TEORIA DEL CONTROLLO TEORIA DEL CONTROLLO
Anno Accademico 2010/2011 Anno Accademico 2010/2011
Secondo Semestre Secondo Semestre MAT/05 Analisi Matematica MAT/05 Analisi Matematica
Fabio Bagagiolo Fabio Bagagiolo
Cos’è un Problema di Controllo Cos’è un Problema di Controllo
Un problema di controllo, in generale, consiste in una relazione Un problema di controllo, in generale, consiste in una relazione
“input-output” che ad ogni ingresso (input) fornisce un’unica uscita
“input-output” che ad ogni ingresso (input) fornisce un’unica uscita (output).
(output).
Gli ingressi ammissibili sono detti “controlli” e la loro scelta è a Gli ingressi ammissibili sono detti “controlli” e la loro scelta è a
disposizione di un “controllore esterno” che, esercitando tale scelta, disposizione di un “controllore esterno” che, esercitando tale scelta, cerca di ottenere una risposta desiderata.
cerca di ottenere una risposta desiderata.
Problemi di questo tipo sorgono in modo naturale nelle scienze Problemi di questo tipo sorgono in modo naturale nelle scienze applicate, dall’ingegneria alla finanza, dalla biologia all’economia.
applicate, dall’ingegneria alla finanza, dalla biologia all’economia.
Tipicamente i sistemi di cui ci si occupa sono “evolutivi”, cioè il loro Tipicamente i sistemi di cui ci si occupa sono “evolutivi”, cioè il loro stato dipende dal tempo. Quindi anche i controlli dipendono dal stato dipende dal tempo. Quindi anche i controlli dipendono dal
tempo e possono essere pensati come “strategie” a disposizione del tempo e possono essere pensati come “strategie” a disposizione del controllore per guidare in maniera opportuna l’evoluzione del
controllore per guidare in maniera opportuna l’evoluzione del sistema.
sistema.
Principalmente ci occuperemo di sistemi la cui evoluzione è descritta Principalmente ci occuperemo di sistemi la cui evoluzione è descritta da un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Il controllo consiste da un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Il controllo consiste allora nella scelta di eventuali parametri che entrano nelle equazioni.
allora nella scelta di eventuali parametri che entrano nelle equazioni.
Un esempio: Atterraggio Soffice Un esempio: Atterraggio Soffice
sulla Luna sulla Luna
Supponiamo di essere ai Supponiamo di essere ai comandi di una navicella comandi di una navicella
spaziale che deve spaziale che deve
atterrare sulla luna.
atterrare sulla luna.
L’atterraggio deve essere L’atterraggio deve essere
soffice (“soft” in inglese), soffice (“soft” in inglese), cioè dobbiamo arrivare al cioè dobbiamo arrivare al suolo lunare con velocità suolo lunare con velocità
nulla, altrimenti ci nulla, altrimenti ci
schiantiamo al suolo.
schiantiamo al suolo.
Supponiamo di avere a Supponiamo di avere a
disposizione (il controllo) disposizione (il controllo)
la forza propulsiva della la forza propulsiva della
navicella verso l’alto.
navicella verso l’alto.
Modello analitico Modello analitico
h h altezza dal suolo lunare altezza dal suolo lunare v v velocità scalare verticale velocità scalare verticale m m massa della navicella massa della navicella
g g modulo accelerazione gravità lunare modulo accelerazione gravità lunare
a a forza propulsiva rivolta verso l’alto (a nostra forza propulsiva rivolta verso l’alto (a nostra disposizione).
disposizione).
Lo stato del sistema
Lo stato del sistema (h,v) (h,v) è descritto dalle è descritto dalle equazioni
equazioni
h’(t) = v(t), v’(t)=-g+a(t)/m h’(t) = v(t), v’(t)=-g+a(t)/m
Scopo Scopo
Partendo da un dato iniziale
Partendo da un dato iniziale (h(0),v(0)), (h(0),v(0)), lo lo scopo è quello di determinare una
scopo è quello di determinare una strategia propulsiva
strategia propulsiva a(t) a(t) (il controllo) in (il controllo) in modo tale che, ad un certo istante
modo tale che, ad un certo istante T T , si , si abbia
abbia (h(T),v(T))=(0,0), (h(T),v(T))=(0,0), ovvero che ovvero che l’atterraggio soffice sia avvenuto.
l’atterraggio soffice sia avvenuto.
Domande Domande
(controllabilità) Esistono controlli
(controllabilità) Esistono controlli aa che mi permettono di che mi permettono di atterrare in modo soffice?
atterrare in modo soffice?
(controllo ottimo) Esiste un controllo che mi fa atterrare in (controllo ottimo) Esiste un controllo che mi fa atterrare in modo soffice nel minor tempo possibile? Oppure
modo soffice nel minor tempo possibile? Oppure
consumando minor carburante possibile? (il consumo di consumando minor carburante possibile? (il consumo di carburante può essere proporzionale alla forza
carburante può essere proporzionale alla forza
esercitata, e quindi ci vuole una terza equazione nel esercitata, e quindi ci vuole una terza equazione nel sistema).
sistema).
(controllo feedback) E’ possibile fare in modo che la (controllo feedback) E’ possibile fare in modo che la navicella si controlli automaticamente? Questo
navicella si controlli automaticamente? Questo significherebbe determinare un controllo
significherebbe determinare un controllo a(t,h,v)a(t,h,v) che ad che ad ogni istante “legge” lo stato
ogni istante “legge” lo stato (h,v)(h,v) e si corregge e si corregge opportunamente per raggiungere lo scopo.
opportunamente per raggiungere lo scopo.
Scopo del corso Scopo del corso
Il nostro scopo principale sarà quello di Il nostro scopo principale sarà quello di
studiare da un punto di vista analitico studiare da un punto di vista analitico
(matematico) problemi di controllo e di (matematico) problemi di controllo e di
fornire risultati alquanto generali da poter fornire risultati alquanto generali da poter
essere applicati poi a svariati casi concreti.
essere applicati poi a svariati casi concreti.
Prerequisiti Prerequisiti
E’ consigliato avere seguito il corso E’ consigliato avere seguito il corso Equazioni Differenziali Ordinarie. Equazioni Differenziali Ordinarie.
Il corso
Il corso Analisi Matematica VI può essere Analisi Matematica VI può essere d’aiuto, ma non è indispensabile.
d’aiuto, ma non è indispensabile.
Ad ogni modo molti concetti necessari Ad ogni modo molti concetti necessari
saranno introdotti durante il corso stesso.
saranno introdotti durante il corso stesso.
Sito web Sito web
Ulteriori informazioni si possono trovare Ulteriori informazioni si possono trovare
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http://www.science.unitn.it/~bagagiol/infocorsocontrollo.html http://www.science.unitn.it/~bagagiol/infocorsocontrollo.html
