VERIFICA DI MATEMATICA – Simulazione – Funzioni e definizione di limite Problema 1: a) b) c)

(1)

VERIFICA DI MATEMATICA – Simulazione – Funzioni e definizione di limite Problema 1: a)

   

1

1 ln 1 se 1 0

1 se 0 1

4 se 1

5

x

x x

f x x

x



     

  

  

   

  



b)        

   

1

1 1

1

I limiti notevoli sono: lim e lim 0. D'altra parte per 1 , 1 ln 1 , e per ,

4 4

. Quindi bisogna verificare che lim 1 ln 1 e che lim 0.

5 5

1) lim

x x

x

f x f x x f x x x

f x x



 



 

 



         

   

        

   

       

         

   

1

1 1 1 1

1 1

1

1 ln 1 0, 1 : 1 ,1 ln 1

1 ln 1 ln 1 1 1 1 essendo 0 1 1; 1

4 4

2) lim 0 0, : , 0

5 5

4 4

0 essendo

5 5

M M M M

x x

x

x M I x I x M

x M x M x e x e e I e

I x I

 



 



        

 





               

                      

              

   

   

     

   ¹ ¹ 4  4    4 

5 5 5

0 4 1 log 1 log 1 log ;

5

x x

x x I

   

 

                

       

       

 

c)

   

2 2

0 0

2

Osserviamo che per x 0 , 1, quindi lim lim 1 . Per calcolare questo limite disegniamo il grafico

1 1

della funzione 1 . 1

x x

f x f x

x x

y x



 

 

  

 

 

(2)

2 1

yx  ₂¹ y 1

 x



     

0 2

2 2

2 2 2

Dal grafico si evince che lim 1 1. Verifichiamolo tramite la definizione:

1

lim 1 0, 0 : 0 , 1 1

1

1 1 1

1 essendo l'argomento del modulo sicuramente negati

1 1 1

x

f x I x I

x

x x

x x x

 

  



 



 

        



  

      

    

     

2

2 2 2 2

vo 1

essendo il denominatore sicuramente positivo 1 0 0;

1 1 1 1

x x

x x x x x I



   



  

 

                   d)

   

 

2 2

2

4 4 1 4 4 1

4 4 1 parabola di vertice 1; 2 passante per 0; 1 2

f x x x f x x x

y x x

       

 

       

: 1 , con 1 1 e 1 3

Sol     x c x d    c 2 d  

(3)

e)  

 

  ⁰

0 0

Dal grafico di f tracciato nel punto a, si evince che in un intorno completo di 0 la funzione tende a 1, quindi lim 1.

Per vericarlo, dobbiamo però distinguere:lim 1 ln 1 1 e lim1 1.

Il sec

x

x x

f x x



 

 



   

 

  ^{ } ^{ } ^ ^

           

0

ondo limite è ovvio, essendo la funzione costante. Verifichiamo quindi solo il primo:

lim 1 ln 1 1 0, 0 : 0 , 1 ln 1 1

1 ln 1 1 ln 1 in un intorno sinistro di 0, ln 1 0 ln 1 ln 1

x

x I x I x

x x x x x

 

  

 

             

              

   

1 1 0 1 ; 0

x e^ x e^ I e^



   

  

         

Problema 2: a)

 

0

1 1 1 1

, 1; ; ; ;...

2 3 4

Come si intuisce dall'insieme A scritto per elencazione, gli elementi di A si vanno ad accumulare intorno al numero 0.

Per dimostrarlo, dobbiamo dimostrare che 0 A = x n

n

I

     

   

   

     0

, 0 0 , cioè che >0, : 1 0 .

1 1 1 1

Infatti si ha: 0 . Quindi esistendo sicuramente un numero naturale maggiore di , qualunque sia positivo, possiamo concludere che 0 è un punto di

I A m

m

m m m

 



        

     

accumulazione per A.

b)

     

 

0

1 1

La funzione che definisce l'insieme A è , con : 0;1 . Ampliando il dominio a , si ha , con : 0 . Nel piano cartesiano esse rappresenta un'iperbole equilatera riferita agli asintoti di c

f x f f x

x x

f

  

  entro l'origine:

(4)

   

 

   

 

0  

I limiti notevoli sono:

1 1

lim 0 0, : , 0

1 1 1 1 1

0 1 ;

1 1

lim 0 0, : , 0

1 1 1 1

0 1 ;

lim1 0, 0 :

x

I x I

x x

x x I

x x x

I x I

x x

x x I

x x

M I

x

 

   

 

  

 









          

 

                   

          

 

           

 

       

 

   

 

0

0 ,1

1 1 1

1 0 ; 0

1 1

lim 0, 0 : 0 ,

1 1 1

1 0 0;

x

x I M

x

M Mx x I

x M M

M I x I M

x x

M Mx x I

x M M



 





   

 

           

        

 

         c)

2 2 2

1 iperbole equilatera riferita agli asintoti di centro l'origine

fascio di circonferenze di centro l'origine e raggio 0

y x

y k x x y k k

y

  

      

 



(5)

 

La semicirconferenza critica è quella tangente all'iperbole nel suo vertice, cioè nel punto 1;1 . Per questa semicirconferenza il raggio è 2, quindi 2.

