = 0.51µK

1.4.3 Regime a due componenti

Al centro della MOT il confinamento degli atomi `e dovuto a meccanismi sub Doppler, e l’ andamento della forza agente `e lineare con la posizione; nella zona esterna invece il confinamento, pi`u debole, ha origine dagli shift Zeeman dei sottolivelli eccitati, come descritto in 1.3. Caricando via via maggiormente la MOT, la nuvola diventa sempre pi`u grande, fino a riempire la zona centrale di forte confinamento. Intrappolando ulteriori atomi, questi finiscono nella zona esterna di pi`u debole confinamento e, conseguentemente, il volume della trappo- la si espande sensibilmente. A patto di intrappolare un gran numero di atomi `e lecito trascurare la porzione di questi che si trova nella zona centrale, e dunque il sistema risulta interpretabile attraverso una semplice teoria Doppler. Calcoli quanto-meccanici [23] e semiclassici [24] per una MOT 1D dimostrano che il limite tra la zona centrale e la periferia si ottiene quando il raggio `e tale che gli shift Zeeman sono dello stesso ordine del light shift dello stato fondamen- tale. Anche in 3D sembrano validi questi calcoli, che, infine, danno la seguente espressione per il raggio della MOT:

r2c = c2c

µBb

¯hΩ²

δ (1.56)

1.5 Forza di dipolo

In 1.2 si `e visto come la radiazione laser shifti i livelli atomici non perturbati, provocando dei light shift (vedi 1.28). In particolare, quando si abbia a che fare con un campo la cui intensit`a presenti una variazione spaziale, e che sia molto detunata, si pu`o descrivere la forza agente sull’ atomo in termini di una Fdip

conservativa, derivata da un’ energia potenziale Udipattraverso Fdip= −∇U^dip, essendo Udip la energia vista dagli autostati atomici dell’ hamiltoniana totale 1.27. Risulta che l’ energia potenziale `e data da

Udip= ¯h

4δΩ²_R(r) (1.57)

in cui la frequenza di Rabi dipende dalla posizione. Una tale espressione `e valida in regimi di basse intensit`a e di grandi detuning, il che genera uno stato eccitato scarsamente popolato.

Assumendo che l’ atomo si muova con velocit`a bassa nella zona in cui `e presente il gradiente di intensit`a, cosicch´e si sia sempre in una condizione di equilibrio tra stato interno e campo e.m., e che l’ atomo non trascorra nella zona in cui il campo `e presente un tempo sufficiente perch´e l’ emissione spontanea abbia mo- do di modificare significativamente la sua traiettoria, `e possibile generalizzare l’ espressione del potenziale anche a valori elevati di intensit`a ed a bassi de- tuning. Se il tempo caratteristico della emissione spontanea `e espresso da 1/Γ, la prima assunzione fatta richiede che (vz/I)(dI/dz)  Γ; la seconda implica invece che vz lΓ, l essendo il tratto spaziale su cui avviene l’ interazione. Le due condizioni, pertanto, dettano un andamento dell’ intensit´a della radiazione

nello spazio che `e dato dalla relazione: (l/I)(dI/dz)  1 [25]:ci`o prevede che la variazione dell’ intensit`a relativa per unit`a di lunghezza deve essere minore della scala spaziale su cui `e attiva l’ interazione, vale a dire il profilo dell’ onda incidente deve essere sufficientemente smooth.

In tali condizioni il potenziale sentito da un sistema atomico a due livelli `e dato dalla espressione (vedi [1, 2, 25]):

Udip= ¯hδ 2 ln



1 + 2 Ω²_R(r) Γ²+ 4δ²



(1.58) cosicch´e la forza di dipolo vale

Fdip= − ¯hδ

Γ²+ 4δ²+ 2Ω²_R(r)∇(Ω²R(r)) (1.59) Introdotto il parametro di saturazione

s(r) ≡ 2 Ω²_R(r)

Γ²+ 4δ² (1.60)

si possono esprimere forza e potenziale di dipolo con queste espressioni¹²: Udip= ¯hδ

2 ln(1 + s(r)) (1.61)

Fdip= −¯hδ 2

1

1 + s(r)∇s(r) (1.62)

1.6 Standing wave

Adesso applichiamo quanto visto ad una configurazione del campo e.m. di onda stazionaria (vedi 1.2): tale configurazione si pu`o ottenere se retroriflettiamo un fascio laser linearmente polarizzato. Sia x = 0 la posizione dello specchio e sia E(x) = E0ˆz sin(ωt) sin)(kx): il profilo della intensit`a `e allora dato (mediando su un periodo del campo) da:

I(x) = I0

2 (1 − cos(2kx)) = I⁰sin²(kx) (1.63) Osservando la forma del potenziale 1.61 si vede che per detuning negativi il potenziale `e massimo nei punti in cui l’ intensit`a `e minima, mentre per detun- ing positivi esso `e massimo dove l’ intensit`a `e massima. Nel primo caso gli atomi sono spinti verso i massimi dell’ intensit`a, nel secondo verso i minimi. Si ha cos`ı la creazione di un sistema di lenti per gli atomi, distanti λ/2 l’ una dall’

12Per bassi valori di s(r) 1.61 si riduce a 1.57

Figura 1.4: Focalizzazione degli atomi ad opera della S.W.

