Numericomplessiiltrarti
I NUMERI REALI li possiamo RAPPRESENTARE
geometricamente come i Punti di RNA RETTA Essendo COPPIE DI NUMERI REALI possiamo
RAPPRESENTARE i NUMERI complessi come punti
NEL PIANO CARTE SIANO
il NUMERO a t bi 2
Con a b e IR corrisponderà 7
Al Punto e b 1
MOLTE OPERA zio TRA
I NUMERI COMPLESSI
HANNO UNA CHIARA
RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA
2 sti S si
SOMMA E TRASLAZIONI
LA SOMMA HA UNA 2 tv
INTERPRETAZIONE GEOMETRICA
SEMPLICE il
i
SE Z e ALLORA
IL QUADRILATERO di vertici Z
0 Z 2 tv ht
UN PARALLELO GRANMA
L
POSSIAMO UTILIZZARE la somma Z 6 t 3 i
I NUMERI COMPLESSI ANCHE 2 t 5 i
PER DE SCRIVE RI LE TRASLAZIONI DEL PIANO
FISSIAMO UN NUMERO COMPLESSO Tow
NE nz.tw
CONSIDERI AMA LA SEGUENTE 2 tv
TRASFORMAZIONE DEL PIANO 7 2
Tw E z
z Ztl
zza
CIOÈ LA TRASFORMAZIONE CHE PRE UD E
UN NUMERO COMPLESSO Z E LO MANDA
IN Z tv QUESTA È UNA TRASLAZIONE E
OGNI TRASLAZIONE può ESSERE DESCRITTA
IN QUESTO MODO
CON1UGIOz
CowsIdERiArOADEss.i li
L'OPERAZIONE DI i i
CONIUGI 0 iI gal
z Z
a b e b e
ANCHE questa HA UNA
CHIARA INTERPRETAZIONE GEOMETRICA E CORRISPONDE
ALLA SIMMETRIA RISPETTO ALL'ASSE DELLE R
COORDINATE POLARI MODULO E ARGOMENTO
Sia 2 at bi E Cl con a b e IR
questo CORRISPONDE AL PUNTO DEL PIANO a b
E SIANO R E LE COORDINATE POLARI
DEL PUNTO a b quindi
R di torna da e b dico o z
TI R
O èSEGMENTOl'angolo o oche e bil TO 7
FORMA CON IL SEN ASSE
DELLE 27 0 MISURATO IN SENSO
ANTIORARIO COME IN FIGURA
QUANDO SI PARLA DI UN NUMERO COMPLESSO Z
R SI CHIAMA IL MODULO di Z
E SI INDICA con Z
29 SI CHIAMA L'ARGOMENTO di Z
E SI INDICA CON Cry Z È un ANGOLO
RICORDO CHE SE Z CORRI s po DE AL
PUNTO e b ABBI A RO LE SEGUENTI
RELAZIONI TRA COORDINATE CARTESIANE
E COORDINATE POLARI
a R cosa b Rain E
QUINDI
2 R cos O Rain O i
R co O ti sia 0
come E DRE no questo modo di SCRIVERE I
numeri COMPLESSI È molto utile in varie
situazioni
È vero anche il viceversa ovvero SE
2 R un 0 e sin 0
con R il c Mi E R 70 ALLORA R 2 E D orgz
infatti
121 Raccare t R giuro
riti Tra r
e se pongo a org Z abbiano R core R cos a
µ 4 con il a
R sino Raina rin D sin 2
DA cui 2 COME ANGOLO
interpretazione GEOMETRICA del prodotto
PROPOSIZIONESIANO
Z E ALLORA
z.ro zl w
org Z v org z t org ci
2
Sia R I 2 I R lo
O org z la org
Min
QUINDI
2 R cos 0 ti sin 0 ri w
2M Ri z
R urlati sin da ft Y
Facciano il PRODOTTO
z.ro R cos 0 ti sia 0 R cos 0 l'aula
R Ra cos 0 cos da l con 0 sin
ti
sia 0 con t il sin 0 sei e
R R cosa co 0 sina.si ti corre un
un 0 cos
R R cos re tre ti sia l re 02
da cui Z R R I z Iv