Possiamo allora concludere che 2 nessuna soluzi

k



  one

2 2 soluzioni coincidenti 2 2 soluzioni distinte k

k

 

  d)

 ²  2

1 1 f x 1

  x



2 1

yx  ₂¹ y 1

 x



     

   

 

2

2 2

1 1

2 2 2

2

1 1

lim 1 lim 0, 1 : 1 ,

1 1

1 1 1 1

1 1 0 1

1

1 1

essendo 1 1 1;

x x

f x M I x I M

x x

M M M

M x I x Mx M x x x

x M M M

M M

M I M

 

 



             

 

  

                  



           

   

   

(6)

e) y ¹

 x y arctan¹

 x

   

0

1 1

lim arctan 0, 0 : 0 , arctan

2 2

1 1 1 1 1

arctan arctan arctan tan

2 2 2 2

tan 2

essendo 0< 1 0

2 2

tan 2

x

I x I

x x

x x x x x

   

       

 

  

 

 



          

   

   

                  

         

          

 

 

 

    

   

  

 

 ⁰ ^0; ¹

tan 2

I  



 

 

  

    

    Quesito 1

0 0

1 1

Per dimostrare che , ln , è illimitato inferiormente, bisogna dimostrare che 0, : ln .

1 1 1 1

ln ^M _M . Sicuramente esisterà un numero naturale m tale che _M .

x | x R x = n N M m N M

n m

M e m m

m m e e



 

         

 

 

      

Quesito 2

   

 

   

0 0

1 1

asse y asintoto orizzontale lim , lim

1 1

0, 0 : 0 , 1

1

1 1 1

1 ln 1 0 ln 1 ; 0

0, 0 : 0 , 1

1

1 1

x

x x

x

x x

x

x x

y =e

e e

M I x I M

e

Me M e M x I

M M M

M I x I M

e M

 

 

 



 



    

 

       



      

              

      



 

        ^^ ^ ^^ ^ ^ ¹ ^^

(7)

Quesito 3

   

 

1 1

asintoti orizzontali lim 1, lim 1

1 1

lim 1 0, : , 1

1 1

1 1 2 2

1 1 1 2

2 2 2

ln 1 ln 1 ;

x x

x

x x

x

x x x

x

y =e e +

e e

e + e +

e e

I x I

e + e +

e e

e + e + e + e +

e x I

 

    



  

 





 

   

 

           

   

       

    

           

   

   

1 1

lim 1 0, : , 1

1 1

1 1 2 2

2

1 1 1

2 ln ; ln

2 2

x x

x

x x x x

x x

x x x

x

e e

I x I

e + e +

e e e e

e e +

e + e + e +

e x I

 

    

 



 

 

 

              

          

 

   

            

Quesito 4

2 3

yx  y2^x^{2 3}^

   

2 2

2

3 3

3 2 2

2 2 2 2 2

lim 2 0, : , 2

2 3 log log 3 log 3 log 3 ; log 3

x x

x

M I x I M

M x M x M x M x M I M

 





          

                   

(8)

Quesito 5

0 2

2

2 2

0

2 2

0

lim1

Osserviamo che 1 1, x, quindi 1 1, quindi 1

se 0 0 per il teorema del confronto lim 0

1 1

se 0 0 per il teorema del confronto lim 0

1 1

Quindi possiamo co

x

x x









   



     

 

     

 

0 2

ncludere che lim 1

x

 x Quesito 6

(9)

Quesito 7

   

       

         

 

1 3 3

1 2

;3 3;

1 0; 0 1; 2 0; 4 0

2

0 se ;1 2;3 3; 4 4;

lim 0; lim ; lim 1; lim ; lim

3; 1 ; 4; 0 2

x x x x x

D

f f f f

f x x

f x f x f x f x f x

m m

  

    

   

   

      

       

  

 

 

Quesito 8

         

   

lim 0, : , .

D'altra parte ogni intorno completo di c si può pensare come l'unione di un intorno sinistro e di un intorno destro, quindi

lim lim

x c

x c x c

f x I c x I c c f x

f x f x

 



 

 

         

 

Quesito 9

   

2 2

2

2 2

2

100 100

lim ln 0, : , ln

300 300

100 100

ln 300 100 300 100 300 100

300 300

; 300 100

100 100

La funzione è positiva se ln 0 1 400 20

300 300

x

M M M M

M

x x

M I x I M

x x

M e x e x e x e

I e

x x

x x x



 

          

               

    

 

        

 

20 L'intorno di in cui la funzione è positiva è quindi ; 20

 

   

Quesito 10

2

2 2

4 0 semi iperbole superiore equilatera di centro l'origine e semiassi 2 con fuochi sull'asse x 4

y x y

x y



     