Calcolo 3 - 20 febbraio 2007

Calcolo 3 - 20 febbraio 2007

Esercizio 1

Si consideri la seguente successione di funzioni

f_n(x) = n (1 + |x|)ⁿ e^nx .

a) Si determini l’insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite.

b) La successione f_n(x) converge uniformemente sugli intervalli [a, b], a > 0?

c) La successione fn(x) converge uniformemente sulle semirette (a, +∞), a > 0?

Soluzione:

a) E = (0, +∞), f (x) = 0

b) f_n converge uniformemente sugli intervalli [a, b], a > 0.

c) f_n converge uniformemente sulle semirette (a, +∞), a > 0.

Esercizio 2

a) Sviluppare in serie di potenze la funzione

f (x) = (1 + x)⁴³ − (1 + x)¹³ . b) Calcolare il raggio di convergenza della serie.

c) Calcolare la derivata quinta della f (x) nell’origine.

Soluzione:

a) f (x) =^P∞_n=0^h_n^43−^_n^13ixⁿ= x^P∞_n=0^_n^13xⁿ b) R = 1.

c) f⁽⁵⁾(0) = −⁴⁰⁰₈₁.

Esercizio 3

Dato il sistema differenziale

x⁰ = y, y⁰ = −x + 3x³− 2x⁵+ y, a) scrivere l’equazione differenziale ad esso equivalente;

b) dire se il sistema `e hamiltoniano;

c) trovare tutti i punti singolari del sistema e studiarne la stabilit`a.

Soluzione:

a) x⁰⁰− x⁰ + x − 3x³+ 2x⁵ = 0 b) Il sistema non `e hamiltoniano.

c) (0,0), (1,0), (-1,0) asintoticamente stabili per t → −∞; (^√1

2, 0), (−^√1

2, 0) instabili (selle).

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Esercizio 4

Si consideri la seguente equazione differenziale:

y⁽⁴⁾− 16y = 1 + sin(2x).

a) Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata.

b) Determinare l’integrale generale dell’equazione assegnata.

c) Determinare, qualora esistano, tutte le soluzioni limitate dell’equazione assegnata.

Soluzione:

a) y(x) = c₁cos(2x) + c₂sin(2x) + c₃e^2x+ c₄e^−2x, c_i ∈ IR

b) y(x) = c₁cos(2x) + c₂sin(2x) + c₃e^2x+ c₄e^−2x −₁₆¹ +₃₂¹ x cos(2x), c_i ∈ IR c) non esistono soluzioni limitate su IR

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