Emettitori Terahertz a cascata quantica a bassa dimensionalità

Capitolo 2

Emettitori Terahertz a cascata quantica a bassa dimensionalità

2.1 Introduzione

L'elemento essenziale del sistema sico che verrà descritto in questo lavoro è il pozzo quantico. Il pozzo quantico è una struttura a semiconduttore che permette di creare un gas bidimensionale di particelle connandone il moto in una direzione servendosi di un potenziale. Per ottenere gli eetti del connamento quantistico il potenziale di connamento deve mantenere le particelle in una regione di dimensioni dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d'onda di De Broglie λ

della particella stessa. Se lavoriamo con materiali semiconduttori e vogliamo connare cariche (elettroni o lacune) si ha che il potenziale di connamento deve variare sulla scala di:

λ

≈ λ

=

F

= 2 ^

^ ≈ 100nm, (2.1) dove N è la densità di portatori di carica considerata al valore tipico di N = 10

cm

e λ

e k

sono rispettivamente la lunghezza d'onda di Fermi vettore d'onda di Fermi del gas elettronico.

Il potenziale di connamento nei sistemi a pozzi quantici a stato soli- do viene realizzato richiudendo uno strato di semiconduttore (con spessore paragonabile a quanto richiesto dalla 4.3) tra due strati di un'altro semi- conduttore (Fig. 2.1-A)con band gap maggiore rispetto al primo. I tre gap andranno a posizionarsi secondo l'anità elettronica dei materiali allineando di conseguenza i rispettivi estremi delle bande di conduzione e valenza.

Possono venirsi a creare diverse geometrie a scalino nell'andamento del-

l'energia dei livelli in funzione della posizione. La geometria a cui siamo

interessati è ragurata in Fig. 2.1-B, dove è rappresentato il prolo delle

Figura 2.1: A-Schema di un pozzo quantico realizzato sovrapponendo 3 ma- teriali con dierente band gap.B-Prolo dei livelli energetici nella direzione di sovrapposizione dei materiali. Il pozzo quantico nella regione intermedia è evidenziato in verde sia nella banda di conduzione per gli elettroni che nella banda di valenza per le lacune.C- Livelli energetici e prime funzioni d'onda elettroniche per un pozzo di conduzione innitamente profondo

bande nei semiconduttori passando da uno strato a l'altro. In un sistema come quello descritto si vengono a creare due regioni dove può avvenire con-

namento: ambedue sono localizzate nel semiconduttore centrale, la prima per le lacune si trova al disotto del massimo della banda di valenza, mentre la seconda è per gli elettroni e si localizza al disopra del minimo della banda di conduzione. In queste regioni (evidenziate in verde in fugura) i portatori possono occupare dei livelli energetici discreti e quantizzati, come descritto in dettagli di seguito.

2.2 Struttura a bande

Il reticolo cristallino di un semiconduttore può essere considerato in prima approssimazione come costituito da ioni ssi nella posizione di equilibrio. I sistemi atomici così disposti danno origine ad un potenziale periodico. Le n soluzioni di questo problema possono essere scritte nella forma

Ψ

→

k

(r) = u

n

→

k

(r) e

→

k r

(2.2)

2.2 Struttura a bande 11

dove le u

(r) sono funzioni con la stessa periodicità del potenziale e k è un vettore denito nello spazio reciproco. Le Ψ

k

(r) sono funzioni periodiche in k, ovvero: Ψ

k +

→

G

(r) = Ψ

n

→

k

(r) , con G =

, dove R è il periodo del potenziale. Pertanto è abitudine restringere lo spazio in cui k è denito alla cosiddetta zona di Brillouin.

I livelli energetici si dispongono in bande, per cui è possibile ricavare la relazione di dispersione sviluppando in serie di Taylor attorno al punto di minimo della banda di conduzione:

E

(k) = E

+ k

d dk

= E

+ k

h ¯

2m

(2.3)

I livelli energetici E

dipendono quindi da due indici, n e k , dove n è un indice discreto, mentre k può variare entro un intervallo continuo di valori consentiti (supponendo il cristallo innito).

Come già descritto nel paragrafo 2.1 sovrapponendo strati di materiali semiconduttori (eterostruttura) con gap dierenti si ottiene una discontinuità nell'energia degli estremi delle bande che generano delle buche di potenziale.

E' possibile sviluppare gli autostati dell'eterostruttura in serie di funzioni di Bloch nel punto k di interesse (generalmente il punto k=0). In generale, per descrivere lo stato di un elettrone in un'eterostruttura, dovremo sviluppare la funzione d'onda su tutte le bande:

Ψ = ^P

n,k

α

e

u

(r) = ^P

n

χ

(r) u

(r) =

= ^P

n

e

χ

(z) u

(r) = (2.4)

Da adesso ci riferiremo allo sviluppo su una sola banda, considerando gli aspetti relativi alla sola banda di conduzione

.

Si può dimostrare che l'equazione di Schroedinger per la funzione invilup- po χ

, che costituisce la parte lentamente variabile della funzione d'onda, equivale all'equazione per una particella di massa pari alla massa ecace m

soggetta a un potenziale ecace V

= E

(z) , ovvero al minimo della banda di conduzione:

− ∇

2m

+ E

(z)

!

