VERIFICA DI MATEMATICA – Simulazione – Funzioni e definizione di limite
Problema 1: Considera la seguente funzione definita a tratti:
1
1 ln 1 se 1 0
1 se 0 1
4 se 1
5
x
x x
f x x
x
.
a) Disegnala nel piano cartesiano.
b) Individua dal grafico il valore dei limiti notevoli e verificali con la definizione.
c) Calcola il
0 2
lim 1
x
f x
x
.
d) Risolvi graficamente la disequazione f x 4x24x 1.
e) Esiste il limx0 f x ? Motiva opportunamente la tua risposta.
Problema 2: Dato l’insieme 1 0
,
A= x n
n
a) individua il punto di accumulazione per A;
b)considerata la funzione che definisce l’insieme A, ampliando il dominio a , disegnala nel piano cartesiano e verifica mediante la definizione i limiti notevoli;
c) discuti al variare di k il sistema
2
0 y f x
y k x
y
d) Dopo aver calcolato graficamente il 2
1
lim 1
x
f x
, verificalo utilizzando la definizione e) Dopo aver calcolato graficamente il lim arctanx0 f x , verificalo utilizzando la definizione
Quesito 1: Verifica che l’insieme 1 0
, ln , x | x R x = n N
n
è illimitato inferiormente e ammette massimo uguale a 0.
Quesito 2: Verifica algebricamente che la funzione 1
x 1
y =e ha l’asse y come asintoto.
Quesito 3: Verifica, mediante la definizione di limite, che la funzione 1 1
x x
y =e e +
ha due asintoti orizzontali di equazione y 1.
Quesito 4: calcola graficamente il lim 2x2 3
x
. Verificalo utilizzando la definizione di limite.
Quesito 5: calcola 2 lim0
1
x
x
x , motivando opportunamente il procedimento seguito.
Quesito 6: Disegna il grafico di una funzione y = f (x) che soddisfi tutte le seguenti condizioni.
Quesito 7: dal grafico della figura determinare le caratteristiche della funzione.
Quesito 8: dimostrare che limx c lim lim
x c x c
f x f x f x
.
Quesito 9: dopo aver verificato mediante la definizione che si ha
2 100
lim ln 300
x
x
, si determini un intorno di meno infinito in cui la funzione è
positiva.
Quesito 10: calcola il lim 2 4
x x
.
