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2) 1) EquazioniDifferenziali 1 test—29.1.2010

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(1)

Equazioni Differenziali 1

o

test — 29.1.2010

1) a) Sia u ∈ C

3

(R

n

) una funzione a supporto compatto. Verificare che Z

Rn

|∇

2

u|

2

dx = Z

Rn

(∆u)

2

dx,

dove |∇

2

u|

2

=

n

X

i,j=1

u

2ij

` e la norma della matrice Hessiana.

b) Dedurre che una funzione armonica C

3

con supporto compatto ` e identicamente nulla.

2) Sia Ω ⊂ R

n

un aperto limitato con frontiera di classe C

1

e sia u ∈ C

2

( ¯ Ω) tale che Z

∂Ω

u ∂u

∂ν dσ = 0.

a) Dimostrare che per ogni  > 0 vale la disuguaglianza Z

Ω

|∇u|

2

dx ≤  Z

Ω

u

2

dx + 1 4

Z

Ω

(∆u)

2

dx.

b) Dedurre che se u ` e anche armonica in Ω allora ` e costante sulle componenti connesse di Ω.

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