χ

(z) = E

χ

(z) (2.5) In realtà la massa ecace m

dipende da z, in quanto varia a seconda della zona dell'eterostruttura. La direzione di crescita del cristallo è uni- dimensionale, per cui gli elettroni saranno connati nei pozzi, mantenendo

1

Per la banda di valenza la trattazione è analoga. Nelle simulazioni generalmente si

eettuano sviluppi della funzione Ψ su almeno quattro bande di energia

inalterato il grado di libertà nel piano. Di conseguenza, la funzione inviluppo totale si scrive χ

(z) exp [i (k

x + k

y)] .

Per una particella di massa m

in una buca di potenziale innita e di larghezza L, gli autovalori sono:

ε

= ¯ h

2m

k

= ¯ h

2m

 n π L



(2.6) Le autofunzioni corrispondenti sono funzioni oscillanti interamente com- prese all'interno del pozzo quantico (Fig. 2.1-C). Gli elettroni risultano completamente connati.

Aggiungendo il grado di libertà nel piano gli autovalori diventano:

E

(k

, k

) = ¯ h

2m

"  n π L



+ k

+ k

#

= ¯ h

2m

"  n π L



+ k

#

(2.7) il che porta alla formazione delle bande di energia a dispersione in prima approssimazione parabolica, tutte con la medesima curvatura.

Nel caso di pozzo di profondità nta V

si avranno delle generiche soluzioni con E (k

k

) =

(k

+ k

) . Le rispettive autofunzioni non sono più con-

nate all'interno del pozzo, ma penetrano le barriere di potenziale entrando nella zona classicamente permessa dove decadono in modo esponenziale (Fig.

2.2).

In ogni pozzo quantico esiste sempre almeno uno stato legato ed il numero di stati aumenta con la profondità della buca.

2.3 Densità degli stati

La struttura descritta costituisce un sistema sico bidimensionale: livelli energetici quantizzati in una direzione uniti ai gradi di libertà nel piano.

L'esistenza del piano fa si che non si possa parlare di livelli energetici ma bensì di sottobande energetiche ad andamento parabolico nello spazio k.

Consideriamo una sottobanda in banda di conduzione e una in quella di

valenza (Fig. 2.3-a). Si vede che l'orientazione opposta della concavità fa si

che l'energia delle transizioni aumenti al crescere di k

. La densità coniugata

di stati assume una forma a scalino (zero no all'energia coincidente con

il gap, ρ =

dopo). Considerando invece due sottobande della stessa

banda (ad esempio della banda di conduzione, Fig. 2.3-b) si vede che la

caratteristica di mantenere approssimativamente la stessa curvatura fa si

che l'energia della transizione sia indipendente da k conferendo alla densità

coniugata di stati una forma a delta, piccata attorno al valore di energia del

gap.

2.3 Densità degli stati 13

Figura 2.2: Buca di potenziale a profondità nita in banda di conduzione.

Sono rappresentati i primi due livelli energetici quantizzati e le rispettive fun- zioni d'onda elettroniche le cui code penetrano nelle barriere con andamento esponenziale decrescente.

Figura 2.3: Rappresentazione dei valori di energia permessi ai portatori nello

spazio k, tenendo conto del grado di libertà nel piano. a-Transizione energet-

ica tra livelli della banda di conduzione verso la banda di valenza (transizione

interbanda). Si vede che se la transizione avviene a k diverso da 0 l'energia

del gap aumenta. B-Transizione energetica tra due livelli della stessa banda

di conduzione (transizione intersottobanda). Grazie al fatto che la due sot-

tobande hanno la medesima curvatura l'energia delle transizioni non dipende

da k.

2.4 Transizioni Intersottobanda e Laser a Cascata Quantica

La soluzione esponenzialmente decrescente della funzione d'onda che penetra dentro le barriere di potenziale, nel caso realistico di buca con profondità

nita, tende a far diminuire la probabilità di trovare un elettrone man mano che ci si allontana dal pozzo. Se vicino al primo pozzo se ne realizza un'altro in modo tale che le funzioni d'onda elettroniche dei due pozzi interagiscano (vedi Fig. 2.4-A) si ha la rottura delle eventuali degenerazioni e la formazione di stati elettronici quantizzati delocalizzati tra i due pozzi (vedi Fig. 2.4-B).

Si intuisce che se i pozzi accoppiati sono più di due si ha la formazione di gruppi di di stati delocalizzati molto vicini in energia, rispetto alla sep- arazione tra i livelli del pozzo, chiamati minibande (vedi Fig. 2.4-C). In questo tipo di struttura, denominata superreticolo, si può parlare anche di transizioni elettroniche tra minibande, in quanto spesso la separazione energetica tra i livelli di una singola minibanda è molto più piccola degli allargamenti dei singoli stati dovuti a disomogeneità.

Un dispositivo costituito da più pozzi separati da barriere si realiz- za sovrapponendo numerosi strati di materiale di diverso tipo realizzan- do così un'eterostruttura. Nelle eterostrutture di nostro interesse si al- ternano, in generale, due leghe di semiconduttori, GaAs/AlGaAs oppure InGaAs/AlInAs, realizzando delle strutture epitassiali: piani orizzontali sovrapposti progressivamente. Il susseguirsi di questi strati è accompagnato da variazioni di spessore del materiale (che permettono di ottimizzare la sep- arazione e l'allineamento dei livelli energetici); spesso delle sequenze vengono ripetute a formare una struttura che si ripete periodicamente per un numero voluto di volte. All'interno di un piano può essere poi dosata la presenza di altri atomi droganti. Tutto questo è possibile grazie alle tecniche di crescita in ultra alto vuoto, come la MBE ( Molecular Beam Epitaxy ) oppure la MOCVD ( Metallorganic Chemical Vapour Deposition ), che permettono di ottenere strati di dimensioni nanometriche con la risoluzione del singolo strato atomico.

