gL H Hz z

Meccanica

Un bacino d’acqua, profondo H, e` contenuto da una paratia verticale di lunghezza (orizzontale, lungo y) L, vincolata al terreno nel punto B. Per sostenere la paratia si usano alcuni pali fissati ad un’estremita`

sulla paratia, ad un’altezza h dal punto B, mentre l’altra estremita` e` fissata al suolo. In figura e`

rappresentata una sezione verticale del sistema.

a) Tenuto conto che la pressione varia con la profondita`, trovare la forza totale F esercitata dall’acqua sulla paratia.

b) Usando B come polo, trovare il momento delle forze τ esercitato dall’acqua sulla paratia.

c) Trovare la componente orizzontale della forza P (esercitata complessivamente dai pali sulla paratia) e della forza vincolare V (agente sulla base della paratia) affinche’ la paratia sia in equilibrio statico.

d) per quali valori di h l’equilibrio non e` possibile?

Soluzione

a) La forza esercitata dall’acqua varia con la profondita` secondo la legge di Stevino:

( ) ^{z p} ( ) ^{z dA p} ( ) ^{z Ldz g} ( ^{H z} ) ^Ldz

dF = = = ρ −

La forza totale e`:

( )

2 2

2

0 2

0

gL H Hz z

gL Ldz

z H g dF

F

H H

ρ ρ

ρ − = − =

=

= ∫ ∫

b) Il momento e`:

( ^{H z} ) ^{Ldz gL H z z gL H H F}

g z zdF

H H

3 6 3

2

3

0 3 2

0

=

=

−

=

−

=

= ∫ ∫ ^{ρ ρ ρ}

τ

c) Le condizioni di equilibrio per le forze e per i momenti sono:

F V P + =

H F

hP

≡ 3

=

≡ τ τ

da cui si ricavano P e V:

( )

H h F P

H h F

V

3 1 3

=

−

=

d) la reazione vincolare dev’essere positiva, ne segue che affinche’ sia possibile l’equilibrio

3

H

h ≥

Gravitazione

Un satellite orbita attorno alla Terra (massa MT) su un’orbita circolare O di raggio R.

a) Dimostrare che per un dato raggio R dell’orbita, la velocita` del satellite V non dipende dalla sua massa.

In un punto P dell’orbita un’esplosione rompe il satellite in due pezzi di massa uguale m, e si constata che immediatamente dopo l’esplosione, la velocita` v<sub>1</sub> del pezzo 1 e` minore di V mentre quella del pezzo 2, v2, e` maggiore di V. Si constata anche che v1 e v1 sono puramente azimutali:

b) cosa si puo` dedurre da quest’ultimo fatto riguardo al punto P per le orbite O 1 O 2 di ciascuno due pezzi?

c) Come variano i valori assoluti delle energie meccaniche di ciascun pezzo a causa

dell’esplosione? (Suggerimento: scrivere il valore assoluto dell’energia come

E = U − K

Ricordando la relazione tra semiasse maggiore ed energia:

E m a GM

= 2

Soluzione

a) Dalla legge di gravitazione si trova che la velocita` non dipende dalla massa del satellite:

R G M R v

a v R G M M

F

s s

s T s

=

⇒

=

=

=

2

2

b) La velocita` puramente azimutale implica che P sia un apogeo o un perigeo per ciascuno dei due pezzi.

c) Poiche’ la velocita v1 e` minore di V, il valore assoluto dell’energia del pezzo 1 aumenta a causa dell’esplosione. Allo stesso modo il valore assoluto dell’energia del pezzo 2 diminuisce.

i T

T

f

mV E

R m G M R mv

m G M

E

2 1 2

1 > − =

−

=

i T

T

f

mV E

R m G M R mv

m G M

E

2 1 2

1 < − =

−

=

d) Prima dell’esplosione i due pezzi orbitavano entrambi con semiasse uguale a R. Dopo

l’esplosione, tenuto conto della relazione tra a ed |E|, il semiasse del pezzo 1, a₁, risulta minore di R, mentre quello del pezzo 2, a2, risulta maggiore:

2

1

R a

a < <

ne segue che il punto P e` un apogeo per il pezzo 1 e un perigeo per il pezzo 2.

Termodinamica

Un gas ideale compie il ciclo ABCDEFCGA come indicato in figura, in cui AB, GD e FE sono tre isoterme a temperatura T2, T0 e T1, rispettivamente e AG, BF e DE sono tre adiabatiche.

