VERIFICA DI MATEMATICA

VERIFICA DI MATEMATICA – Simulazione – Funzioni e definizione di limite

Problema 1: Considera la seguente funzione definita a tratti:  

 

arctan 1 se 1

arcsin se -1 1

2

se 1

x x

f x x x

x





  

 

    

 



.

a) Disegnala nel piano cartesiano.

b) Individua dal grafico il valore dei limiti notevoli e verifica con la definizione il lim

𝑥→−∞

𝑓(𝑥).

c) Calcola il  

lim

2

1

x

f x



x  ^.

d) Risolvi graficamente la disequazione  

4 4

f x  x 

  .

e) Esistono i ^lim

_x1

^{f x}   ^{e lim}

_x1

^{f x}   ? Motiva opportunamente la tua risposta.

Problema 2: Dato l’insieme 1 1 1 1 1 1

; ; ; ; ; ;...

3 8 15 24 35 48

A =  

 

 

a) individua il punto di accumulazione per A verificalo con la definizione;

b) considerata la funzione 𝑓: 𝑁 − {0; 1} → 𝑄

⁺

ammette l’insieme A come codominio, ampliando il dominio a , disegnala nel piano cartesiano e verifica mediante la definizione i limiti notevoli;

c) discuti al variare di k il sistema  

2 2 2

2 1

y f x

x y y k

  

    



d) Dopo aver calcolato graficamente il ^lim

_x

 ^x

²

^{ f x}    , verificalo utilizzando la definizione e) Dopo aver calcolato graficamente il

1

   

1 2

limlog

x



f x



, verificalo utilizzando la definizione

Quesito 1: Discuti la limitatezza dell’insieme

1

1

, ,

2

n

x | x R x = n N







     

     

 

 

; calcola inf, sup, min, max. Determina e verifica il suo punto di accumulazione

Quesito 2: Verifica algebricamente che la funzione

₂

1 1 y

x

  ha la retta x = 1 come asintoto.

Quesito 3: Verifica, mediante la definizione di limite, che la funzione ln 1 ln 1 y = x

x +

 ha l’asintoto orizzontale di equazione y  1 .

Quesito 4: calcola graficamente il 1

₁

lim

x

1

x^

e

^

 . Verificalo utilizzando la definizione di limite.

Quesito 5: calcola

2 0 2

lim

^x

1 x



 x , motivando opportunamente il procedimento seguito.

Quesito 6: Disegna il grafico di una funzione y = f (x) che soddisfi tutte le seguenti condizioni.

𝐷 = 𝑅 − {±1};

𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝐴(−2; 0), 𝑂(0; 0)

𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 ∈ (−2; −1) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞);

𝑥→−∞

lim 𝑓(𝑥) = −∞; lim

𝑥→−1⁻

𝑓(𝑥) = +∞; lim

𝑥→−1⁺

𝑓(𝑥) = −∞; lim

𝑥→1⁻

𝑓(𝑥) = +∞; lim

𝑥→1⁺

𝑓(𝑥) = 0; lim

𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = +∞;

Quesito 7: dal grafico della figura determinare le caratteristiche della funzione.

Quesito 8: dimostrare che lim ln ln

x c

x c



 .

Quesito 9: dopo aver verificato mediante la definizione che si ha

1

0

lim 2

^x

2

x

    

 

  , si determini un intorno destro di 0 in cui la funzione è positiva.

Quesito 10: calcola il 1 lim

x^

1  x .