Applicare un campo elettrico parallelo alla direzione di crescita causa,

come rappresentato in gura 2.4-D, il disaccoppiamento dei livelli nelle

varie buche. Le funzioni d'onda diventano separate formando una scala di

Wannier-Stark. Le eventuali minibande presenti a campo nullo, gura 2.4-C,

spariscono. E' possibile, in alternativa, anche disegnare una eterostruttura

che, a campo elettrico applicato nullo presenti funzioni d'onda localizzate e

non sovrapposte o accoppiate, e che a campo elettrico applicato, con la vo-

luta intensità, presenti la sovrapposizione necessaria a formare minibande e

2.4 Transizioni Intersottobanda e Laser a Cascata Quantica 15

minigap. Vedi gura 2.4-D.

2.4.1 Transizioni Radiative

In generale, in un sistema a più livelli che sia sottoposto a radiazione elettro- magnetica, un elettrone nello stato iniziale i ha una probabilità di transire in uno stato nale f per emissione radiativa data dalla Regola d'oro di Fermi:

W

= 2 π

¯ h

E

4

 hi|

e ·

p |f i   

ρ (E

− E

− ¯ hω) (2.8) Dove E

rappresenta il modulo del campo elettrico, p l'operatore dipo- lo elettrico, e il vettore polarizzazione del campo elettrico e ρ la densita congiunta degli stati.

L'elemento di matrice di dipolo fra lo stato iniziale e nale può essere diviso in due parti:

M ∝ hΨ

|e · p| Ψ

i ≈ . . .

. . . ≈ e · hu

|p| u

i hχ

| χ

i + e · hu

| u

i hχ

|p| χ

i

(2.9)

dove v1, v2 e n1, n2 rappresentano, rispettivamente, gli indici di banda e sottobanda dello stato iniziale e nale. Il primo termine dell'equazione 2.9 rappresenta una transizione interbanda, mentre il secondo una transizione intrabanda (che è quello a cui siamo interessati). Se la banda iniziale coincide con quella nale, v1 = v2, il primo termine è nullo (tranne nel caso triviale n1

= n2). Il termine rimanente è costituito dal prodotto di due parti. La prima è un integrale di sovrapposizione tra le funzioni di Bloch che vale 0 per le transizioni interbanda e 1 nel nostro caso. La seconda parte, che rappresenta il dipolo tra le funzioni inviluppo, è l'unico termine rimasto nell'elemento di matrice ed è quello che detta le regole di selezione. Poiché le funzioni inviluppo χ (z) sono ortogonali, è necessario che la direzione di polarizzazione del campo elettrico abbia componente z diversa da zero.

M ∝ hΨ

|p

| Ψ

i =

Z

χ

(z) · p

· χ

(z) · dz (2.10) Oltre a questa regola di selezione si deve tenere di conto che le tran- sizioni possono avere luogo solo tra stati con parità opposta (in una struttura simmetrica).

Queste regole di selezione hanno comportato importanti conseguenze per

la progettazione e per gli studi sperimentali delle transizioni intersottobanda

in eterostrutture e determinato la geometria planare dei dispositivi su esse

basati.

Figura 2.4: A-Due buche in banda di conduzione con funzioni d'onda in-

teragenti. B-Rottura della degenerazione dei livelli energetici per due buche

interagenti. Si nota la formazione di 3 bande. C-Reticolo con funzioni d'onda

delocalizzate nelle buche a formare 2 minibande a campo elettrico applicato

nullo. Applicando il campo elettrico, D, si perde la sovrapposizione della fun-

zioni d'onda. E-Situazione capovolta: Sovrapposizione delle funzioni d'onda

e formazione di minibande a campo elettrico applicato.

2.4 Transizioni Intersottobanda e Laser a Cascata Quantica 17

2.4.2 Cascata Quantica

Le transizioni intersottobanda in pozzi quantici orono la possibilità di costruire gap energetici radiativi con energia dipendente esclusivamente dalle dimensioni con cui sono stati realizzati i pozzi che compongono l'eterostrut- tura. Le transizioni avvengono tra livelli localizzati in uno due o anche più pozzi. Per permettere la transizione devono essere iniettate cariche nel livello superiore e, per far questo, si fa passare corrente nel dispositivo applicando un campo elettrico parallelo alla direzione di crescita. Per questo motivo si deve realizzare una struttura che abbia le giuste caratteristiche di allineamento dei livelli energetici sotto il campo elettrico applicato.

Figura 2.5: Schema per la transizione intersottobanda a cascata quantica.

a- transizione ottica tra due stati nello stesso pozzo quantico. Gli elettroni, dopo avere rilassato, passano nel pozzo successivo tramite eetto tunnel dove non radiativamente emettono nuovamente un fotone. b- Un' elettrone nel fondamentale di un pozzo passa nel primo stato eccitato del pozzo successivo in un processo di tunneling assistito da un fotone.

Questa idea è alla base dei dispositivi a cascata quantica (QC).