altra¹³. Se l’ intensit`a del fascio laser `e di forma gaussiana nella direzione ˆz di propagazione degli atomi, cio´e `e della forma

I(x) = I0exp(−2(z

w)²) sin²(kx) (1.64) si pu`o fare uno studio del moto dell’ atomo ( vedi [25] ), basandoci sulla legge classica del moto, ossia su

M ¨xi= −∂Udip

∂xi

(1.65) La equazione del moto si pu`o risolvere se assumiamo che il moto dell’ atomo sia ∼ parallelo alla direzione ˆz (approssimazione parassiale) e se si approssima la sin- gola buca di potenziale con una parabola (approssimazione armonica): la ricerca della soluzione delle equazioni del moto permette di trovare un’ espressione per la lunghezza focale delle lenti. In [2] si ha una espressione della lunghezza focale nei due casi (a) in cui la posizione del fuoco `e dentro la s.w.(immersed regime)

; (b) in cui la posizione del fuoco `e fuori di essa (thin lens regime):

fth = r 2 π

1 w

v² ωos

(1.66) fim = πv

2ωos

(1.67)

13Nella trattazione qui fatta non si specifica, ma va tenuto conto che la frequenza di Rabi dipende per un atomo reale, cio´e multilevel, non soltanto dalla posizione dell’ atomo, ma anche dallo stato in cui esso si trova: infatti per un atomo reale la radiazione polarizzata linearmente accoppia i sottolivelli Zeeman del fondamentale e dell’ eccitato secondo la regola

|J, M i → |J + 1, M i. Poich´e i coefficienti di C.G. sono diversi a seconda della transizione, il sistema vede tanti differenti profili di potenziale quante sono le diverse forze di accoppiamento tra i vari sottolivelli magnetici. Resta fissata, comunque, la periodicit`a del potenziale, mentre cambia, per cos`ı dire, la profondit`a delle buche.

dove v `e la velocit`a dell’ atomo che viene ”focalizzato”, e - detta ωrecla frequenza di rinculo, ed ΩR la frequenza di Rabi massima-

ωos= ΩR

rωrec

|δ|

La ωos `e, in generale, la frequenza di oscillazione degli atomi nella S.W.: in immersed regime gli atomi subiscono un grande numero di oscillazioni attraver- sando la lente (finiscono nel cosiddetto regime di channeling); invece nell’ altro caso gli atomi sono soggetti a poche oscillazioni. Per ottenere una forte focal- izzazione `e chiaro che sia desiderabile una piccola f.l., e pertanto il caso di im- mersed regime, in cui il campo interagisce pi`u a lungo con gli atomi e ne modifica maggiormente la posizione. Notare, inoltre, come nel caso di immersed regime la qualit`a della lente venga a dipendere esclusivamente dal detuning e dalla in- tensit`a massima della radiazione utilizzata, senza dipendere dal suo waist.

Il limite di diffrazione per un tale sistema si calcola come segue: dall’ ottica standard si ha l’ espressione

ddif f = λ

2N A (1.68)

Per il nostro caso λ = λDB ed N A = (λ/2)/2f . Per un raggio atomico termico (v ∼ 1000m/s) ed una lunghezza focale di 50µm risulta d^{dif f} ∼ 2nm. Come si pu`o vedere tale limite `e ben lontano dalle larghezze tipiche delle nanostrutture ottenute con la litografia atomica, che si aggirano attorno ai 30nm.

Altra limitazione ”importata” dall’ ottica dei fotoni `e la divergenza del fascio atomico che penetra nel sistema di lenti: si sa che la posizione sul piano focale, rispetto all’ asse ottico, in cui viene focalizzato un atomo che incida sulla lente con un angolo ϑ, `e data da

ddiv= f ϑ (1.69)

Questo vuol dire che gli atomi, che incidono sulla lente con una velocit`a trasversa non nulla, provocano un allargamento dello spot focale. Valori tipici di diver- genza, ottenibili tramite schemi di laser cooling trasverso, si aggirano attorno a ϑ ∼ 0.5µrad, e ci`o causa uno spot focale di 25nm, supponendo al solito f = 50µm.

Infine sono da considerare gli effetti legati alla non-armonicit`a del potenziale reale. Trattare la situazione effettiva si pu`o fare solamente per via numerica, tramite simulazioni delle traiettorie che considerano, tra l’ altro, l’ emissione spontanea, atomi reali multi level, dotati di velocit`a trasversa non nulla (vedi [25]). Il comportamento risultante da tali studi porta all’ evidenza di effetti di al- largamento delle strutture depositate, descrivibili in termini di processi di aber- razione. Le aberrazioni cromatiche originano dal fatto che gli atomi costituenti il fascio non hanno tutti la stessa velocit`a longitudinale, per cui (vedi 1.67) varia la lunghezza focale: per piccole variazioni della velocit`a (δvz/vz ∼ 0.1) vale la relazione

δf = 0.3∆vz

vz

(1.70)

Le aberrazioni sferiche originano invece dalla non armonicit`a del potenziale e dal fatto che alcuni atomi (quelli che incidono sulla S.W. non in prossimit`a dei nodi, per detuning positivi) sono focalizzati in un punto che `e oltre il fuoco dato da 1.67, perch´e essi hanno una minore ωos. Ci`o origina un background sulla struttura che `e detto piedistallo.