Laser a cascata quantica modulati da onde acustiche di superficie

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Indice

Introduzione 3

1 Transizioni intrabanda 6

1.1 Sottobande in eterostrutture . . . 6

1.1.1 Densit`a degli stati . . . 9

1.2 Minibande in superreticoli . . . 12

1.3 Transizioni ottiche intersottobanda . . . 15

2 Laser a cascata quantica 17 2.1 Propriet`a della regione attiva . . . 18

2.2 Propriet`a dell’iniettore . . . 21

2.3 Zona attiva, diversi tipi di progetto . . . 22

2.3.1 Regioni attive per emissione nei Terahertz . . . 24

2.4 Guadagno in un laser a cascata quantica . . . 26

2.5 Corrente di soglia . . . 27

2.6 Guide d’onda . . . 28

2.6.1 Guide d’onda per emissione nei Terahertz . . . 31

3 SAW su eterostrutture 36 3.1 Onde superficiali . . . 36

3.2 Interazione con un 2DEG . . . 41

3.3 Simulazioni numeriche . . . 42

3.3.1 Parametri dei materiali . . . 43

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INDICE INDICE 4 Risuonatori acusto-ottici 49 4.1 ADFB . . . 50 4.2 Modello ADBR . . . 53 4.3 Ottimizzazione di dispositivi . . . 56 5 Fabbricazione dispositivo 60 5.1 Fabbricazione . . . 60

5.1.1 Laser a cascata quantica . . . 60

5.1.2 Trasduttori . . . 63 5.2 Set-up sperimentale . . . 65 6 Misure 68 6.1 Linee di ritardo . . . 68 6.2 Laser QCL . . . 72 6.3 Sistemi composti . . . 74 6.3.1 Caratterizzazione ADFB . . . 74 Conclusioni 79 Bibliografia 81

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Introduzione

Le cavità Fabry-Perot rappresentano l’approccio più comune per fornire il feedback ottico necessario all’azione laser e, conseguentemente, di norma, i dispositivi, a causa dell’uguaglianza delle perdite relative ai molteplici modi longitudinali attivi in ca-vità, difficilmente posso essere fatti operare in regine di singolo modo. Tuttavia in molte applicazioni (spettroscopia, astronomia, sensori chimici) è di grande inte-resse poter disporre di sorgenti a singola frequenza con caratteristiche di precisione, stabilità e accordabilità. Questo può essere ottenuto combinando il mezzo attivo con quello che oggi è detto Cristallo Fotonico monodimensionale [1]. Attraverso la variazione periodica dell’indice di rifrazione efficace della cavità è possibile ottenere la diffusione alla Bragg dei fotoni ivi propaganti: in questo modo, ad una specifica frequenza si genera un feedback rilevante distribuito su tutta la lunghezza del reticolo (Distributed FeedBack, DFB). Alternativamente è possibile realizzare dispositivi a singolo modo utilizzando una cavità Fabry-Perot dove uno degli specchi riflette solo ad una determinata lunghezza d’onda. Questo avviene ad esempio, quando uno specchio tradizionale è sostituito da un riflettore di Bragg. In questo caso solo la radiazione in fase con quest’ultimo contribuisce al feedback del laser.

Oggi per realizzare Laser DFB a semiconduttore, sono utilizzate prevalentemente tecniche di litografia ottica ed elettronica [2]. Tuttavia, sono stati proposti nu-merosi altri metodi per generare perturbazioni dell’indice di rifrazione. Uno di questi prevede la generazione di un’onda acustica di superficie (Surface Acoustic

Wave, SAW ) nel materiale semiconduttore [3]. La caratteristica pi`u interessante di questo approccio è data dalla possibilità di variare la frequenza di risonanza del DFB, semplicemente variando la lunghezza d’onda della SAW. Tuttavia, per realizzare un effetto DFB a basso ordine, è necessario generare onde acustiche con lunghezza d’on-da comparabile a quella della radiazione [4]. La fabbricazione di tali dispositivi per

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Introduzione

laser nel visibile o nel vicino infrarosso `e pertanto estremamente complessa. Il re-cente sviluppo dei laser a cascata quantica (Quantum Cascade Laser, QCL), rende possibile utilizzare questi dispositivi per strutture DFB indotte da onde acustiche [4] (Acoustically induced Distributed FeedBack, ADFB) nel lontano infrarosso. Nella regione dei THz sono gi`a disponibili QCL operanti tra i 2 e i 5 THz, con potenze di emissione dell’ordine del milliwatt [5].

L’obbiettivo di questo lavoro di tesi `e lo studio delle caratteristiche che devono possedere le strutture QC per consentire la modulazione di radiazione THz tramite onde acustiche di superficie. In particolare sono state evidenziate le limitazioni tecnologiche di questi dispositivi, che vanno risolte tramite un’accurata ingegneriz-zazione. In questo lavoro saranno analizzati sia lo schema ADFB che ADBR

(Acous-tically induced Distributed Bragg Reflector). Entrambi gli schemi proposti sono stati

effettivamente realizzati con la fabbricazione di un trasduttore interdigitato deposi-tato tramite evaporazione termica sulla superficie di un’eterostruttura progettata per QCL nel sistema materiale GaAs/AlGaAs. Questo materiale è piezoelettrico come necessario per la realizzazione dei dispositivi di interesse. Per ogni dispositivo, per guidare la fabbricazione, sono state analizzate le proprietà ottiche tramite meto-di ad elementi finiti. Infine è stata effettuata una caratterizzazione optoelettronica per osservare gli effetti che la SAW genera su un laser a cascata quantica.

Questo lavoro ha evidenziato come sia possibile realizzare dispositivi con pro-prietà estremamente interessanti, utilizzando tecniche relativamente semplici e ben consolidate come quelle relative a QCL e SAW. Tuttavia i primi dispositivi realizza-ti rappresentano solamente una verifica sulla effetrealizza-tiva possibilità di fabbricazione di strutture ADBR e ADFB. In questo lavoro ho osservato una limitata interazione tra onda acustica e regione attiva, prevalentemente nel regime di soglia del laser. Questo è dovuto alla debole intensità della SAW che si può generare nel sistema materiale scelto in quanto questo presenta una costante di accoppiamento piezoelettrico non elevata. Esistono però concrete opportunità per aggirare questo ostacolo in fase di progetto del dispositivo ricorrendo ad esempio a configurazioni ibride che integrino un QCL nel sistema AlGaAs con trasduttori fabbricati in materiali ad alta efficienza piezoelettrica.

Nei primi due capitoli `e presentata una descrizione del funzionamento dei laser a cascata quantica e delle relative guide d’onda. Nel capitolo tre viene data un’in-troduzione alle onde acustiche di superficie, mentre nel capitolo quattro `e discusso

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Introduzione

come queste onde possano interagire con il modo ottico, facendo uso di simulazioni al calcolatore tramite un modello ad elementi finiti. I capitoli seguenti descrivono il lavoro sperimentale, includendo le motivazioni delle scelte sulle caratteristiche geo-metriche dei dispositivi fabbricati. Infine sono presentate conclusioni e possibili sviluppi.

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Capitolo 1

Transizioni intrabanda

1.1 Sottobande in eterostrutture

I laser a cascata quantica sono dispositivi optoelettronici unipolari, basati su tran-sizioni intrabanda tipicamente all’interno della banda di conduzione.

Il sistema più semplice per generare delle sottobande è la realizzazione di un sin-golo pozzo quantico utilizzando un’eterostruttura di semiconduttori, cioè un cristallo artificiale realizzato sovrapponendo strati di due o più semiconduttori.

Se i due materiali presentano dei gap differenti, si ottiene una discontinuità nell’energia delle bande. Nel caso in cui un sottile strato di semiconduttore A venga inserito in un altro semiconduttore B con un gap maggiore, i profili delle bande presentano due discontinuità e, in particolare, se il gap del materiale A è interamente compreso all’interno di quello di B, i due semiconduttori costituiscono un’eterogiunzione del primo tipo, in cui i minimi della banda di conduzione e di valenza presentano una buca in corrispondenza del cambio di materiale (Fig. 1.1).

Dal momento che questo lavoro di tesi riguarda strutture unipolari contenenti solo elettroni, saranno trattati solo gli aspetti relativi alle propriet`a della banda di conduzione. Per la banda di valenza la trattazione `e analoga, ma complicata dalla degenerazione nel punto di massimo per k = 0 che si riscontra in genere nei materiali III-V che sono quelli di nostro interesse.

Gli elettroni risentono della discontinuit`a delle due bande che si traduce in un cambiamento del potenziale a cui sono soggetti. Nell’approssimazione di massa efficace l’elettrone di massa m∗ _{`e sottoposto all’azione di un potenziale efficace}

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Sottobande in eterostrutture Transizioni intrabanda

Figura 1.1: Schema di un pozzo quantico realizzato inserendo un strato di un semiconduttore A in un altro semiconduttore B. Sono mostrati il minimo della banda di conduzione e il massimo della banda di valenza. Sono mostrati anche i livelli energetici a k⊥= 0 delle possibili sottobande nelle

bande di valenza e conduzione.