Una rappresentazione schematica del funzionamento di questo tipo di struttura è mostrata in Fig. 2.5. Se si applica un campo elettrico abbastanza intenso, il livello energetico più basso di un pozzo quantico viene a trovarsi ad una energia più alta del primo eccitato del pozzo successivo. L'emissione radiativa è possibile in questa struttura sia tramite una transizione ad una sottobanda inferiore dello stesso pozzo (Fig. 2.5-A) sia quando un elettrone dal fondamentale di un pozzo passa nella prima sottobanda eccitata del pozzo successivo in un processo di tunneling assistito da un fotone (Fig. 2.5-B).

Una caratteristica di questa congurazione è che, l'elettrone che ha compi-

uto la transizione si trova ad essere pronto a compierne un'altra nei pozzi suc- cessivi dell'eterostruttura. Si possono creare in cascata molti pozzi quanti- ci, in ognuno dei quali lo stesso elettrone compie una transizione radiativa, da cui il termine cascata quantica.

In realtà strutture così semplici non hanno mai funzionato. Iniettan- do corrente nel dispositivo il campo elettrico lungo l'eterostruttura non si mantiene costante e l'allineamento delle sottobande risulta diverso a sec- onda della posizione del pozzo quantico nella struttura. Questo porta ad accumuli di carica che cambiano ulteriormente il campo elettrico e la dis- tribuzione dei portatori è pertanto dierente da periodo a periodo (per pe- riodo si intende l'unità fondamentale che viene ripetuta, in questo caso la coppia barriera-pozzo), cosa che rende il raggiungimento dell'inversione di popolazione problematico.

Nei laser QC, come dimostrato da Faist e collaboratori nel 1994, il prob- lema di un campo elettrico disomogeneo lungo la struttura è stato risolto introducendo delle regioni di iniezione tra i pozzi quantici attivi che ospitano l'emissione ottica. Questi iniettori sono costituiti da dei superreticoli drogati in maniera da consentire il mantenimento della neutralità di carica in ogni singolo periodo anche sotto il necessario trasporto di corrente, assicurando perciò l'uniformità del campo elettrico. Inoltre essi garantiscono il trasporto elettrico da una regione attiva (con regione attiva si intende il gruppo di pozzi in cui avviene la transizione radiativa) all'altra tramite minibande apposita- mente allineate in energia e tunneling risonante attraverso l'ultima barriera dell'iniettore (detta barriera di iniezione).

Esistono vari approcci progettuali per la creazione di un'eterostruttura per l'emissione a cascata quantica. In generale ogni struttura è realizzata in modo che, una volta applicato il giusto voltaggio, si vengano a posizionare nella posizione e alle energie volute 2-3 sottobande o minibande tra le quali ha luogo la transizione. In gura 2.6 si vede lo schema energetico della banda di conduzione dell'eterostruttura del primo laser a cascata quantica [5]. Qui la transizione radiativa avviene tra il livello con indice 3 e il 2. Il livello con indice 1 è realizzato in modo che disti dal 2 quanto l'energia di un fonone ottico longitudinale del semiconduttore. In questo modo il livello 2 si trova ad essere svuotato molto velocemente ottenendo così l'inversione di popolazione tra 3 e 2 necessaria per l'amplicazione Laser.

In Fig. 2.6 è rappresentato il prolo dei pozzi di due periodi del- l'eterostruttura. E' evidenziata la zona attiva composta da 3 pozzi, e l'iniettore.

Altre architetture utilizzano transizioni tra due minibande, transizioni

all'interno di un singolo pozzo o che attraversano una barriera. I molti ingre-

dienti e variabili a disposizione hanno dato vita al termine ingegneria della

2.5 Laser THz 19

bande, perché ingegnerizzando la composizione della struttura è possibile progettare a tavolino la proprietà della regione attiva.

Figura 2.6: Diagramma a bande del primo laser a cascata quantica [5]. Il campo applicato è di 95kV/cm. Sono rappresentati due periodi, ognuno dei quali costituito da regione attiva e iniettore. Nella regione attiva si nota la natura diagonale, nello spazio reale, della transizione radiativa dal livello 3 al 2. Si nota il confronto con il salto energetico tra il livello 2 e 1 risonante con un fonone LO.

2.5 Laser THz

La regione spettrale del TeraHertz, compresa tra 1 e 10 THz (corrispondenti a circa, rispettivamente, 300 µm e 30 µm) è una nestra rimasta per lungo tem- po di dicile accesso per le sorgenti a stato solido. La ragione sta nella sua posizione spettrale localizzata a metà tra l'elettronica e la fotonica. Queste due discipline fanno parte di ambiti progettuali e tecnologici molto diversi.

L'elettronica utilizza oscillazioni di cariche, antenne, per generare radiazione

elettromagnetica, mentre invece la fotonica fa uso di transizioni quantistiche

ben denite sfruttando gli spettri atomici o molecolari. Le dimensioni dei dis- positivi fotonici a semiconduttore sono paragonabili a quelle della lunghezza d'onda della radiazione mentre quelli elettronici sono in genere molto più piccoli.

I dispositivi QC sono stati da subito i candidati principe per la realiz- zazione di emettitori Terahertz a stato solido. Questo grazie alla possibilità di confezionare la lunghezza d'onda cambiando opportunamente gli spessori degli strati della regione attiva.

