Compito di Fisica Matematica, 29/1/2010
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Calcolare l’integrale
I = Z
γ
z3dz z2+ π, γ essendo la curva γ(t) = 2eit, t ∈ [0, 2π[.
(2) Siano f (t), g(t) ∈ L2(R). Data la funzione F (p, τ ) := √12πR
Rg(t − τ ) e−iptf (t)dt, verificare che essa `e ben definita e calcolareR
RdpR
Rdτ |F (p, τ )|2.
(3) Risolvere l’equazione differenziale y00(t) + 3y0(t) + 2y(t) = sin(t), con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(4) Sviluppare la funzione f (x) = 4 sin3(x) in serie di Fourier. Verificare l’uguaglianza di Parceval.
(5) Data una Φ(x) derivabile su R e la successione δn(x) = n rect(nx), dimostrare che Φ(x)δn(x) converge debolmente a Φ(0)δ(x).
(6) Calcolare la trasformata di Fourier della f (x) = u(x − x2) cos(3x).
(7) Sia data la funzione fξ(x) =
( 3(1 − x2)/4, x ∈] − 1, 1[
0 altrove. Verificare che essa `e una densit`a di probabilit`a. Calcolare il valor medio e la varianza di ξ, e la funzione cumulativa ad essa associata.
(8) Considerare due urne, entrambe contenenti n palline. La prima contiene k palline bianche e le restanti nere. La seconda contiene n−k palline bianche mentre le restanti sono nere. Supponiamo di estrarre dalla urna 1 una pallina ed inserirla nell’urna 2. Dall’urna 2, poi, si prende una pallina e la si reinserisce nell’urna 1. Ottenere la probabilit`a che dopo queste operazioni l’urna 1 contenga k − 1, k o k + 1 palline bianche.
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