Vef f(y) il cui andamento corrisponde a quello del minimo della banda di

con-duzione Ec(y). I livelli energetici nella banda di conduzione possono essere calcolati

nell’approssimazione della funzione inviluppo [6], [7].

Nella trattazione a singola banda, in un intorno del vettore k, la funzione elettronica pu`o essere approssimata nel modo seguente

Ψ = eik⊥·r_u

ck(r)χn(y), (1.1)

dove y `e la direzione di crescita, k⊥ `e la componente del vettore d’onda

perpen-dicolare alla direzione di crescita, uck(r) `e la parte atomica relativa alla banda di

conduzione e χ_n(y) `e appunto la funzione inviluppo [6]. Quest’ultima `e determinata in un singolo strato dall’equazione:

µ − ~ 2 2m∗_(y) ∂2 ∂y2 + Vef f(y) ¶ χn(y) = εnχn(y), (1.2)

dove m∗ _{`e la massa efficace dell’elettrone, V}

ef f `e il potenziale efficace e εn`e l’energia

di confinamento dei portatori di carica.

Nel caso di una particella con massa efficace m∗ _{in una buca unidimensionale}

infinitamente profonda e larga L, gli autovalori dell’energia sono

εn= ~ 2 2m∗k 2 yn = ~2 2m∗ ³ nπ L ´₂ , (1.3)

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Nel caso in cui la profondit`a del pozzo sia finita e valga V0, risolvendo la (1.2) si

ottengono le seguenti autofunzioni per gli stati legati

χn(y) = C cosky,ny |y| < L/2 n dispari (1.4)

χn(y) = C sinky,ny |y| < L/2 n pari,

dove C `e una costante di normalizzazione e

εn=

~2_k2

y,n

2m∗ − V0 dentro il pozzo −V0 < εn< 0. (1.5)

Le soluzioni in (1.4) devono soddisfare le condizioni al contorno che garantis-cono la continuit`a della funzione d’inviluppo χn(y) e della [1/m∗(y)][∂χn(y)/∂y] alle

interfacce.

In un pozzo quantico di qualsiasi profondit`a e larghezza esiste almeno uno stato legato [7], mentre il numero di stati legati aumenta con la profondit`a della buca. Le prime due funzioni d’inviluppo χ1, χ2 sono riportate in Fig. 1.2. Inoltre in Fig. 1.3

si pu`o notare che le energie dei livelli crescono se diminuisce la larghezza della buca.

Figura 1.2: Stati elettronici in una buca finita: lo stato fondamentale E1 e il primo eccitato E2. A causa dell’altezza finita della barriera, gli stati si estendono all’interno della barriera. [7]

Il moto degli elettroni nel piano perpendicolare alla direzione di crescita rimane quello di una particella libera, quindi kx e kz possono variare liberamente. L’energia

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Figura 1.3: Energia di confinamento degli elettroni in funzione della larghezza del pozzo in una struttura In0.53Ga0.47As/Al0.48In0.52As. L’offset di banda `e pari a 520 meV [8]

totale di un portatore di carica risulta pertanto essere (per un pozzo infinito)

En(kx, kz) = µ ~2 2m∗ ¶ h³_nπ L ´ + k_x2+ k2_z i . (1.6)

Ad ogni possibile valore di k_ycorrispondono infiniti valori della coppia (k_x, k_z). Si formano delle sottobande bidimensionali identificabili attraverso il numero quantico

n. Nell’approssimazione di massa efficace, le sottobande cos`ı formate sono

conside-rate paraboliche, tutte approssimativamente con la stessa curvatura (si confronti la Fig. 1.4).

L’approssimazione risulta in buon accordo con i dati sperimentali fino a quando si ha a che fare con livelli localizzati nelle vicinanze del minimo della banda di conduzione.

1.1.1 Densit`a degli stati

Abbiamo visto che in un pozzo quantico la banda di conduzione viene discretizzata in tante sottobande bidimensionali. Questo si traduce in una densit`a degli stati con una forma particolare. Per un sistema bidimensionale vale la seguente relazione per

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Figura 1.4: Rappresentazione schematica dell’energia delle sottobande in un pozzo quantico in funzione del vettore d’onda nel piano (x,y) k⊥, sia per la banda di valenza che per quella di

conduzione.

la densit`a di stati ρ(E) [7]

ρ(E)dE = ρ(k_⊥)dk_⊥= 2 · 1

(2π)2 · 2πk⊥dk⊥ . (1.7) Nell’approssimazione parabolica si ha che E = ~2_k2

⊥/2m∗, la (1.7) diventa

ρ = m∗

π~2. (1.8)

La densità di stati per una sottobanda è quindi costante e non dipende da E. La densità totale di stati a una data energia è:

ρtot(E) = m ∗

π~2

X

θ(E − En) , (1.9)

dove θ(E −En) `e la funzione a gradino. A differenza dei sistemi tridimensionali, dove

la densità degli stati tende a zero per bassi valori dell’energia, in un pozzo quantico essa resta finita anche per bassi valori dell’energia cinetica o della temperatura (si veda la Fig. 1.5), questo determina delle peculiarità rispetto al caso tridimensionale. Di rilevanza particolare per le probabilità di assorbimento ed emissione ottici è il comportamento della densità congiunta degli stati. Includendo lo spin, la densità congiunta degli stati è definita come [9]

Jf i(ω) =

Z 2 dk

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Figura 1.5: Densità di stati in un sistema tridimensionale (3D), in uno bidimensionale (2D) e in un superreticolo. La densità di stati in un sistema bidemensionale è una funzione a gradini. In un superreticolo l’andamento è più morbido, a-b è la prima minibanda, b-c è il plateau corrispondente al primo minigap, c-d è la seconda minibanda, d-e il secondo minigap e e-f è la terza minibanda. Da [7].

Per i laser basati sulle transizioni interbanda, dove le curvature della banda di conduzione e di valenza sono opposte, la densit`a congiunta degli stati `e una funzione analoga all’Eq. 1.9 (assumendo che i profili delle bande siano parabolici):

J_interbanda(~ω) ∝ ρ(~ω) ∝ Xθ(~ω − En), (1.11)

dove En= Ef − Ei e Ei, Ef sono le energie dello stato iniziale e di quello finale.

Al contrario nel caso intrabanda, nell’approssimazione parabolica, le curvature delle sottobande sono tutte uguali e le transizioni intersottobanda avvengono solo a un dato valore di (E_f − E_i). Questo implica che la densit`a congiunta degli stati ha l’andamento del tipo:

Jintrabanda(~ω) ∝

X

δ(~ω − Ef i). (1.12)

In realtà esiste un allargamento della densità congiunta degli stati dovuta al-l’interazione con le impurezze all’interno del cristallo, ai difetti della struttura, allo scattering con i fononi. Per descrivere questo allargamento si introduce un coeffi-ciente fenomelogico γf i calcolato come la semilarghezza a metà altezza del picco di

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Minibande in superreticoli Transizioni intrabanda

1.2 Minibande in superreticoli

Se la profondità di un pozzo quantico è finita, le funzioni d’onda elettroniche pene-trano all’interno della barriera di potenziale decadendo esponenzialmente. Per due pozzi quantici separati da un barriera abbastanza sottile è possibile che le funzioni d’onda di uno dei pozzi si estendano nell’altro pozzo, interagendo con gli stati del secondo pozzo. Le buche di potenziale risultano essere accoppiate (Fig. 1.6).

Figura 1.6: Stati elettronici in due pozzi quantici accoppiati. L’energia degli stati risultanti pu`e essere pi`u piccola (stato simmetrico) o pi`u alta (stato antisimmetrico). V1 e V2 sono i potenziali imperturbati, Ψ1, Ψ2 le funzioni d’onda imperturbate. Da [7].

Nella figura sottostante si pu`o osservare che gli stati risultanti sono energetica-mente separati di una quantit`a che dipende dallo spessore della barriera. Questa differenza aumenta se la barriera diminuisce (quindi se l’accoppiamento tra i pozzi aumenta), come mostra il grafico in Fig. 1.7.

Si intuisce facilmente che, se i pozzi sono pi`u di due, vengono a formarsi delle minibande costituite da una serie di stati elettronici energeticamente molto vicini (Fig. 1.8). Le minibande hanno tipicamente una larghezza di banda pi`u piccola della differenza energetica tra i vari livelli energetici all’interno del singolo pozzo quan-tico. Questo permette di riconoscere dei veri e propri minigap tra due minibande consecutive.