Un laser QC che emette nei Terahertz presenta delle caratteristiche che lo distinguono da quelli realizzati per l'emissione nel medio infrarosso. L'e- missione a grandi lunghezze d'onda (λ ≥ 100 µm) avviene tra livelli che sono energeticamente più vicini dell'energia dei fononi ottici del semiconduttore che ospita il pozzo quantico. Questo rende quindi dicile il loro sfruttamento per ottenere l'inversione di popolazione. Se considerassimo nella zona attiva lo schema descritto in precedenza a tre livelli, i tempi di decadimento dovuti all'interazione con i fononi dai due livelli laser verso lo stato 1 sarebbero del- lo stesso ordine di grandezza. In questo intervallo di energie, inoltre, i vari processi di scattering che sono comunemente trascurati ad energie superiori hanno una rilevanza maggiore. Tra di essi il più importante è la diusione tra elettroni (scattering e-e).

Queste dicoltà hanno impedito per lungo tempo lo sviluppo di laser a cascata quantica in questo range di frequenza. La possibilità di ottenere radiazione THz da sorgenti QC è stata messa in evidenza inizialmente con misure di elettroluminescenza [25] che hanno studiato l'emissione spontanea a frequenze THz, portando poi alla dimostrazione del primo laser QC THz nel 2002, costruito presso i laboratori NEST [6].

2.5.1 Disegno dell'esterostruttura

In Fig. 2.7 sono riportate alcune delle soluzioni studiate e implementate per generare transizioni intersottobanda nei casi in cui l'energia della transizione sia al di sotto dell'energia del fonone ottico longitudinale del mezzo che ospita i pozzi quantici.

In Fig. 2.8 è rapprsentata la struttura del primo laser QC che emet-

teva nel THz [6]. Come nel medio infrarosso, la struttura è costituita da

un'alternanza di zone attive ed iniettori. I progetti delle strutture preceden-

ti a questa si ponevano l'obiettivo di incrementare il tempo di vita medio

dello stato superiore facendo in modo che la separazione energetica delle sot-

tobande rilevanti fosse abbondantemente al di sotto dell'energia del fonone

ottico. Questo comporta il restringimento della minibanda nell'iniettore, cau-

sando sia un drastico abbassamento della probabilità di estrazione dal livello

2.5 Laser THz 21

Figura 2.7: Schemi riassuntivi degli approcci utilizzati per consentire tran- sizioni intersotobanda QC. Le due colonne rappresentano i diversi approcci utilizzati nel caso in cui venga utilizzata o meno l'emissione di fononi LO per lo svuotamento delle sottobande laser inferiori.

inferiore del laser, sia un minore usso di corrente. La soluzione proposta nell'articolo [6] prevede l'utilizzo, all'interno dell'eterostruttura, di regioni attive modicate, detti superreticoli chirped [26]. In questo tipo di laser QC, nella zona attiva dell'eterostruttura non sono presenti solo tre stati (come descritto in precedenza per il medio infrarosso), ma due minibande. Queste minibande si ottengono, senza bisogno di droganti, da una graduale vari- azione dello spessore dei pozzi e delle barriere del superreticolo, in modo da compensare il campo elettrico applicato. Usando questa tecnica è stato possibile realizzare una struttura come quella in Fig. 2.8, dove la minibanda dell'iniettore si estende no alla zona attiva.

In questo modo lo stato 1 è fortemente accoppiato alla minibanda, la

quale ha una dispersione di 17 meV e garantisce un ecace trasporto degli

elettroni. Lo svuotamento del livello 1, sebbene ostacolato dalla mancanza di

stati distanziati da esso quanto l'energia di un fonone ottico, viene favorito

da processi di scattering e-e che provvedono a fornire agli elettroni l'aumento

di impulso nel piano necessario alla transizione tramite fonone ottico . La

Figura 2.8: Sezione della banda di conduzione del mezzo attivo del primo laser QC realizzato nel THz [6] con applicato il campo elettrico di 3.5 kv/cm.

larghezza della minibanda ha anche l'eetto di ridurre i processi di ripopola- mento da stati inferiori, causati dall'aumento di temperatura (backlling). Il popolamento dello stato 2 viene assicurato sempre da un forte accoppiamento tunnel con l'iniettore.

Recenti strutture hanno poi recuperato l'utilizzo del fonone ottico lon- gitudinale per svuotare il livello basso della transizione, così come accadeva per le strutture studiate per il medio infrarosso.

2.5.2 Guida d'onda

Una guida d'onda per la radiazione elettromagnetica è il risultato della dis-

posizione di materiali con diverso indice di rifrazione (n) che porta al con-

namento dei fotoni in una regione dello spazio (core). Questo connamento

può servire per trasportare la radiazione (nel caso di una bra ottica) e/o

per amplicarla (nel caso della cavità ottica di un laser o di una bra ottica

drogata). In Fig. 2.9-A si vede una sezione di una guida d'onda con indicate

le zone a diverso indice di rifrazione che rispettano la condizione n2 > n1,n3

(guida d'onda dielettrica) e due delle possibili distribuzione dell'intensità del-

la radiazione all'interno (modi). Nella zona di core (2) si ha un'andamento

oscillante, al di fuori (cladding) si ha un'andamento esponenziale decrescente.

2.5 Laser THz 23

Il parametro da massimizzare nella realizzazione di una guida d'onda è Γ, che corrisponde alla percentuale di radiazione presente nel core rispetto a quella totale core + cladding; è nel core infatti che viene collocato il mezzo attivo ed è quindi qui che si deve avere il massimo connamento. Un'altro parametro ( α

) descrive le perdite dovute all'assorbimento della radiazione nella guida.

