Studio di Funzione

Studio di Funzione

Conoscenze richieste:

limite di funzione a una variabile, limite destro e sinistro, tipi di discontinuità, derivabilità di funzioni a una variabile, punti di non derivabilità, derivata, flessi orizzontali, verticali, obliqui, asindoti, concavità.

NOTA SUI LIMITI: si esegue sempre il limite sinistro e quello destro, e se coincidono la funzione è continua in quel punto, se sono finiti ma diversi allora c’è una discontinuità della 1° specie.

Campo di esistenza

Sistema con:

 Se c’è un denominatore porre diverso da

 Per ogni radice, porre il radicando

 Per ogni logaritmo, porre l’argomento Sono punti “notevoli”:

 Punti singoli esclusi dal campo di esistenza

 Estremi del campo di esistenza

NOTA: da ora in poi si intende che ogni equazione/sistema di equazioni venga risolto all’interno del campo di esistenza

Intersezioni con gli assi

 Trovare le intersezioni con l’asse risolvendo

 Trovare l’intersezione con l’asse ponendo (nel caso in cui sia un punto “notevole”

occorre fare il *limite per

Segno

Risolvere

Punti Notevoli e asindoti verticali

Eseguire i limiti in tutti i punti “notevoli”

Se il limite tende a infinito, il punto è asindoto verticale (discontinuità del 2° tipo)

Asindoti

Se il dominio è illimitato (per esempio i numeri reali) seguire il limite per Se tale limite risulta finito e vale , è presente un asindoto verticale

Se tale limite risulta infinito, eseguire il limite per di

Se tale limite risulta o , non è presente neanche l’asindoto obliquo.

Se invece ha un valore finito diverso da 0, allora è presente un asindoto obliquo , con e

Derivata prima

Calcolare la derivata prima di , che chiamiamo

Punti Critici

Risolvere

Segno della derivata prima

Risolvere

Flessi verticali, punti non derivabili

Calcolare i limiti di nei punti notevoli in cui la funzione è continua;

Se il limite risulta calcolare limite destro e sinistro, se hanno lo stesso segno si tratta di un flesso verticale, se hanno segni discordi di una cuspide. Se almeno uno fra limite destro e sinistro è finito e sono diversi, è un punto angoloso.

Derivata seconda

Calcolare la derivata seconda di , che chiameremo

Segno della derivata seconda

Risolvere

Minimi, massimi, flessi orizzontali

Calcolare nei punti critici che chiamiamo . Se , è punto di minimo; se , è punto di massimo. Se per stabilire che tipo di punto è occorre guardare il segno di :

 Se per e per , allora è punto di minimo

 Se per e per , allora è punto di massimo

 Se per e per , allora è un flesso discendente

 Se per e per , allora è un flesso ascendente

Flessi Obliqui

Risolvere . Chiamiamo tali punti. In tali punti si hanno flessi obliqui di equazione

, dove e .

Disegnare la funzione

Preparare il piano cartesiano

 Eliminare dal piano x-y le zone non appartenenti al campo di esistenza (tipicamente strisce o semipiani)

 Disegnare i punti di intersezioni con gli assi

 Disegnare le rette parallele all’asse y nei punti in cui la funziona cambia di segno, e cancellare dal piano le aree di segno diverso da quello della funzione

 Disegnare le rette di asindoto verticale, orizzontale e obliquo

 Disegnare i punti di minimo, massimo, e di flesso

 Disegnare i punti di cuspide, angolosi, non derivabili

Disegnare la funzione negli intorni dei punti

Disegnare la funzione negli intorni dei punti disegnati, in questo modo:

Disegnare la funzione

Finire il disegno facendo attenzione

 Che la funzione sia crescente o decrescente dove il segno di è rispettivamente positivo/negativo

 Che la concavità guardi verso l’alto/il basso dove il segno di è rispettivamente negativo/positivo