In questo modo gli elettroni risultano essere delocalizzati all’interno della serie di pozzi (detta superreticolo), con la possibilit`a di muoversi e di sfuggire parzialmente al confinamento quantistico imposto dalle singole buche di potenziale. Se viene applicato un campo elettrico lungo la direzione di crescita del superreticolo in Fig.

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Figura 1.7: (A sinistra) Moduli delle funzioni d’onda elettroniche in due pozzi quantici accoppiati separati da una sottile barriera. (A destra) Differenza energetica tra la prima e la seconda funzione d’onda in funzione dello spessore della barriera. Il calcolo `e stato fatto per una coppia di pozzi quantici di In0.53Ga0.47As larghi 75˚A . Da [11].

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Figura 1.8: Minibande all’interno della banda di conduzione in un superreticolo. Il Superreticolo `e composto da cinque pozzi identici. L’accoppiamento delle funzioni d’onda si traduce nella for-mazione di minibande di stati elettronici energeticamente molto vicini. Si nota anche la forfor-mazione di un minigap tra la minibanda formata dagli stati fondamentali delle buche di potenziale e quella formata dai primi eccitati. Da [11].

1.8, gli stati fondamentali di ciascun pozzo si separano, disaccoppiando i pozzi. Le funzioni d’onda elettroniche formano una scala di Wannier-Stark (Fig. 1.9).

Un elettrone in un superreticolo `e soggetto a un potenziale efficace pi`u complesso del pozzo quantico. Ovviamente gli stati elettronici, nell’approssimazione di massa efficace a singola banda, sono ancora approssimabili tramite una funzione d’inviluppo

χ_n(y). Se il potenziale periodico del superreticolo `e V_SR, strato per strato la funzione d’inviluppo `e determinata dalla seguente equazione [10]:

− ~2

2m∗_(y)

∂2

∂y2χn(y) + VSR(y)χn(y) = Eχn(y) , (1.13)

con le appropriate condizioni al contorno sulla continuit`a di [1/m∗_(y)][∂χ

n(y)/∂y] e

di χ_n(y).

Per avere un’espressione semplice ed esplicita della dispersione dell’energia di una minibanda in un superreticolo, si ricorre a un modello alla tight-binding, partendo dagli stati dei singoli pozzi e considerando solo l’interazione con i pozzi vicini. Si ottiene [10] E_n(k) = ²_n+∆n 2 (1 ± cos kyd) + ~2_(k2 x+ kz2) 2m∗ , (1.14)

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Transizioni ottiche intersottobanda Transizioni intrabanda

Figura 1.9: Scala di Wannier-Stark. Se si applica un campo elettrico lungo la direzione di crescita all’eterostruttura in Fig. 1.8 le funzioni d’onda elettroniche risultano localizzate nei singoli pozzi quantici, formando la scala di Star, a causa della rottura dell’invarianza traslazionale. Da [11].

d `e il periodo del superreticolo. Il segno - si usa per le minibande dispari, mentre il

+ per quelle pari.

La densità degli stati in un superreticolo è simile a quella del singolo pozzo quan-tico. Ciò che la distingue è un andamento più morbido con plateau in corrispondenza dei minigap (linea continua in Fig. 1.5).

1.3 Transizioni ottiche intersottobanda

Le transizioni ottiche in un superreticolo o in un singolo pozzo quantico possono avvenire tra le sottobande degli elettroni e delle lacune (transizioni interbanda) oppure tra sottobande della stessa banda (transizioni intrabanda). In entrambi i casi l’elemento di matrice di dipolo tra lo stato iniziale e finale (i e f ) `e dato da [7]

M ∝ |hf |r · η|ii| = Z cristallo χ_i(y) eiki⊥·r⊥_u ki(r) η · r χf(y) e ikf ⊥·r⊥_u kf(r) dr, (1.15) dove le u_k sono le parti atomiche, χ `e la funzione inviluppo per lo stato iniziale (i) e finale (f), ki e kf sono i vettori d’onda nello stato iniziale e finale, η `e il vettore

polarizzazione della radiazione incidente.

Nei laser a cascata quantica le transizioni intersottobanda riguardano solo la ban-da di conduzione con il coinvolgimento dei soli stati elettronici. Pertanto l’elemento

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Transizioni ottiche intersottobanda Transizioni intrabanda

Figura 1.10: Schema per il calcolo degli elementi di matrice di transizione intrabanda (1.16). Le transizioni avvengono con stati di Bloch costanti e integrando sulle funzioni d’inviluppo. Anche le celle lontane dal centro o dai bordi contribuiscono al momento di dipolo, aumentandone l’intensit`a.

di matrice diventa [7]

M ∝

Z

cristallo

χe,f(y)η · rχe,i(y)dr

Z

cella

uck(r)u∗ck(r)dr . (1.16)

Le parti atomiche dello stato di partenza e dello stato finale sono uguali, essendo entrambi stati elettronici della banda di conduzione (u_cknon varia); quindi il secondo integrale va a uno se le funzioni atomiche sono normalizzate.

Le regole di selezione sono determinate dalla forma del momento di dipolo (1.16). Poiché le funzioni χ_e(y) sono ortogonali, è necessario che la componente lungo y di (η · r) sia diversa da zero (regola di selezione sulla polarizzazione). In particolare se φ è l’angolo tra la radiazione e la normale alla buca di potenziale, (η · r)_y è proporzionale a sin φ. Infine si nota che se gli stati hanno una parità definita le transizioni possono riguardare solo stati con parità differenti.

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Capitolo 2

Laser a cascata quantica

L’idea di ottenere radiazione laser da transizioni intrabanda nasce nei primi anni ’70 [12], [13]. La prima struttura considerata era molto pi`u semplice dei moderni laser a cascata quantica (laser QC) e consisteva in un superreticolo formato dalla ripetizione di una coppia pozzo-barriera. Una rappresentazione schematica di questa struttura `e riportata in fig. 2.1.

Figura 2.1: La proposta originale di Kazarinov e Suris. Nella figura di sinistra si osserva una transizione ottica tra due stati nello stesso pozzo quantico. Gli elettroni passano nel pozzo suc-cessivo tramite effetto tunnel, dove dopo avere rilassato non radiativamente emettono nuovamente un fotone. Nella figura di destra l’elettrone nel fondamentale di un pozzo passa nel primo stato eccitato del pozzo successivo in un processo di tunneling assistito da un fotone.

Se si applica un campo elettrico abbastanza intenso, il livello energetico più basso di un pozzo quantico può trovarsi ad un’energia più alta del primo eccitato del pozzo successivo. L’emissione radiativa è possibile in questa struttura sia tramite

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Propriet`a della regione attiva Laser a cascata quantica

una transizione ad una sottobanda inferiore dello stesso pozzo (Fig. 2.1 a) sia quando un elettrone nel fondamentale di un pozzo passa nella prima sottobanda eccitata del pozzo successivo in un processo di tunneling assistito da un fotone (Fig. 2.1 b). In realtà non è mai stata osservata emissione laser da strutture semplici come queste. Iniettando corrente nel dispositivo il campo elettrico lungo il superreticolo non si mantiene costante e l’allineamento delle sottobande risulta diverso a seconda della posizione del pozzo quantico nella struttura. Questo porta ad accumuli di carica che cambiano ulteriormente il campo elettrico e la dinamica dei portatori è pertanto differente da periodo a periodo (per periodo si intende l’unità fondamentale che viene ripetuta, in questo caso la coppia barriera-pozzo), cosa che rende il raggiungimento dell’inversione di popolazione problematica.

Nei laser QC, come dimostrato da Faist e collaboratori nel 1994, il problema di un campo elettrico disomogeneo lungo la struttura è stato risolto introducendo delle regioni di iniezione tra i pozzi quantici attivi che ospitano l’emissione ottica. Questi iniettori sono disegnati in maniera da consentire il mantenimento della neutralità di carica in ogni singolo periodo anche sotto il necessario trasporto di corrente, assicu-rando perciò l’uniformità del campo elettrico. Inoltre essi garantiscono il trasporto elettrico da una regione attiva all’altra tramite minibande appositamente allineate in energia e tunneling risonante attraverso l’ultima barriera dell’iniettore (detta barriera di iniezione). In Fig. 2.2 si può osservare una porzione di un laser QC che emette nel medio infrarosso. L’unità fondamentale iniettore-regione attiva viene ripetuta per un numero di periodi in genere di alcune decine, realizzando il potenziale per la “cascata” elettronica da cui il laser prende il nome.

Uno dei vantaggi più evidenti in una struttura di questo tipo è la possibilità di modificare ampiamente la posizione dei vari livelli energetici agendo sugli spessori dei pozzi e delle barriere. Questo rende possibile progettare strutture per emissione laser alle energie volute senza dover sostituire i materiali semiconduttori.