Queste sono espresse generalmente in cm

.

Nei dispositivi a semiconduttore si realizzano guide d'on- da dielettriche utilizzando interfacce semiconduttore-aria o semiconduttore-semiconduttore

.

Guida d'onda per il THz

In Fig. 2.9-B si vede un disegno 3D di come si presenta un classico disposi- tivo laser a cascata quantica THz con indicate le dimensioni caratteristiche.

Le pareti laterali della zona attiva nella direzione X, sono denite in modo da utilizzare la dierenza di indice di rifrazione tra aria e semiconduttore per generare un connamento diettrico. La propagazione è favorita nell'altra di- rezione libera del piano (Y), mentre rimane da connare la direzione parallela a quella di crescita dell'eterostruttura (Z). Per questa direzione non possi- amo utilizzare una guida d'onda dielettrica perchè, pur non essendoci limiti teorici, risulta svantaggiosa due motivi. Il primo è che è tecnologicamente complicato depositare in fase di crescita con MBE strati dielettrici idonei a connare la radiazione THz (lo spessore necessario cresce con la lunghezza d'onda della radiazione e deve empiricamente essere ≈

). Il secondo riguar- da le perdite per assorbimento degli elettroni liberi le quali crescono con la lunghezza d'onda come ≈ λ

e che diventerebbero troppo alte nel THz.

Si utilizzano allora guide d'onda a plasmone di supercie. Un plasmone di supercie è una soluzione delle equazioni di Maxwell esistente all'inter- faccia tra due materiali con costante dielettrica di segno opposto, come tra metallo e dielettrico. Il modo ottico risultante ha un picco di intensità al- l'interfaccia e decade esponenzialmente nei due materiali con costante di decadimento che dipende dalla lunghezza d'onda della radiazione ma anche dalle caratteristiche dei due materiali.

Per la radiazione THz, sebbene la penetrazione dentro al metallo sia bassissima, questa penetra per una distanza troppo grande nel semicondut- tore per accoppiarsi adeguatamente al mezzo attivo. Questo problema è stato risolto ponendo una interfaccia metallica anche al disotto del mezzo attivo, realizzando così una cavità di connamento a doppio plasmone di supercie.

2

I semiconduttori possono anche essere identici ma con drogaggio dierente. Variando

infatti la concentrazione di portatori nel materiale se ne cambia infatti la frequenza di

plasma e quindi la costante dielettrica

Figura 2.9: A-Schema di due modi connati nella guida d'onda dielettri-

ca costituita accoppiando tre mezzi con diverso indice di rifrazione con la

condizione: n2 > n1,n3.B-Disegno 3D di come si presenta un laser QC che

lavora nel THz. Le proporzioni non sono in scala. Sono indicate le tipiche di-

mensioni dei particolari.C-Sezione per il connamento della radiazione nella

direzione z. Cavità a doppio plasmone di supercie con λ = 69µm .D-Guida

d'onda a triplo plsmone utilizzata ne primo laser QC con emissione nel ter-

ahertz.

2.5 Laser THz 25

Al posto di una interfaccia con metallo si è utilizzato anche interfacce con semiconduttori drogati al punto da assumere caratteristiche metalliche. In Fig. 2.9-C si vede la sezione del prolo di intensità del modo all'interno di una cavità metallo-semiconduttore; il fattore di connamento è Γ = 0.99, con perdite di α = 55cm

. In Fig. 2.9-D Si vede invece il connamento nella cavità del primo laser QC con emissione nel THz. In questa guida d'on- da la zona attiva è compresa tra uno strato metallico e uno di GaAs molto drogato (210

cm

), ma molto sottile (800 nm), aancato da un substrato semi-isolante. In questa cavità si vengono a creare 3 plasmoni di supercie.

2.5.3 Funzionamento ad alta temperatura

Il primo laser Terahertz QC a funzionare al di sopra della temperatura del- l'azoto liquido è stato realizzato nel 2003 [4]. L'emissione registrata da quel- la struttura ha fatto capire come la corrente di soglia per l'emissione laser dipenda dalla temperatura: con la temperatura aumentano i decadimen- ti non radiativi che svuotano il livello superiore attraverso canali secondari rendendo dicile ottenere l'inversione di popolazione necessaria perché ab- bia luogo la transizione radiativa. Questi processi non radiativi coinvolgono collisioni degli elettroni con imperfezioni dell'interfaccia tra due pozzi, scat- tering elettrone-elettrone, decadimento tramite emissione di un fonone ot- tico longitudinale LO da parte di eletroni nella sottobanda superiore con impulso k nel piano suciente.

Le strutture con le quali si sono raggiunte le migliori prestazioni ad alta temperatura, in assenza di campo magnetico, sono state realizzate ed ottimiz- zate dal 2003 al 2005 [12]. La peculiarità di queste strutture sta nell'avere reso la transizione radiativa verticale nello spazio reale e l'avere scelto di utilizzare un fonone LO per svuotare il livello basso della transizione.

L'uso diretto dei fononi LO per depopolare il livello inferiore della tran- sizione crea una protezione naturale contro il riempimento di questo livello dovuto all'agitazione termica delle cariche nel collettore. Questa proprietà della struttura è molto importante per promuovere il funzionamento ad alta temperatura di un laser con grande lunghezza d'onda.

Come un veloce svuotamento della sottobanda inferiore della transizione è importante, così lo è avere un tempo di vita lungo del livello superiore.

