Integrale indefinito

Integrale indefinito

Funzione integrale

Definizione

Sia f una funzione integrabile secondo Riemann

nell’intervallo [a,b] e x∊[a,b], si definisce funzione integrale di f, l’integrale definito:

^{F ( x ) } 

^{f ( t ) dt}

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia f continua in [a,b], allora la funzione integrale

è di classe C¹([a,b]) (F ed F’ continue in [a,b]) e si ha

F ( x ) ^ 

f ( t ) dt

] , [

) ( )

(x f x x a b

F   

Dimostrazione

Scriviamo il rapporto incrementale di F(x):

 _

_  

_



 

 ^{x h}

x h

x a

x

a f t dt

dt h t f dt t h f

h

x F h x

F 1 ( )

) ( )

1 ( ) ( ) (

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Per il Teorema della media integrale applicato ad f in [x,x+h], x

 

Si è ottenuto

Ed essendo f continua in [a,b] si ha la tesi:





1 f t dt f x h

h

h x

x 



)) ( ) (

( )

( f x h

h

x F h x

F   

) ( )) ( ( ) lim

( ) lim (

)

( 0 0 f x h f x

h

x F h x x F

F  h    h 





Integrale indefinito

Osservazione

L’ipotesi di continuità per f è fondamentale per la derivabilità di f.

Infatti se f è solo integrabile non si puo’ affermare che F è derivabile.

Esempio

f(x) è integrabile ma non è continua, F(x) è continua ma non è derivabile in x=0.

|

| ) ( 0 1

0 ) 1

( F x x

x x x

segn x

f  









 



Integrale indefinito

Definizione

Una funzione F(x), derivabile in [a,b], si chiama primitiva di f (x) se

] , [

) ( )

( x f x x a b

F    

Esempio

Una primitiva di f (x)= cos x è la funzione F(x)=sin x.

Se f (x)= x²

) 3 (

x3

x

F 



Integrale indefinito

Se F (x) è una primitiva di f (x) lo è anche F (x)+c

Infatti

 F ( x )  c    F  ( x )  f ( x )

Definizione

La famiglia di tutte le primitive di una funzione f (x) continua in [a,b] è detta integrale indefinito e si indica:

quindi



c x F dx x

f  



Integrale indefinito

Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale Sia f (x) una funzione continua su [a,b] e G (x) una

primitiva di f. Allora

 

a b

a

f ( x ) dx  G ( b )  G ( a )  G ( x )  G ( x )



Esempio

1 0 sin sin

sin

cos

0

2 2









^xdx  ^x

3 7 3 1 3 2 3

2 3

1 3 2

1

2

   

 ^{x dx x}

Dimostrazione

Se G è una primitiva di f allora ∃c:

basta porre x=b e si ottiene



 ^x

a f t dt c

x

G( ) ( )

).

( ) ( )

(t dt G b G a

b f

a  



Questo è il legame tra l’integrale definito e l’ integrale indefinito



)







Integrale indefinito, proprietà

Dalle proprietà delle derivate si ottiene:

 

 

















costante c

dx x f c dx x cf ii

dx x g dx x f dx x g x f i

,

) ( )

( )

, ) ( )

( )

( ) ( )

Integrale indefinito

Integrali indefiniti immediati

, sin cos

, cos sin

,

, 0 1 ln

, 1 1

1

































 

 ^

c x xdx

c x xdx

c e dx e

x c

x xdx

x c dx x

x x

 





c arctgx x dx

c x dx

x

c x dx

x

c tgx xdx



 



 





 













2 2 2 2

1 1

arccos 1

1

arcsin 1

1 cos

1

Integrali indefiniti immediati

Ricordando la derivata di funzione composta, si ha

 ^{f  ( g ( x )) g  ( x ) dx  f ( g ( x ))  c}

Esercizio

c x dx

x x x dx

x      

 _cos ^sin  _cos ^{1 ( sin ) ln cos}

Esercizio

Integrali indefiniti immediati





 x c

xdx x

dx x

x 3

cos cos sin cos

sin

3 2

2

 x  dx x c

x x dx

x      

 



1

( 1

)

1

c arctgx arctgx dx

dx x arctgx

x     

   1 ln( )

) 1 (

1 )

1 (

1

2 2

Integrazione per parti

Siano f e g due funzioni derivabili con derivata continua, si ha





f(x) = fattore finito

L’ipotesi che le derivate di f e g siano continue assicura che ale

differenzi fattore

dx x g( ) 

Integrazione per parti Dimostrazione

Consideriamo la formula di derivazione di un prodotto





Integrando membro a membro si ha











essendo una primitiva della sua derivata si ottiene la tesi

g

f 





Integrazione per parti Esercizio

Utilizzando il metodo di integrazione per parti calcolare

c x x

x xdx x

x xdx

x     

  ^{cos sin}  ^{sin sin cos}

c x x x x dx

x x x xdx

xdx        

  ^ln  ^{1 ln ln}  ^{1 ln}

Integrazione per parti







  ^e

^{sin xdx e}

^{sin x}  ^e

^{cos xdx}











  ^cos

^xdx  ^{cos x cos xdx cos x sin x}  ^sin

^xdx

 ^  ^

 ^{e x}  ^{e xdx}

x

e

sin

cos

sin

 

x c x

e x e

x xdx e

e

x x

x

x

    

 ^{sin sin} ₂ ^{cos sin} ₂ ^cos

      

  ^{x dx x x x}  ^xdx

x

x sin 1 cos

cos sin cos

cos

x c x

xdx  x  

 2

sin cos

cos

Integrazione per sostituzione

È basato sulla regola di derivazione della funzione composta.

Sia f continua e g una funzione derivabile con derivata continua, si ha

se x=g(t) allora dx=g’(t)dt è il differenziale di g(t).

 _



_

Se F(x) è una primitiva di f(x), ricordando la regola di derivazione della funzione composta si ha

Integrazione per sostituzione

 F g   ( t )  F  ( g ( t )) g  ( t )  f ( g ( t )) g  ( t )



Cioè è una primitiva di





Il risultato dell’integrazione per sostituzione è in funzione di t. Per esprimerlo in funzione di x occorre che g(t) sia invertibile, in tale caso basterà risostituire a t: t  g^1(x).

Integrazione per sostituzione Esercizio

Utilizzando il metodo di integrazione per sostituzione calcolare



 e ^xdx con la sostituzione x t², t 0



 dx

e e

x x

1 2

Integrazione per sostituzione

) (

) (

1 1

b g d b

x

a g c a

x

















Se l’integrale è definito:



e si effettua la sostituzione x=g(t), supponendo che

si ha





b

a f(x)dx f(g(t))g (t)dt

Integrazione per sostituzione Esercizio

Calcolare

t x ne sostituzio la

con dx

x sin

1 1

1

2 