2.1 Propriet`

a della regione attiva

In generale l’emissione ottica avviene tra le sottobande 3 e 2 nella zona attiva (si osservi la Fig. 2.2). Essa viene progettata in modo che la differenza energetica dei due livelli sia quella desiderata e cercando di massimizzare l’elemento di matrice di dipolo M₃₂ della transizione. Dall’altro lato occorre garantire l’inversione di

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Figura 2.2: Struttura a bande di una porzione di un laser QC che emette nel medio infrarosso. La figura mostra un iniettore tra due zone attive. La zona attiva `e composta da tre pozzi situati tra la barriera d’iniezione (I) e la barriera d’uscita che immette nell’iniettore successivo. La transizione responsabile dell’emissione laser avviene tra il livello 3 e il livello 2. Il livello 1 serve a svuotare velocemente, tramite emissione di fononi ottici, il livello 2 per ottenere un’adeguata inversione di popolazione tra i livelli 3 e 2. In grigio sono disegnati gli stati nell’iniettore. Si tratta di otto stati (uno per ogni pozzo che costituisce l’iniettore) molto vicini tra loro. Questi stati formano una minibanda che assicura l’efficace termalizzazione e il trasporto elettronico.

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popolazione necessaria tra le due sottobande. Questo problema viene efficacemente risolto nel medio infrarosso introducendo un terzo stato, quello che in Fig. 2.2 viene indicato come stato 1. Questo livello serve a svuotare il livello 2 tramite emissione risonante di fononi ottici.

In un’eterostruttura, oltre all’emissione radiativa, esistono vari processi di

scat-tering non radiativo che permettono agli elettroni di transire da un livello

energeti-co all’altro. Questi processi energeti-comprendono la diffusione sulle impurezze distribuite all’interno del cristallo, quello con i difetti dell’interfaccia tra due semiconduttori diversi, lo scattering elastico tra elettroni e l’emissione (o assorbimento a tempera-ture elevate) dei due tipi di fononi, acustici e ottici. E’ stato dimostrato da Ferreira e Bastard [15] che in un’eterostruttura di semiconduttori, per energie superiori o comparabili a quelle dei fononi ottici, tra i processi menzionati, lo scattering con il fonone ottico longitudinale `e di gran lunga il pi`u rapido (di almeno due o tre ordini di grandezza).

In quest’ultimo caso il tempo di vita medio di un elettrone in un livello i (τi)

dipende sia dalla sovrapposizione dello stato i e dello stato f in cui l’elettrone rilassa, sia dal vettore d’onda del fonone ottico emesso (kOP). Per quanto riguarda la

dipendenza di τi da kOP, essa va come [15]

τi ∼ |kOP|2. (2.1)

Poich´e la relazione di dispersione per un fonone ottico `e circa costante (E non dipende da k_OP), τi aumenta con la separazione energetica delle sottobande, infatti

la transizione implica lo scattering con un fonone con kOP crescente (si confronti la

Fig. 2.3).

L’inversione di popolazione, indispensabile per il funzionamento del laser, viene ottenuta agendo sui tempi di vita medi τ3 e τ2 dei livelli 3 e 2. La situazione

ottimale è quella in cui τ₃ è molto maggiore di τ₂, questo assicura che il livello 3 è più popolato del livello 2. Per svuotare velocemente il livello 2 viene utilizzato lo stato 1, disegnato in maniera che la differenza energetica tra 2 e 1 sia risonante con l’energia del fonone ottico longitudinale (per GaAs ∼ 36 meV). In questo modo lo scattering da 2 a 1 avviene a kOP ∼ 0 ed è quindi brevissimo (τ21 ∼ 0.1 − 0.2 ps).

Si capisce che questo accorgimento pu`o funzionare semplicemente solo se i fotoni emessi possiedono un’energia superiore a quella del fonone ottico. Questo per`o non

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Propriet`a dell’iniettore Laser a cascata quantica

Figura 2.3: Meccanismi di rilassamento nella regione attiva di un laser QC per il medio infrarosso. La transizione ottica avviene tra i livelli 3 e 2 (freccia ondulata). L’energia elevata tra questi due livelli implica uno scattering con fononi ottici con vettori d’onda pi`u elevati di quelli dei fononi coinvolti nel processo di diffusione tra gli stati 2 e 1. I tempi sono quindi differenti, cosa che viene sfruttata per ottenere l’inversione di popolazione.

vale per i laser QC che emettono nei THz, per i quali sono state studiate soluzioni pi`u sofisticate.

2.2 Propriet`

a dell’iniettore

L’iniettore `e fisicamente costituito da una serie di pozzi e barriere (in Fig 2.2 si tratta di 8 pozzi e 8 barriere) progettata in modo da dar vita ad una minibanda attraverso la quale gli elettroni sono estratti dal livello 1, fatti termalizzare fino a raggiungere lo stato fondamentale g della minibanda e infine iniettati attraverso l’ultima barriera (barriera d’iniezione) nel livello laser superiore del periodo successivo.

Gli spessori di pozzi e barriere presentano un gradiente in modo che la mini-banda si accoppia da un lato con lo stato 1 della zona attiva e dall’altro con lo stato 3 della regione successiva. All’interno della minibanda gli elettroni passano di livello in livello principalmente a causa dell’interazione con il reticolo. E’ anche possibile che gli elettroni nella minibanda riescano a salire di livello grazie all’ener-gia termica. L’iniettore deve essere progettato in modo che questo non avvenga, in particolare per evitare che il livello 2 si ripopoli all’aumentare della temperatura. Per ovviare a questo fenomeno `e necessario che la larghezza della minibanda dell’ini-ettore sia molto pi`u ampia dell’energia termica, cos`ı che gli elettroni in uno stato

(22)

Zona attiva, diversi tipi di progetto Laser a cascata quantica

di quasi-equilibrio nel livello g abbiano una bassa probabilità di popolare il livello 2. Ovviamente la larghezza della minibanda non deve superare l’energia dei fotoni emessi, per evitare possibili fenomeni di riassorbimento della radiazione all’interno dell’iniettore. Al termine dell’iniettore l’ampiezza della minibanda viene ristretta per aumentare l’efficienza di iniezione nel livello 3 tramite tunnelling risonante dallo stato g attraverso la barriera di iniezione. Questa barriera è di fondamentale impor-tanza, variandone lo spessore è possibile controllare la corrente di iniezione verso lo stato laser superiore e la sua dipendenza dal campo elettrico applicato.

Una volta giunti nella regione attiva gli elettroni potrebbero passare direttamente dal livello superiore della transizione laser a uno degli stati dell’iniettore seguente sia nella minibanda che nel continuo situato al di sopra dei pozzi quantici. Per evitare la perdita di questi elettroni, il superreticolo dell’iniettore `e progettato in modo da avere un minigap energetico, ovvero una regione dello spettro energetico senza autostati elettronici, di fronte al livello 3. Questo impedisce la fuga e costringe gli elettroni nello stato 3 a transire soltanto nello stato 2 (o 1).

Infine la regione attiva si presenta libera da qualsiasi tipo di drogaggio, perché l’introduzione di impurità causerebbe l’allargamento dello spettro energetico e, quin-di, la diminuzione del guadagno laser. Il drogaggio necessario per evitare effetti di carica spaziale, ovvero per compensare gli effetti dovuti all’accumulo di carica al-l’interno della zona attiva, viene pertanto selettivamente inserito negli iniettori. La quantità di droganti tale da fornire la carica necessaria all’inversione di popolazione è almeno il doppio di quella massima stimata nel livello 3 sopra la corrente di soglia.

2.3 Zona attiva, diversi tipi di progetto

La zona attiva mostrata in Fig 2.2 è costituita da tre pozzi quantici ed è pensata per ottenere una transizione ottica verticale. Esistono vari disegni possibili di strutture attive e tra queste, quella menzionata è sicuramente una delle più efficaci nel medio infrarosso. Essa è il risultato di un’ottimizzazione della prima struttura QC che si può osservare in Fig 2.4.

Si può osservare che la regione attiva è formata da tre buche di potenziale. La radiazione viene emessa grazie ad una transizione diagonale, poiché i due stati coinvolti nel processo sono localizzati in pozzi differenti. Di conseguenza l’energia di emissione può essere variata agendo sul campo elettrico, a causa dell’effetto Stark.

(23)

Figura 2.4: La prima struttura laser QC. La transizione ottica, che viene indicata dalla freccia rossa, avviene tra lo stato E3 e lo stato E2. La transizione `e diagonale. Da [11]

Al contrario, nelle regioni attive costituite da solo due pozzi, la transizione ottica `e verticale e avviene tra stati che sono localizzati nello stesso pozzo, in modo da ot-tenere un’elevata sovrapposizione delle funzioni d’onda per massimizzare l’elemento di dipolo (Fig. 2.5).

