a) Si determinino il potenziale ϕ(z) e il campo elettrico ~ E(z) sull’asse z.

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Compito di “Fisica II” – Laurea in Matematica – 17/02/2015

Problema 1

Su un anello di raggio b centrato nell’origine e appartenente al piano xy si trova una distribuzione lineare di carica −λ < 0 e su un anello di raggio 2b, sempre centrato nell’origine e appartenente al piano xy, si trova una distribuzione lineare di carica 2λ > 0. In seguito si trascuri la forza peso.

a) Si determinino il potenziale ϕ(z) e il campo elettrico ~ E(z) sull’asse z.

b) Si determini il periodo T delle piccole oscillazioni attorno all’origine di una particella di carica q > 0 e massa m, vincolata all’asse z.

c) Si supponga che in presenza anche di un campo magnetico costante e uniforme ~ B, la particella di cui al quesito b) si trovi nel punto P = (3R, 4R, 5R), con R b, essendo inizialmente a riposo. Si osserva che la particella compie un moto rettilineo e che dopo aver percorso un tratto lungo 2b la sua velocit` a vale v in modulo. Noti b, R, q, m e v si determinino λ e il rapporto numerico B

_y

/B

_z

.

Problema 2

Nel circuito in figura, alimentato da un generatore di dif- ferenza di potenziale costante E , inizialmente l’interruttore T ` e chiuso e il sistema ` e a regime.

a) Si determinino le correnti I

E

e I

2

che a regime attraver- sano rispettivamente il generatore e la resistenza R

2

. b) Si determinino le cariche Q

₁

e Q

₂

presenti a regime rispettivamente sui condensatori C

₁

e C

₂

.

c) All’istante t = 0 si apre l’interruttore T . Si determini la corrente I(t) che circola a un generico istante t > 0 nella maglia contenente gli elementi L e C

₂

.

d) Si determini l’energia totale U (t) immagazzinata a un

generico istante t > 0 nella maglia di cui al quesito c).

(2)

Soluzioni

Problema 1

a) Il potenziale si ottiene sommando i potenziali dei due anelli, di carica totale rispettivamente −2πbλ e 8πbλ,

ϕ(z) = λb 2ε

0

− 1

√

z

²

+ b

²

+ 4

√

z

²

+ 4b

²

, E

_z

(z) = −∂

_z

ϕ(z) = − λbz 2ε

0

1 (z

²

+ b

²

)

^3/2

− 4 (z

²

+ 4b

²

)

^3/2

.

b) m¨ z = qE

_z

(z) da cui, al primo ordine in z,

¨

z = − qλ

4ε

₀

mb

²

z ≡ −ω

²

z, T = 2π ω = 4πb

r

mε

0

qλ .

c) Visto che il moto ` e rettilineo ` e necessariamente radiale e vale ~ B k ~ E k (3R, 4R, 5R), sicch´ e B

_y

/B

_z

=

±4/5. A grandi distanze si ha ϕ(r) ≈ Q/4πε

₀

r, con Q = −2πbλ + 8πbλ = 6πbλ, e inizialmente r = 5 √

2R. Dalla conservazione dell’energia risulta allora 1

2 mv

²

= qϕ(r) − qϕ(r + 2b) = Qqb

2πε

0

r(r + 2b) ≈ Qqb

2πε

0

r

²

= 3qλb

²

50ε

0

R

²

⇒ λ = 25mv

²

ε

0

R

²

3qb

²

.

Problema 2

a) A regime correnti e cariche sono costanti. Visto che le resistenze R

₁

e R

₂

sono in parallelo si ha I

E

= E (R

₁

+ R

₂

)/R

₁

R

₂

e I

₂

= E /R

₂

.

b) Q

1

= E C

1

e Q

2

= 0.

c) L’equazione della maglia ` e Q

2

/C

2

+ L ˙ I = 0, con I = ˙ Q

2

. Quindi ¨ Q

2

+ ω

²

Q

2

= 0, con ω = 1/ √ LC

2

. Viste le condizioni iniziali Q

₂

(0) = 0 e ˙ Q

₂

(0) = I(0) = I

₂

= E /R

₂

si ottiene

Q

₂

(t) = E ωR

2

sen(ωt), I(t) = E R

2

cos(ωt).

d) Essendo la maglia conservativa si ha U (t) = U (0) = L(I

2

)

²

/2 = LE

²

/2(R

2

)

²