Supposti noti il volume e la pressione di ogni punto, e supposto valida la seguente relazione tra i rapporti di espansione:

C D

A B

V V

V V =

Soluzione

Troviamo il calore entrante ed uscente della macchina:

C D

A B CD

AB

in

V

nRT V V

nRT V Q

Q

Q = + =

log +

log

C G

E F CG

FE

out

V

nRT V V

nRT V Q

Q

Q = + =

log +

log

il rendimento e`:

C D

A B

G C

F E

in out

V T V

V T V

V T V

V T V

Q Q

log log

log log

1 1

0 2

0 1

+ +

−

=

− η =

Applicando l’equazione delle adiabatiche ai punti A, G e B, C, otteniamo:

1 0 1 2

−

−

=

γ

G

A

T V

V

T T

V

= T

V

e dividendo membro a membro le due equazioni otteniamo

G C

A B

V V V V =

Applicando similmente l’equazione delle adiabatiche ai punti C, F e D, E, otteniamo:

F E

C D

V V V V =

Quindi il rendimento diviene:

C D

A B

A B

C D

V T V

V T V

V T V

V T V

log log

log log

1

0 2

0 1

+ +

− η =

Applicando la condizione tra i rapporti di espansione, otteniamo infine

0 2

0

1

T T

T T

+

− +

η =

Elettricita`

Un filo indefinito uniformemente carico con densita` positiva λ, e` posto parallelamente ad un piano conduttore indefinito, a distanza a da esso.

a) Trovare il campo elettrico sulla superficie del piano conduttore usando il principio della carica immagine, che afferma che il campo nel semispazio superiore al piano xy e` uguale a quello generato dal filo, piu` il campo generato da un secondo filo disposto specularmente al primo rispetto al piano e di densita` di carica uguale e opposta, come nella figura seguente:

b) Trovare la densita` superficiale di carica σ sul piano conduttore in funzione di x e y.

c) Detta B una banda di larghezza L in direzione x (la direzione del filo) e lunghezza indefinita lungo y, calcolare la carica indotta dal filo sulla superficie B.

Soluzione

a) Il sistema ha simmetria di traslazione lungo x, possiamo quindi limitarci a considerarne una sezione yz.

Il campo in un punto arbitrario P del piano e` la somma dei campi dei due fili e vista l’ulteriore simmetria di riflessione per i punti sul piano, il campo risultante ha solo componente z diversa da zero:

2 2 0 0

2

1

1 2 cos

2 a y

a E r

E

E

− +

=

−

= +

= πε

θ λ πε

λ

b) la densita` di carica superficiale di un conduttore e` proporzionale al campo:

2 0 2

y a E a

− +

=

= π

ε λ σ

c) la carica indotta e`

L arctg

L d

L

y dy a

L a y dxdy

a dA a

q

L

B

λ π ζ

λ ζ ζ

λ π

π λ π

σ λ

−

=

− + =

−

=

+ =

− + =

−

=

=

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

+∞

∞

− +∞

∞

−

∫

∫

∫ ∫

∫

1 1

1 1

2

2 2 0

2 2

cioe` esattamente uguale e opposta alla carica presente sul filo positivo nel segmento di lunghezza L.

Magnetismo

Due fili indefiniti ABC e DEF, fra loro isolati elettricamente, sono formati ciascuno da una semiretta giacente sul piano orizzontale xy e da una semiretta verticale disposta lungo la direzione z. I due tratti giacenti sul piano xy sono fra loro perpendicolari, come mostrato in figura. Il filo ABC porta corrente i1 e il filo DEF corrente i₂. Il punto P dista a dal filo ABC e b da DEF.

Trovare le componenti cartesiane del campo magnetico risultante nel punto P (suggerimento:

determinare preliminarmente il campo magnetico in P generato, ad esempio, dalla semiretta AB).

Soluzione

Il campo dovuto ad una semiretta la cui origine coincide con il piede della perpendicolare calata da P e`, per ovvie ragioni di simmetria, la meta` del campo dovuto a tutta la retta:

Il campo dovuto al filo ABC e` dato dalla somma dei contributi delle semirette AB, BC. Similmente per il filo DEF dobbiamo sommare i contributi di DE, EF. Tutti i contributi sono del tipo Biot-Savart, salvo il fattore un mezzo di cui si e` detto.

Contributo di AB - direzione e verso: -k, modulo:

a i a

i

0

4 2

2 1

π µ π

µ ₌

Contributo di BC -direzione e verso: -i, modulo:

a i

0

4 π

µ

Contributo di DE - direzione e verso: k, modulo:

b i

0

4 π µ

Contributo di EF -direzione e verso: -j, modulo:

b i

0

4 π µ

Le componenti del campo sono quindi:

a B

i

4 π

− µ

= b

B

i

4 π

− µ

= 



 

  −

−

= b

i a B

i

4 π

µ