Progetti precedenti cercavano di risolvere questo problema rendendo le tran-

sizioni radiative diagonali nello spazio reale, attraverso cioè due buche, al ne

di diminuire la sovrapposizione tra lo stato superiore ed il collettore. Questo

risolveva il problema portando però una riduzione del dipolo della transizione

ed un allargamento della riga di emissione dovuto alle imperfezioni presenti

al'interfaccia dei pozzi quantici che l'elettrone deve attraversare durante la transizione radiativa.

La struttura realizzata in [7], [8] e [9] prende i vantaggi delle due soluzioni esposte sopra. La transizione è verticale, ma lo svuotamento del livello infe- riore avviene nel pozzo successivo dove l'accoppiamento tra il collettore e il livello superiore è evanescente.

Il gura 2.10 sono rappresentati due periodi dell'eterostrutura realizzata e testata per avere le caratteristiche sopra elencate [9]. La transizione radiativa avviene tra i livelli n = 6 e n = 5 evidenziati in grassetto (la transizione calcolata è di E

= 11.4meV ). Al campo elettrico di ≈ 61 meV/Modulo, i livelli n = 5 e n = 4 sono ambedue velocemente (τ

≈ τ

≈ 0.4ps ) svuotati attraverso l'emissione di un fonone LO verso l'iniettore composto dagli stati delocalizzati 1, 2 e 3.

La piccola sovrapposizione tra n = 6 e gli stati dell'iniettore limita molto gli scattering parassiti che hanno un tempo di vita di τ

≈ 6.0ps .

In gura 2.11 è riportato il graco della misura di trasporto a T = 5K ed emissione a varie temperature in funzione della corrente che attraversa il dispositivo. Si vede che a T = 5K la corrente di soglia è di circa J

= 1000 A/cm

. L'alto valore di J

è il risultato di un canale di corrente parassita tra n = 1

, 2

verso n = 4 che domina il trasporto prima della soglia per J < 1000 A/cm

.

Questo canale è causa anche della variazione di pendenza della caratter- istica J(V) prima della soglia. Come si vede in Fig. 2.11 la pendenze della curva (corrispondente al valore di resistenza del dispositivo al passaggio di corrente) aumenta sensibilmente intorno al valore di corrente di circa 1000 A/cm

per poi ricalare dopo poco. Questo è dovuto al fatto che, aumentan- do progressivamente il campo elettrico la struttura a bande passa attraverso situazioni intermedie di allineamento tra i livelli energetici che fanno vari- are sensibilmente la probabilità che un elettrone possa essere trasportato per eetto tunnel risonante contribuendo così ad aumentare la corrente. La situ- azione in cui la resistenza aumenta sensibilmente corrisponde al passaggio di allineamento dell'iniettore tra i livelli 5,4 e il successivo 6. In questa situ- azione intermedia non ci sono livelli perfettamente allineati e questo comporta una riduzione del usso di carica [8] [12].

Con successive ottimizzazioni di questa struttura si è arrivati [12] [11] ad

avere emissione laser alla temperatura di 167K in regime di alimentazione

impulsata e di 117K in continua.

2.5 Laser THz 27

Figura 2.10: Prolo della banda di conduzione a campo elettrico applicato di 9.5 kV/cm (65 mV/Modulo) della struttura descritta in [9]. La strut- tura è cresciuta in AlGaAs/GaAs. In gura il modulo composto da 5 buche e ripetuto 152 volte nel dispositivo è evidenziato dalla linea punteggiata.

Partendo dall'iniettore di sinistra lo spessore dei piani depositati in è di:

44/77/28/69/36/157/17/102/25/83 Å.

.

Figura 2.11: Tensione applicata in funzione della corrente che uisce nel

dispositivo a T=5 K ed emissione a varie temperature. Misure eettuate

usando impulsi di 100ns ripetuti ad 1KHz. Si nota il particolare andamento

della caratteristica I/V al valore di corrente di circa 4A.

2.6 Connamento multidimensionale

Per poter migliorare questi traguardi occorre cambiare strategia; ottimizzan- do ancora la struttura a bande è dicile ottenere miglioramenti signicativi.

In un pozzo quantico le cariche sono connate solo nella direzione di crescita dell'eterostruttura mantenendo i due rimanenti gradi di libertà non quan- tizzati. Come conseguenza la densità di stati (DOS) elettronica assume la caratteristica forma a scalini. Estendendo il connamento a tutte e 3 le di- mensioni si passa da un pozzo ad un punto quantico (Quantum Dot QD).

Questo comporta la completa quantizzazione dei livelli energetici elettronici che porta a trasformare la densità di stati in una funzione a delta, come rap- presentato in gura 2.12. Nei pozzi quantici ha senso parlare di transizione tra sottobande generate dalla dispersione nel piano X e Y ; nei punti quantici si può invece parlare di transizioni tra livelli energetici.

Figura 2.12: Densità di stati per una dispersione di energia parabolica, con massa ecace m

, per un sistema a-Bulk, 3D. b-Pozzo Quantico, 2D. C-Filo quantico, 1D C-Punto quantico, 0D [3].

La presenza di una densità di stati discreta nei punti quantici fa si che ci siano cambiamenti signicativi nelle transizioni elettroniche tra sottolivelli.