Questo tipo di zona attiva è stata introdotta anche per tentare di ridurre la larghezza di riga del picco della funzione guadagno osservata nei primi laser QC. Poiché la transizione diagonale coinvolge stati localizzati in differenti pozzi, essa è relativamente sensibile alle imperfezioni presenti alle interfacce e mostra una larghez-za di emissione spontanea più elevata. D’altro canto, aumentando la sovrapposizione tra il livello laser superiore e quello inferiore, viene ridotto il tempo di vita del livello superiore, a causa della maggiore efficacia del decadimento non radiativo di elettroni in E3 tramite emissione di fononi ottici, tendendo perciò a diminuire l’inversione di

popolazione.

Un compromesso tra i due approcci descritti in precedenza è riportato in Fig. 2.2. Si tratta di una regione a tre pozzi in cui il primo (quello che segue la bar-riera di iniezione) è molto stretto. L’effetto che si ottiene è quello di aumentare la penetrazione del livello 3 nella barriera di iniezione. Il conseguente aumento della

(24)

Figura 2.5: Diagramma della banda di conduzione di un laser QC con zona attiva a due pozzi. La transizione ottica avviene tra E3e E2ed `e verticale. Da [11]

sovrapposizione di questo livello con lo stato fondamentale g dell’iniettore causa un miglioramento dell’iniezione di carica. Inoltre, la coppia pozzo/barriera aggiunta riduce la sovrapposizione tra lo stato g e gli stati 2 e 1. Questo riduce lo scattering di elettroni direttamente dall’iniettore in questi due stati. Infine, le funzioni d’onda responsabili della radiazione laser sono in massima parte localizzate nello stesso pozzo, dando cos`e origine ad una transizione verticale con una larghezza di linea inferiore a quella dei disegni diagonali.

2.3.1 Regioni attive per emissione nei Terahertz

Un laser QC che emette nei Terahetz presenta delle caratteristiche che lo distin-guono da quelli realizzati per l’emissione nel medio infrarosso. L’emissione a grandi lunghezze d’onda ( ∼100 µm) avviene tra livelli che sono energeticamente vicini, pi`u vicini dell’energia dei fononi ottici rendendo quindi pi`u difficile il loro sfruttamento per ottenere l’inversione di popolazione. Infatti, se considerassimo nella zona atti-va lo schema consueto a tre livelli descritto in precedenza, i tempi di decadimento dovuti all’interazione con i fononi dai due livelli laser verso lo stato 1 sarebbero dello

(25)

stesso ordine di grandezza. In questo intervallo di energie, inoltre, i vari processi di scattering che sono stati trascurati finora hanno una rilevanza maggiore. Tra di essi il pi`u importante è lo diffusione tra elettroni (scattering e − e) [23]. Un altro ostacolo da superare nella progettazione di un laser QC che emette nei THz è la realizzazione di guide d’onda efficaci, cioè con un elevato fattore di confinamento, e con poche perdite. Più avanti descriverà le tecniche utilizzate per ovviare a questo problema.

Queste difficoltà hanno impedito per lungo tempo lo sviluppo di laser a cascata quantica in questo range di frequenza. La possibilità di ottenere radiazione THz da sorgenti QC è stata messa in evidenza inizialmente da misure di elettroluminescenza fatte su varie strutture [24], [25], [26] che hanno dimostrato la presenza di emissione spontanea a frequenze THz. Questi lavori sono stati il punto di partenza per la realizzazione di laser QC con emissione nei THz, il primo dei quali è stato costruito presso i laboratori del NEST [28]. Come nel medio infrarosso, la struttura è costituita da un’alternanza di zone attive ed iniettori (Fig.2.6); la transizione ottica avviene tra i livelli 2 e 1. I progetti delle strutture precedenti a questa si ponevano l’obiettivo di incrementare il tempo di vita medio dello stato superiore facendo in modo che la separazione energetica delle sottobande rilevanti fosse abbondantemente al di sotto dell’energia del fonone ottico. Questo comporta il restringimento della minibanda nell’iniettore, causando sia un drastico abbassamento della probabilità di estrazione dal livello inferiore del laser, sia una minore corrente trasportabile.

La soluzione proposta nell’articolo [28] prevede l’utilizzo, all’interno del super-reticolo, di regioni attive modificate, detti superreticoli chirped [27]. In questo tipo di laser QC nella zona attiva dell’eterostruttura non sono presenti solo tre stati (come descritto nel paragrafo 2.3), ma due minibande. Queste minibande si ot-tengono, senza bisogno di droganti, da una graduale variazione dello spessore dei pozzi e delle barriere del superreticolo, in modo da compensare il campo elettrico applicato. Usando questa tecnica `e stato possibile realizzare una struttura come quella in Fig. 2.6, dove la minibanda dell’iniettore si estende fino alla zona attiva. In questo modo lo stato 1 `e fortemente accoppiato alla minibanda, la quale ha una dispersione di 17 meV e garantisce un efficace trasporto degli elettroni. Lo svuota-mento del livello 1, sebbene ostacolato dalla mancanza di stati distanziati da esso quanto l’energia di un fonone ottico, viene favorito da processi di scattering e-e che provvedono a fornire agli elettroni l’aumento di impulso nel piano necessario alla

(26)

Guadagno in un laser a cascata quantica Laser a cascata quantica

Figura 2.6: Struttura del primo laser QC THz. L’emissione laser avviene tra i livelli 2 e 1. La struttura presenta una zona attiva a superreticolo con transizione ottica tra gli stati di due minibande. Gli stati 2 e 1 sono fortemente accoppiati con la minibanda dell’iniettore, cosa che garantisce un buon trasporto elettronico tra la zona attiva e l’iniettore.

transizione tramite fonone ottico [29]. La larghezza della minibanda ha anche l’ef-fetto di ridurre i processi di ripopolamento da stati inferiori, causati dall’aumento di temperatura (backfilling). Il popolamento dello stato 2 viene assicurato sempre da un forte accoppiamento tunnel con l’iniettore. Naturalmente sono presenti processi non radiativi del tipo appena descritto anche per lo stato 2. Il tempo di vita medio del livello 2, del livello 1 e di scattering dal livello 2 al livello 1 sono stati stimati da una simulazione Montecarlo (si consulti l’articolo [29]) con i seguenti risultati:

τ2=0.8 ps, τ21=8.3 ps, τ1=2.2 ps. Quindi la condizione τ21> τ1che, come vedremo, `e

necessaria e sufficiente per l’ottenimento dell’inversione di popolazione risulta essere soddisfatta, anche se τ2 < τ1. In pratica, la presenza di molti stati nella regione

attiva fornisce un ampio spazio delle fasi di stati finali per gli elettroni diffusi a partire dal livello 2, assicurando che τ21 sia >> τ2.

2.4 Guadagno in un laser a cascata quantica

Il guadagno per un laser a cascata quantica si ottiene analogamente a quella di un generico laser a semiconduttore. Se della radiazione alla frequenza ω si propaga nella

(27)

Corrente di soglia Laser a cascata quantica

regione attiva lungo la direzione x, l’intensit`a avr`a il seguente andamento

Iω(x) = Iω(0)eG(ω)x (2.2)

dove G `e il guadagno del mezzo.

Per un laser a cascata quantica il guadagno alla frequenza di picco della tran-sizione pu`o essere scritto come [16], [17]

G = 4πM322 λ0²0nLp

× 1

2γ32

(N₃− N₂), (2.3)

dove M32 `e l’elemento di dipolo tra gli stati 3 e 2 della transizione ottica, λ0 `e la

lunghezza della radiazione nel vuoto, n è l’indice di rifrazione, L_p è la lunghezza di un periodo nel laser QC, N3 e N2 sono le densità sono le densità superficiali degli

elettroni nei livelli 3 e 2, mentre γ32`e la larghezza a met`a altezza della transizione,

dedotta dalla luminescenza nelle vicinanze della densit`a di corrente di soglia. Il valore 2γ32 viene utilizzato per approssimare in maniera fenomenologica la densit`a

congiunta degli stati.

In un laser a cascata quantica i tempi di emissione radiativa tra i livelli sono dell’ordine delle centinaia di nanosecondi mentre quelli di scattering non radiativo dell’ordine dei picosecondi, perciò possiamo scrivere in prima approssimazione le equazioni di rate tracurando gli effetti dovuti all’emissione spontanea. Supponen-do un’efficienza di iniezione pari a uno, l’inversione di popolazione proSupponen-dotta dalla densità di corrente per unità di superficie J sarà

N3− N2 = µ 1 − τ2 τ₃₂ ¶ N3 = µ 1 − τ2 τ₃₂ ¶ τ3J e , (2.4)

Sostituendo nell’Eq. 2.3 abbiamo

G = µ 1 − τ2 τ32 ¶ τ3 4πM2 32 λ0²0nLp 1 2γ32 J e = gJ . (2.5)

Molti parametri possono essere modificati in modo da ottimizzare il guadagno del laser. τ3 solitamente `e di circa 1 o 2 picosecondi mentre τ32pu`o essere reso anche

un ordine di grandezza maggiore di τ2 e quindi il termine tra parentesi `e tipicamente

uno.

