i orpi (spe hi) ome gia detto sono liberi, quindi in moto geodeti o { tra gli spe hi viaggia un impulso luminoso di ui si misura il tempo di andatae ritorno

Rivelatori inerziali di onde gravitazionali

Introduzione

Con\rivelatoreinerziale"intendounrivelatoretipoLIGO(VIRGO),in ui

si hanno orpi idealmente liberi le ui variazioni di distanza sotto l'azione di

un'o.g. vengonorivelate pervia interferometri a.

Trattero il problema s hematizzandolo ome segue:

{ i orpi (spe hi) ome gia detto sono liberi, quindi in moto geodeti o

{ tra gli spe hi viaggia un impulso luminoso di ui si misura il tempo di

andatae ritorno.

Voglio vedere ome il passaggio di un'o.g. in uis e su questo tempo.

Metri a e geodeti he

Assumo hetuttoavvengainunospazio-tempodibasepiatto, hevienesolo

perturbato dall'onda gravitazionale in idente. Cio non e esattamente vero per

esperimenti fatti sulla Terra, ma la osa si puo giusti are ugualmente [1℄. Per

quanto riguardaglispe hi, an hese questinonsonoin adutaliberanel ampo

della Terra, e quindi non seguono vere geodeti he della geometria, io rimane

vero per le omponenti orizzontali. Per la lu e he va e viene tra gli spe hi,

il solo eetto sarebbe la de essione gravitazionale, he risulta tras urabile.

Conriferimento a [2℄ pongodunque

g

=

 +h

(jh

j1):

Se l'asse z = x 3

e preso nella direzione di propagazione dell'onda, la ondizio-

ne TT (trasverso a tra ia nulla) impone he solo le omponenti h

xx , h

xy , h

yy

(x = x 1

, y = x 2

) siano non nulle. Posso limitarmi, senza restrizione impor-

tante, a onsiderare onde +, ossia h

xy

= 0, h

yy

= h

xx

. Per un'onda piana

mono romati a potremo porre (1)

h

xx

= h

yy

=a osk(z t) (a ostante; =1):

Uso degli integrali primi

Conriferimento alla (6-13) di [2℄, abbiamo

W = 1

2 h

g

tt u

t

2

+g

xx u

x

2

+g

yy u

y

2 i

= 1

2 h

u t

2

(1 a oskt) u x

2

(1+a oskt) u y

2

i (1)

(ho tralas iatoz, ssataal valore 0).

(1)

Questain realtae orretta soloal primo ordine ina, ordinedi approssima-

zione al quale mi atterro nel seguito.

A =(1 a oskt)u x

B =(1+a oskt)u y

:

(2)

Posso usare le(2) per eliminareu x

, u y

dalla(1):

W = 1

2



u t

2

A 2

(1 a oskt)

B 2

(1+a oskt)



: (3)

Geodeti he di tipo tempo

Per una geodeti adi tipo tempo 2W =1:

u t

2

A 2

(1 a oskt)

B 2

(1+a oskt)

=1: (4)

In parti olarepossiamo s egliereA=B =0ele (2) idanno u x

=u y

=0,ossia

unageodeti alungola qualex, y restano ostanti. Abbiamo an hez =0, edal-

la (4)u t

=1, ossia t e  oin idono(l'origine di  si puo s egliere liberamente).

Sembra unrisultato banale,ma nonlo e. Seinfatti prendiamo duepuntile

ui oordinatedieris ono solo per la x, abbiamos x

1 x

2

= ost:(indip. da

lungo le geodeti he) ma la distanza propria non rimane ostante, dato he vale

p

g

xx jx

1 x

2

j=(1 a oskt) 1=2

jx

1 x

2 j' 1

1

2

a oskt

jx

1 x

2 j (5)

al primo ordinein a. Se prendiamodue punti lungo y abbiamoinve e

p

g

yy jy

1 y

2

j=(1+a oskt) 1=2

jy

1 y

2

j' 1+ 1

2

a oskt

jy

1 y

2 j:

Geodeti he di tipo lu e

In questo aso W =0:

u t

2

A 2

(1 a oskt)

B 2

(1+a oskt)

=0:

Se per es. poniamo B = 0, soltanto u x

, u t

sono non nulle. Posso porre A = 1

senza perdere generalita, e trovo

u t

=(1 a oskt) 1=2

(il segno opposto per u ambierebbe il verso di , senza ambiare la si a).

Questa insiemealla prima delle (2) di e

dx

dt

=(1 a oskt) 1=2

'1+ 1

2

a oskt (6)

he integrata on la ondizione iniziale x(t

0

)=0 fornis e

x=t t

0 +

a

2k

(sinkt sinkt

0 ):

Questa geodeti a orrisponde a un lampo luminoso he parte al tempo t

0

dauno spe hio postoin x=0e sipropaga nelverso dellex res enti. Illampo

arriva sullo spe hio posto in x=L al tempo t

1

dato da

L=t

1 t

0 +

a

2k

(sinkt

1

sinkt

0

): (7)

La (7) puo essere risolta per t

1

se si suppone pi ola la dierenza t

1 t

0

; piu

esattamente, se k(t

1 t

0

)1. In quest'ipotesi abbiamo

L'(t

1 t

0 ) 1+

1

2

a oskt

0

t

1 t

0

'L 1 1

2

a oskt

0

: (8)

Per avere lapropagazionein senso ontrario bastaprendere A = 1: allora

u x

ambiasegno, e al posto della(6) si ottiene

dx

dt

' 1

1

2

a oskt:

Integrando on la ondizione x(t

1

)=L si ha

x=L (t t

1 )

a

2k

(sinkt sinkt

1 ):

Dettot

2

l'istante di ritorno sul primo spe hio, abbiamo

L'(t

2 t

1 ) 1+

1

2

a oskt

1

t

2 t

1

'L 1 1

2

a oskt

1

: (9)

on l'ipotesi k(t

2 t

1 )1.

Le(8) e(9) mostrano(era ovvio) hei tempidi andataeritorno sonopres-

so heuguali(sonopropriougualisesitras ura ladierenzafra t

0 e t

1

ase ondo

membro) e valgono ir a L. Le ipotesi fatte per arrivare alle (8), (9) sono sod-

disfatte se il tempo di andata e ritorno della lu e tra gli spe hi e T=2,

T essendo il periododell'onda gravitazionale.

1 0

t

2 t

0

'2L 1 1

2

a oskt

0

: (10)

La (10)mostra omela misuradel tempo diandata eritorno permetta di ono-

s erea. Osserviamoan he heilsegno menoderivadalla s elta hee statafatta

della fase di h: se a>0, intorno a t = 0 l'onda ausa un avvi inamento degli

spe hi, omesi vededalla (5).

[1℄ Misner, K.S. Thorne, J.A.Wheeler: Gravitation,Cap. 37.

[2℄ http://www.sagredo.eu/l ezio ni/ irg /ir g19. pdf

[3℄ Misner, K.S. Thorne, J.A.Wheeler: Gravitation,Cap. 35.