In gura 2.13 si compara il rilassamento intrabanda tramite un fonone LO

per il pozzo, a sinistra, e il punto quantico, a destra. Per il pozzo quan-

tico, anche quando la distanza tra la bande dierisce in modo signicativo

2.6 Connamento multidimensionale 29

Figura 2.13: Rilassamento elettronico tramite emissione di un fonone LO in un pozzo quantico, a sinistra, e in un punto quantico, a destra. In un pozzo quantico può aver luogo l'emissione di un fonone LO anche se la distanza delle bande a k = 0 è molto diversa dall'energia dello stesso (sia che questa sia maggiore o minore). In un punto quantico l'emissione di un fonone LO può avvenire solo se la distanza tra i livelli è esattamente uguale all'energia di quest'ultimo [23].

dall'energia del fonone LO, il rilassamento rimane sempre possibile grazie alla dispersione nel piano che permette di conservare comunque k. Per il punto quantico il trasferimento tra i due livelli attraverso l'emissione di un fonone LO è soppresso tranne nel caso particolare in cui la separazione tra i livelli coincida proprio con l'energia del fonone. Questo predice la riduzione signicativa dei decadimenti parassiti non radiativi causati dall'emissione di fononi LO, problema noto in letteratura con il nome di collo di bottiglia fononico. Gli elettroni rimangono comunque accoppiati ai fononi a causa degli eetti polaronici. Questo eetto è stato studiato nei sistemi a quantum dots in [27].

La prima proposta di transizioni intersottobanda con connamento 3D

prevedeva l'applicazione di un campo magnetico su un tradizionale laser a

cascata quantica, con direzione parallela a quella di crescita dell'eterostrut-

tura [21]. Il campo magnetico agisce eliminando i due gradi di libertà di cui

gli elettroni godono nel piano connandoli sui livelli di Landau [3]. Questa

soluzione è stata realizzata su strutture appositamente realizzate con ottimi

risultati [22], tra cui una riduzione di due ordini di grandezza della corrente

di soglia a seguito dell'aumento del tempo di vita della transizione.

Un'altra possibilità è quella di realizzare un'eterostruttura con estensione laterale molto ridotta, passando da dei pozzi quantici a dischi di dimensioni laterali sub micrometriche. In questo caso il connamento laterale sarebbe quello di una buca di potenziale con barriere praticamente innite date dalle pareti laterali del semiconduttore.

Un modo per realizzare una simile costruzione è partire da un'eterostru- tura tradizionale e scavarla selettivamente in modo da ricavarne dei cilindri.

Questo può essere fatto utilizzando moderne tecniche di erosione che utiliz- zano plasmi di gas attivi unite ad una litograa elettronica [13]. Per maggiori dettagli si veda il Cap. 3.

Gli elettroni sono presenti dentro la struttura grazie a materiali droganti appositamente inseriti in appositi punti in fase di deposizione dei pozzi quan- tici. Il processo di erosione genera una regione di svuotamento vicino al bordo della struttura, dove non si avrà più presenza di elettroni. Il reale spazio in cui le cariche saranno connate sarà quindi minore della sezione orizzontale dei cilindri realizzati. In [33] si stima che la regione si svuotamento si addentri nel semiconduttore per circa un centinaio di nm.

L'energia di connamento nel piano è dell'ordine dell'unità di meV, men- tre quella per il connamento nella direzione di crescita e dell'ordine della decina di meV. Questo ci consente di poter separare i due potenziali: il potenziale nel piano del quale risentono gli elettroni può essere, con buona approssimazione [29], considerato parabolico (Fig. 2.14):

V (x, y) = 1

2 m

ω

ρ

= 1

2 m

ω

^ x

+ y

^ (2.11) Questo ci consente di risolvere separatamente le due equazioni di Schrodinger[16].

H =

"

P

+ P

2m

+ V

#

+

"

P

2m

+ V

#

(2.12) La soluzione dell'equazione per il potenziale parabolico nel piano dà:

E

= ¯ hω

(2n + |l| + 1) , (2.13) dove n è un'intero positivo che rappresenta il numero di nodi della fun- zione d'onda che si incontrano muovendosi in senso radiale partendo dal centro del disco, e 2 |l| da il numero di nodi che si incontrano muovendosi circolarmente; l può assumere valori interi positivi o negativi [17].

In gura 2.15 sono rappresentate alcune funzioni d'onda di probabilità, ψ

m,l

, degli stati quantistici per vari valori dei numeri quantici m e l [29].

2.6 Connamento multidimensionale 31

Figura 2.14: Rappresentazione del potenziale di connamento laterale per una colonna costituita da 1 e due pozzi quantici [29].

In gura 2.16 è rappresentato schematicamente come cambia lo spazio k

estendendo il connamento, in questo caso [19] con pilastri di sezione quadra-

ta invece che circolare come nel nostro caso. Degli stati appartenenti alle

parabole, prima tutti possibili stati elettronici, solo quelli indicati dai cer-

chietti, che rappresentano i valori di energia permessi dal connamento nel

piano, possono essere occupati e solo tra questi può avvenire una transizione

elettronica.

Figura 2.15: Funzioni d'onda di probabilità per alcuni valori dei numeri quantici m e l [29].

Figura 2.16: Graco dell'energia in funzione di k

, y che mostra gli stati

elettronici quantizzati nelle prime due sottobande di conduzione C1 e C2. Il

connamento è calcolato [19] per pilastri a sezione quadrata. Le transizioni

intersottobanda tra le due sottobande sono rappresentate dalle frecce.