2.5 Corrente di soglia

La corrente di soglia è quel particolare valore della corrente per il quale il guadagno nel mezzo attivo e le perdite della cavità si eguagliano. In realtà in un laser QC il

(28)

Guide d’onda Laser a cascata quantica

guadagno non `e esattamente quello espresso dall’Eq. 2.5, infatti solo una frazione della radiazione, quella che si sovrappone con la zona attiva, sente l’effetto dell’in-terazione con la transizione ottica. Si definisce un fattore di confinamento Γ che dipende dalla frequenza e dalle caratteristiche della guida d’onda e rappresenta la frazione del modo ottico che interagisce con la zona attiva

Γ = Z _+d/2 −d/2 ¯ ¯ ¯~E(z) ¯ ¯ ¯2dz Á Z _+∞ −∞ ¯ ¯ ¯~E(z) ¯ ¯ ¯2dz , (2.6)

dove d è lo spessore del materiale attivo e ~E(z) è il campo elettrico. La quantità ΓG

`e detta guadagno modale.

Alla corrente di soglia il guadagno bilancia le perdite, perci`o

αw+ αm = ΓgJth⇔ Jth =

αw+ αm

Γg , (2.7)

αmdenota le perdite per un Fabry-Perot e pu`o essere calcolato dalla lunghezza della

cavit`a Lcav e dalla riflettivit`a degli specchi R1 e R2 αm = −_L1

cavln(R1R2) , (2.8)

αw denota invece le perdite le perdite dovute ad assorbimento o diffrazione nelle

guide d’onda, mentre g rappresenta la funzione guadagno per unit`a di densit`a di corrente,

g = G

J . (2.9)

2.6 Guide d’onda

Nei laser a semiconduttore convenzionali che emettono nel range di frequenze che va dal visibile al medio infrarosso, sono impiegate guide d’onda dielettriche. In queste guide d’onda la zona attiva del laser (core), dove vengono emessi i fotoni, viene inserita tra due strati di materiale con un indice di rifrazione pi`u basso (detti

claddings). Analogamente al caso delle fibre ottiche, il modo della radiazione che

si propaga ha il massimo all’interno del core, mentre decade esponenzialmente nei

claddings.

La propagazione della luce all’interno di un materiale dielettrico ad una data frequenza ω `e data dall’Eq ([19])

(29)

dove E `e il campo elettrico, n(r) `e l’indice di rifrazione e k2

0 = ω2/c2. Nel caso

di strutture a strati, come quelle dei laser QC, per ottenere dei modi capaci di propagarsi all’interno della struttura stessa sono necessari almeno tre strati, come mostrato in Fig.2.7.

Figura 2.7: Distribuzione di due modi TE che si propagano in una guida d’onda laminare asim-metrica. Nel caso in cui n2>n1,n3la soluzione dell’Eq. 2.10 in queste condizioni impone che i modi decadano esponenzialmente nelle zone 1 e 3, mentre nella zona 2 hanno un andamento sinusoidale.

I modi guidati, cio`e quelli che decadono esponenzialmente negli strati 3 e 1 e hanno un andamento sinusoidale dentro lo strato 2, sono ottenibili solo se i tre strati soddisfano la relazione n2 > n1, n3. Sotto queste condizioni il numero dei

modi guidati dipende dallo spessore dello strato 2, dagli indici di rifrazione e dalla lunghezza d’onda che si propaga. Dalla guida d’onda dipende il valore del fattore di confinamento, il quale può essere calcolato integrando l’intensità di radiazione nello strato 2 e rapportando il risultato all’intensità totale (2.6).

Le guide d’onda sono realizzate in modo che la porzione di radiazione trattenuta all’interno dello strato 2 sia pi`u alta possibile, massimizzando il fattore di confina-mento e il guadagno modale ΓG. Inoltre devono essere minimizzate le perdite (il termine αw dell’Eq. 2.7). Guide d’onda dielettriche vengono utilizzate nei laser a

cascata quantica con emissione nel medio infrarosso. Ad esempio in Fig. 2.8 si pu`o osservare il profilo del modo che si propaga nella guida d’onda di un laser QC che emette a λ ∼ 10.6 µm.

(30)

dro-Guide d’onda Laser a cascata quantica 0 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.0 0.2 0.4 3.0 3.2 3.4 M o d e I n t e n si t y ( n o r m . ) Di stance ( m ) = 18 c m -1 = 0.69 r e a l r e f r a ct i ve i n d e x

Figura 2.8: Profilo del modo fondamentale che si propaga in una guida d’onda di un laser QC con emissione λ ∼ 10, 6µm. Viene mostrato anche il profilo dell’indice di rifrazione. Il modo fonda-mentale è confinato per il 64% (Γ = 0.64) all’interno del core. Il modo presenta delle discontinuità all’interfaccia tra i vari mezzi. Questo è dovuto al fatto che in un laser QC la regola di selezione sulla polarizzazione della radiazione incidente impone che quest’ultima sia TM (E è polarizzato parallelamente a z).

(31)

Figura 2.9: Modello tridimensionale di un tipico laser a cascata realizzato per guide d’onda a triplo plasmone.

gaggio dei semiconduttori. L’aumento del drogaggio modifica la costante dielettrica del materiale variando la sua frequenza di plasma. Questo permette di realizzare dei laser QC la cui guida d’onda `e costituita interamente con lo stesso semicon-duttore (generalmente GaAs) con diverse percentuali di drogaggio, a seconda della zona della struttura. La scelta dei materiali e del loro drogaggio `e decisa in fase di progetto in modo da minimizzare le perdite causate dall’assorbimento da parte dei portatori liberi di carica (tipicamente descritte dalla formula di Drude-Lorentz e da una dipendenza dalla lunghezza d’onda ∼ λ2_).

2.6.1 Guide d’onda per emissione nei Terahertz

Nel regime del terahertz le guide d’onda dielettriche sono utilizzate solamente per confinare la radiazione nel piano perpendicolare alla direzione di crescita y. Questo avviene incidendo il substrato, realizzando sulla superficie dell’eterostruttura dei canali che delimitano lateralmente la guida e sfaldando il campione in direzione perpendicolare ad essa (Fig. 2.9).

Sebbene in teoria non ci siano limiti teorici all’uso delle guide d’onda dielettriche per confinare la radiazione lungo y, il loro utilizzo `e sconsigliabile quando si lavora con lunghezze d’onda elevate per due motivi principali: l’aumento della lunghezza

(32)

d’onda ha l’effetto di incrementare notevolmente sia le perdite dovute all’assorbi-mento nei claddings, sia i loro spessori, che devono aumentare linearmente, o quasi, con la lunghezza d’onda. Quest’ultimo motivo rende impossibile la realizzazione di guide d’onda Thz dielettriche con la crescita epitassiale con cui si realizzano le eterostrutture.

Le soluzioni che gli sperimentali hanno adottato si basano sui plasmoni di super-ficie. Questi ultimi sono particolari soluzioni delle equazioni di Maxwell che esistono all’interfaccia tra materiali con costanti dielettriche di segno opposto. Essi hanno il massimo all’interfaccia e decadono esponenzialmente all’interno dei mezzi. Guide d’onda basate sui plasmoni di superficie sono state realizzate per la prima volta per dei laser QC con λ di emissione da ∼ 17 µm fino a ∼ 24 µm [30]. Esse sfruttano l’interfaccia tra uno strato di metallo (² < 0) e l’eterostruttura (² > 0). Un ulteriore strato semiconduttore pu`o essere usato per aumentare il confinamento. La lunghezza di penetrazione della radiazione all’interno del metallo `e data da

δ_met= λ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ Re · ²_met r −1 ²met+ ²et ¸¯_¯ ¯ ¯ −1 , (2.11)

dove ²mete ²etsono le costanti dielettriche del metallo e dell’eterostruttura. Essendo

|²met| À 1 (2.12)

la lunghezza di penetrazione all’interno di un metallo `e molto piccola (qualche nm). Questo limita fortemente le perdite dovute ai portatori di carica liberi presenti nel metallo. Un esempio del profilo di un modo che si propaga in una guida d’onda di questo tipo si trova in Fig. 2.10.

In questa figura la lunghezza d’onda della radiazione è ∼ 24 µm, il fattore di confinamento è molto alto (Γ = 0.88). In questo disegno, la cui eterostruttura è realizzata con InP e non con GaAs, il modo è molto ben sovrapposto con la zona attiva e il secondo cladding è costituito dal substrato opportunamente drogato. Le perdite, pari a 41 cm−1_{, sono quasi totalmente dovute all’assorbimento negli strati}

drogati dell’eterostruttura e nel substrato.

