1. Dei seguenti grafici di funzioni determina e classifica i punti di discontinuità.

Quesiti per la verifica del 17/02/2014

1. Dei seguenti grafici di funzioni determina e classifica i punti di

discontinuità.

Soluzioni:

1. La funzione presenta un solo punto di discontinuità in x=0; poiché

 

lim

0

x _

f x



 

 

e

lim

0

x _

f x



 

, allora x=0 è un punto di discontinuità di 2a specie.

2. La funzione presenta due punti di discontinuità in x=1 e x=3; poiché

 

lim

1

0

x _

f x





 

e

lim

1

1

x _

f x





allora x=1 è un punto di discontinuità di 1a specie e l'oscillazione è pari a 1.

Poiché

 

lim

3

x _

f x



   

lim

3

x _

f x



 

allora x=3 è un punto di discontinuità di 2a specie.

3. La funzione presenta due punti di discontinuità in x=-4 e x=-1; poiché

 

lim

4

x _

f x



 

allora x=-4 è un punto di discontinuità di 2a specie; poiché

 

lim

1

1

x _

f x



   

lim

1

1

x _

f x



 

ma f(-1)=2 e quindi x=-1 è un punto di discontinuità di 3a specie.

4. La funzione presenta due punti di discontinuità in x=0 e x=1 ; poiché

 

lim

0

x

f x



 

 

e

lim

1

x

f x



 

allora essi sono due punti di discontinuità di 2a specie.

2. Rappresenta nel piano cartesiano i grafici delle funzioni che presentano le seguenti caratteristiche:

2.a)

^{D R  }   ⁰

_;

 

lim

0

x _

f x



   

lim

0

x _

f x



 

; intersezioni con l'asse x : (-1;0)

^lim  

x

f x



  ^lim  

x

f x



 

; f(x) è decrescente per x<0.

2.b) D:

x  3

; f(x) >0 per x<1, per

2   x 3

, per 3<x<4 e per x>4.

 

lim 0

x

f x



  

lim

1

0

x _

f x



  

lim

1

1

x _

f x





lim3

x^

^{f x}   ^{  lim}  

x

f x



 

2.c) D: x>-4; f(x)<0 per -4<x<-2, per -1<x<0, per x>0; f(-1)=1; asintoti verticali: x=-4;

 

lim 2

x

f x



 

2.d) D: x0;1; f(x)>0 per x<0, per x>1 mentre f(x)<0 per 0<x<1; asintoti verticali: x=0 e x=1.

^lim   ⁰

x

f x





Soluzioni: in ordine i possibili grafici sono quelli riportati nel quesito precedente.

3. Delle seguenti funzioni trova e classifica i punti di discontinuità.

  ¹

₂ ²

16 f x x

x

 

 ;   ^{1 2}

₂ ²

4 3

f x x x

x x

 

   ;  

2

3

7 6 f x x

x x

 

  

  ² 1 se x>1 1-x se x<1 f x  x 

  

_;

 

2

2 1 se x>0

1-x se 0< x<1 2x 2 se x 1

x f x

  

  

  

 

Trova i valori di a e di b per cui la seguente funzione risulta continua in x=0 e x=1

 

2 se x<0 3 se 0 x<1 2 se x 1 ax

f x bx

 

     

 



Soluzioni:

a) La prima funzione è continua su tutto R.

b) La seconda funzione presenta una discontinuità di 2a specie in x=3 e di terza specie in x=1;

la terza funzione ha due discontinuità di 2a specie in x=1 e x=6.

c) La quarta funzione ha una discontinuità di 3a specie per x=1 con oscillazione pari a 1.

d) La quinta funzione presenta una discontinuità di 2a specie in x=0.

e)

 

lim

0

2

x _

f x





lim0 3 3

x _ bx

   

e quindi la funzione non è continua in x=0 e pertanto non può essere continua in R per alcun valore di a e di b.