Questo tipo di guida d’onda non `e purtroppo sfruttabile nel caso di radiazione THz. Infatti, sebbene la lunghezza di penetrazione all’interno del metallo resti molto bassa, solo un piccola parte della radiazione si sovrapporrebbe con la regione attiva del laser. A causa dell’elevata lunghezza d’onda della radiazione, per realizzare una

(33)

Guide d’onda Laser a cascata quantica 0 5 10 15 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 M o d e I n t e n si t y ( n o r m . ) Distance (µm) Γ = 0.88 α = 41 cm -1

Figura 2.10: Guida d’onda a singolo plasmone. Questa guida viene impiegata in un laser QC la cui lunghezza d’onda è ∼ 24 µm. L’eterostruttura si trova tra uno strato metallico e il substrato. Il modo della radiazione decade molto velocemente nel metallo e ha una buona sovrapposizione con il mezzo attivo (il fattore di confinamento è molto alto, Γ = 0.88). Le perdite sono dovute all’assorbimentonel substrato e nella zona attiva. Questa struttura è stata realizzata con InP e non con GaAs. Il modo presenta una discontinuità all’interfaccia zona attiva-substrato in quanto è polarizzato TM.

(34)

Guide d’onda Laser a cascata quantica 0 5 10 15 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 M o d e I n t e n si t y ( n o r m . ) Di stance ( m ) = 0.99 = 55 cm - 1

Figura 2.11: Calcolo del confinamento di un modo con λ ∼ 69 µm per uno stratodi GaAs non drogato lungo 10 µm racchiuso tra uno strato di oro e uno di GaAs fortemente drogato. Il fattore di confinamento ora `e circa unitario ma le perdite di propagazione sono alte a causa della penetrazione della radiazione nel cladding di GaAs drogato.

buona sovrapposizione del modo si dovrebbero avere regioni attive molto pi`u estese di quelle ottenibili ora.

Tra le varie soluzioni, quella tecnologicamente più accessibile è una guida d’onda basata su un doppio plasmone, nella quale la radiazione viene guidata da due strati metallici o di GaAs fortemente drogato (quindi quasi metallico). La soluzione ideale (capace di garantire un alto confinamento e basse perdite) sarebbe quella che impiega due strati realmente metallici. La fabbricazione risulta però piuttosto complessa richiedendo la rimozione del substrato. Un’alternativa più semplice è quella di rea-lizzare delle guide d’onda con uno strato metallico e uno strato di semiconduttore drogato (∼ 2 × 1018 _cm−3_{). In Fig. 2.11 viene mostrato il calcolo del confinamento}

di un modo con λ ∼ 69 µm per uno strato di GaAs non drogato spesso 15 µm racchiuso tra uno strato di oro e uno di GaAs fortemente drogato. Il fattore di confinamento ora `e circa unitario ma le perdite di propagazione sono alte a causa della penetrazione della radiazione nel cladding di GaAs drogato.

(35)

semi-Guide d’onda Laser a cascata quantica 0 10 20 30 40 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 M o d e I n t e n si t y ( n o r m . ) Di stance ( m ) = 13 cm - 1 = 0.47

bottom contact l ayer gol d

l ayer

Figura 2.12: Guida d’onda a triplo plasmone del primo laser QC con emissione nei THz. In questa guida d’onda la zona attiva `e compresa tra uno strato di metallo e uno di GaAs drogato (2× 1018 _cm−3_{) che fa anche da contatto elettrico (bottom contact layer). Quest’ultimo `e molto}

sottile (800 nm) ed `e affiancato dal substrato semi-isolante. Questo sistema permette di limitare le perdite. Il confinamento ottenuto `e del 47%(Γ = 0.47), le perdite valgono α = 13 cm−1_.

isolante (che non assorbe radiazione) e ad uno strato drogato molto sottile. La Fig. 2.12 mostra il profilo di una guida d’onda di questo tipo.

Lo strato di GaAs drogato fa anche da contatto elettrico. Quest’ultimo si trova tra il core e il substrato di GaAs non drogato e viene drogato fino ad ottenere una costante dielettrica negativa. In queste condizioni esistono due plasmoni che partono dallo strato drogato inferiore, il primo penetra nel substrato e il secondo nel core, e un terzo plasmone che parte dall’interfaccia metallo-core, penetra nella zona attiva e decade velocemente nel metallo. Il contatto inferiore `e molto sottile (alcune centinaia di nm) per minimizzare le perdite mentre il drogaggio viene deciso studiando il comportamento del plasmone. Per la struttura in Fig. 2.12 il drogaggio di 2 × 1018 _cm−3 _{porta ad un fattore di confinamento Γ = 0.47 con perdite α}

w=13

cm−1_{. Questa guida d’onda `e stata impiegata nel primo laser QC THz [28] operante}

(36)

Capitolo 3

SAW su eterostrutture

3.1 Onde superficiali

L’esistenza di onde acustiche superficiali venne dimostrata da Lord Rayleigh nel 1885. Queste onde, dette appunto onde di Rayleigh, possono essere generate sul-la superficie di solidi esul-lastici. Se il substrato `e piezoelettrico, le SAW vengono generate utilizzando trasduttori interdigitati (Interdigital Trasducer, IDT ), ai quali viene applicato una tensione alternata. Questi trasduttori vengono utilizzati sia come trasmettitori, convertendo il segnale da elettrico in acustico, sia da ricevitori (acustico → elettrico) (Fig. 3.1).

I trasduttori sono strutture periodiche, costituite da una successione di strisce metalliche, detti elettrodi (fingers). Gli elettrodi sono poi collegati a due barre metalliche (bus-bar ) alle quali viene applicato il segnale a radiofrequenza. Ci sono molte geometrie di costruzione per i trasduttori, la più semplice è quella detta a sin-golo elettrodo o anche single finger (Fig. 3.2). In questo caso ogni periodo dell’IDT è costituito da due elettrodi, di opposte polarità . Gli inconvenienti principali di questo tipo di trasduttore sono due: il primo è che la SAW generata si propaga sia a monte che a valle del trasduttore (IDT bidirezionale). Il secondo è che, in questa geometria, l’IDT si comporta come un riflettore di Bragg, rispetto ad un’onda che si propaga al di sotto di esso. Se si vogliono eliminare questi due difetti bisogna utilizzare geometrie più complesse: ad esempio trasduttori unidirenzionali oppure a doppio finger (Fig. 3.2). Tuttavia le geometrie a singolo elettrodo risultano efficaci se si vogliono realizzare specchi per le onde acustiche.

(37)

Onde superficiali SAW su eterostrutture

Figura 3.1: Una linea di ritardo che utilizza SAW. L’immagine superiore mostra la struttura vista all’alto, quella inferiore mostra una vista laterale. φ±

AB rappresenta l’ampiezza dell’onda acustica.

I trasduttori sono utilizzati come interfaccia tra il circuito elettrico e la linea di ritardo, e vengono utilizzati come sorgenti e ricevitori. La figura `e presa da [34].

Figura 3.2: Geometrie tipiche di un trasduttore interdigitato: a singolo elettrodo (a sinistra) e a doppio elettrodo (a destra). p ed a sono rispettivamente la periodicit`a e l’apertura del trasduttore.

Quando un segnale a radiofrequenza viene applicato ai due bus di un IDT, tra due elettrodi consecutivi si viene a creare un campo elettrico. A questo campo elettrico segue una deformazione del substrato piezoelettrico, tanto più marcata quanto più è grande la costante piezoelettrica del materiale.

L’oscillazione di questa deformazione elastica eccita l’onda acustica al di sot-to dell’IDT, la quale inizia a propagarsi in direzione perpendicolare agli elettrodi, con velocit`a Vs. La SAW si propaga sulla superficie, e l’ampiezza della

(38)

pertur-Onde superficiali SAW su eterostrutture

Figura 3.3: a) Onda di superficie in un solido semi-infinito; (b) uzin funzione di z sulla superficie;

(c) uyin funzione di z sulla superficie. La figura `e presa da [34].

Figura 3.4: Variazione dello spostamento dalla posizione di riposo, in funzione della profondità, ad una fissata posizione. Si può notare che uz cambia segno aumentando la profondità. La figura

`e presa da [34].

bazione decade esponenzialmente all’interno del substrato (Fig. 3.3). La profondit`a di penetrazione `e tipicamente di una lunghezza d’onda.

L’equazione che descrive la propagazione di onde elastiche in materiali piezoelet-trici prevede un accoppiamento tra stress meccanico S e spostamento elettrico D,

(39)

Onde superficiali SAW su eterostrutture

con strain meccanico e campo elettrico.

T = cS − eE (3.1)

D = eS + ²E , (3.2)

dove c, e ed ² sono rispettivamente la marice di rigidità, la matrice piezoelettrica e la costante dielettrica del materiale. È possibile stimare la velocità di propagazione delle onde acustiche longitudinali, utilizzando un modello unidimensionale. Dalla definizione di stress e strain si ottiene

∂S ∂x = ∂2_u ∂x2 (3.3) ∂T ∂x = ρ ∂2_u ∂t2 , (3.4)

dove u è lo spostamento dalla posizione di riposo nella direzione x e ρ è la densità del materiale. dalle Eq. 3.3 e 3.4 si ottiene l’equazione d’onda per lo spostamento

u(x, t): ρ∂2u ∂t2 = c µ 1 + e2 c ² ¶ ∂2_u ∂x2 − e ² ∂D ∂x . (3.5)

Per materiali omogenei si possono considerare due casi limite. Se il materiale è un conduttore perfetto, il campo elettrico, dovuto alla perturbazione meccanica, svanisce. L’Eq. 3.5 descrive dunque un’onda acustica in un mezzo non piezoelet-trico. La velocità del suono è pari a v0 =

p

c/ρ. Nel caso opposto: quello di

isolante perfetto, l’equazione di Poisson impone ∂D/∂x = 0. In questo caso l’Eq. 3.5 descrive una situazione analoga a quella precedente, ma con una costante elas-tica incrementata c0 = c(1 + e2/c ²), e una velocit`a del suono v = pc0_{/ρ. Questo}

effetto, detto piezoelectric stiffening, viene utilizzato per determinare la costante di accoppiamento elettromeccanico K2 _{= e}2_{/c ².}

Nel caso delle SAW, calcoli simili conducono ad una costante effettiva K2

ef f, che

differisce leggermente da quella ottenuta nel caso di onde bulk. In seguito utilizzerò sempre K2 al posto di K_{ef f}2 per indicare l’effettiva costante di accoppiamento. Ques-ta cosQues-tante può essere misuraQues-ta indiretQues-tamente misurando la variazione di velocità di una SAW, quando passa da una superficie libera, ad una coperta da un sottile strato metallico. K2= e2 c ² ' 2(v − v0) v0 . (3.6)

In Tab. 3.1 vengono riportati i parametri dei materiali pi`u comunemente utiliz-zati in dispositivi basati su SAW. Il materiale di riferimento per applicazioni

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elettro-Onde superficiali SAW su eterostrutture

Materiale Crescita Asse di prop. Velocit`a (m/s) K2_(%) _{Passo (˚}_A)

Quartz ST X 3158 0.11 4.913 LiNbO3 Y Z 3488 4.6 5.148 LiNbO3 128◦-rotated X 3996 5.6 5.148 Bi12GeO20 110 001 1681 1.4 10.14 LiTaO3 77.5◦-rotated Y 90◦ to X 3379 1.6 5.154 GaAs 100 011 2867 0.07 5.653

Tabella 3.1: Parametri caratteristici dei pi`u comuni substrati utilizzati per dispositivi basati su onde acustiche di superficie.

niche è il niobato di litio, per il quale la K2 risulta molto alta. Recentemente anche dispositivi costituiti da arsenurio di gallio stanno interessando la comunità scien-tifica, grazie alle caratteristiche elettroniche di questo materiale. L’inconveniente di questo materiale è però una bassa costante di accoppiamento, che permette sola-mente una debole eccitazione della SAW da parte del trasduttore. Il metallo di cui è costituito l’IDT deve possedere alcune caratteristiche per ottimizzare l’efficenza: essere facilmente depositabile sul substrato tramite tecniche di litografia elettron-ica, essere un buon conduttore, avere una corretta impedenza acustica relativa al substrato, una buona adesione e una buona stabilità chimica. Da sempre, per tutti questi motivi, i trasduttori vengono realizzati con un sottile strato di alluminio.

La potenza trasferita dal trasduttore al substrato dipende sostanzialmente dal-l’allineamento di impedenza tra il dispositivo e la sorgente RF (solitamente quest’ul-tima corrisponde a 50Ω, valore che corrisponde anche ai cavi necessari per il trasporto del segnale). L’impedenza dell’IDT pu`o essere stimata per una data geometria, alla frequenza di risonanza, ottenendo [31]:

G_a(f₀) = 8N2K2C_Sf₀ , (3.7)

dove N è il numero di coppie di elettrodi, f0 è la frequenza di risonanza dell’IDT, CS è la capacità di un periodo. CS può essere espressa anche come CS = C0W ,

dove w `e l’apertura del trasduttore. Nel caso di IDT a singolo elettrodo su GaAs il valore di C₀ `e di 1.2pF/cm [34].

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Interazione con un 2DEG SAW su eterostrutture

3.2 Interazione con un 2DEG

L’interazione tra una SAW ed un gas di elettroni a due dimensioni (two dimensional

electron gas, 2DEG), in eterostrutture di GaAs/AlGaAs `e stato uno dei motivi per

i quali le SAW hanno interessato maggiormente il mondo scientifico negli ultimi anni. Le deformazioni del reticolo cristallino di un substrato piezoelettrico, indotte dalla SAW, generano un’onda di potenziale che può interagire con le cariche libere confinate nella struttura. Questa interazione modifica lo stato di equilibrio della SAW e del 2DEG, producendo un cambiamento di velocità ed ampiezza dell’onda acustica. Misurando queste variazioni è possibile estrapolare la dipendenza della conducibilità [σ(q, ω)] rispetto alla frequenza ed al vettore d’onda. Questa variazione dello stato di equilibrio si manifesta come un’eccitazione di corrente continua, oppure di un voltaggio (effetto acustoelettrico). Se si pensa a un 2DEG come ad uno strato di cariche, dallo spessore nullo, con conducibilità σ(q, ω), situato sulla superficie di un cristallo, l’attenuazione della SAW per unità di lunghezza (Γ), e la variazione di velocità, possono essere ottenute analiticamente [32]:

Γ = qK2 2 σ(q, ω)/σm 1 + [σ(q, ω)/σm]2 , (3.8) ∆v v0 = K2 2 1 1 + [σ(q, ω)/σ_m]2 , (3.9)

dove q = 2π/λ ed ω sono rispettivamente il vettore d’onda e la frequenza della SAW. σm = (²0+ ²)v0 definisce la conducibilit`a caratteristica del problema (dove ²0

ed ² sono rispettivamente le costante dielettriche nel vuoto e nel GaAs). Per onde acustiche che si propagano lungo la direzione (011) in GaAs, σm assume il valore

3.6 × 10−7_{. In Fig. 3.5 sono riportate le equazioni 3.8 e 3.9.}

Si può notare che per σ ¿ σm l’attenuazione è proporzionale alla conducibilità,

quando invece σ À σ_m l’attenuazione va a zero come 1/σ . Tuttavia in entrambi i casi la SAW `e solo debolmente attenuata dal gas di elettroni. `E interessante notare che il massimo assorbimento si verifica per σ = σm .

Nel caso di sottili strati metallici la precedente trattazione pu`o essere completa-mente utilizzata per descrivere l’interazione elettromagnetica. Tuttavia uno stra-to metallico depositastra-to al di sopra di un semicondutstra-tore generalmente presenta caratteristiche elastiche e di densit`a, differenti dal substrato utilizzato. Dato che una trattazione analitica della variazione indotta alla SAW da uno strato metallico

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Simulazioni numeriche SAW su eterostrutture 0.01 0.1 1 10 100 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Γ/( K 2q 2) σ/σm ∆ v /( v0 K 2)

Figura 3.5: Coefficiente di attenuazione Γ (linea nera) per unità di vettore d’onda e variazione della velocità della SAW (linea rossa) in unità di K2 _{in funzione della conducibilità del gas di} elettroni bidimensionale [32].

reale risulterebbe troppo complessa, nel prossimo capitolo sono presentate alcune simulazioni numeriche degli effetti che derivano da questo tipo di interazione.

Figura 3.6: (a) Schema del modello analizzato: sulla superficie dell’eterostruttura sono presenti due coppie di elettrodi, alle quali viene applicato un segnale a radiofrequenza. La geometria bidi-mensionale analizzata nella simulazione (b) rappresenta una sezione lungo il piano yz del modello, è stata trascurata la variazione lungo x supponendo un’invarianza traslazionale. La dimensione in z è pari a due lunghezze d’onda, cioè 30 µm, l’altezza è di 50 µm, mentre lo strato di aria presente al di sopra della superficie è di 15 µm.

3.3 Simulazioni numeriche

In questa sezione verr`a illustrato il metodo che si `e utilizzato per simulare la propaga-zione di una SAW nell’eterostruttura progettata per l’emissione THz secondo il principio di cascata quantica.