org z v 0 0 org Z t org
q u E STO MODO DI d E scrive R E IL PRODOTTO
È UTILE IN MOLTI CASI E di A MO q a CHE
E SE nn io
Esercizio Sia Z NÉ t l
CALCOLA R E Z 5
Calcoli saro 71 E cerca z
ABBIAMO Z
INOLTRE SE 29 org Z Abbiano
1 con il E
2
i uno E
ovvero 29 I
6
QUINDI PER la proposizione È 2 5 15 1
5 IT
E org 2 5 5 org z 6
quindi 25 1 cos 5Tg ti sia FI
VI il
2 2
Esercizio Riso ER E L'equazione 2 3 I
Sia R I ZI E 0 org Z E
INOLTRE posso ASSUMERE E 0 2T
PER LA PRO DO SI 21 O E APPENA Dimostrata
ZI m3
org Z 30
L'equazione Z E Equivalente
2 l I M
org z or i 30 0 come angolo
POICHE R c IR DALLA PRIMA E A ZONE
RI CA VI AMO R L
DALLA SECONDA EQUAZIONE RI CH NI ta no INVECE
30 2h it con le c 2
2 hit
Ovvero 29
3
INOLTRE DA 29 e 0 2T Ricavo
0 E 2ITL C 2M 3
OVVERO Of Le C 3 quindi ABBIA 3 POSSIBILITÀ
o 29 O Z coso e sino 1
I D 3I z2 Ces 7 ti sia c B2
4 2 D SI z as It ti sia I c'E2
ESPONENZIALE complesso
D E Finiamo Adesso cosa vuol dire CZ quando
2 È un Numero complesso A noi interesserà
soprattutto il caso in cui Z yi con y c IR
LA definizione che daremo sembrerà ARBITRARIA e
in effetti noi lo utilizzeremo solo come Formalismo
conveniente PER USARE LE COORDINATE POLARI ci sono dei motivi più sostanziali PER DEFINIRE L'ESPONENZIALE
complesso in questo Modo CHE vedrete più avanti
NEL corso analisi
Definizione sia 2 c'y con y e 112
Allora definisco
CZ co y ii sin
a
questo È l'usuale Esponenziale a un numero
REALE in particola cane se otteniamo C'E
il se con o Fattore è uguale a 1 E ce casi
il nuovo esponenziale complesso e uguale
All sua e esponenziale di un numero REALE
Esempiottiti I
C e co it ti sin it e
PROPOSIZIONE
1 e 1 e e
2 Se z i y con y e IR
e i cos X l Sc n
3 SE Z E E ALLORA
Z V Z
e e e
II i E 2 sono ovvie
3 È un conto del tutto simile a
quello della DIMOSTRAZIONE DELLA proposizione
in cui si è descritto il PRODOTTO E lo
lasciano per esercizio
L'osservazione che utili 22 E RE no spesso È cue
DIRE CHE 121 R E org Z O è equivalente
A DIRE
2 R girl
con R e IR E RJ 0 PER noi c'E spowen a LE
connesso sarà soprattutto questo un modo
conveniente di scrivere LE coordinate POLARI
ESEMPIO
RISOLVERE L'Equazione Z è L6
Sia Re 171 e 0 org z con il c o 25
quindi Z R e ll
105 SERVIAMO CLIE È R R Z
iE cerca è org z ta
i d a
1 i R
QUINDI È R e Z
que è un fa generale e e pyongyang
L e qu AZIONE INIZI A E di E WTA quindi
Rein Re io 16
R e 3in io
OVVERO 16
ovvero R elite 16
quali R 16 e 20 0 comeANGOLO
DA R 16 otteniamo R 2 PER crei
R c IR e RIO
Da O COME A N GO lo TTF ai A no
O o it
QUINDI ABBIAMO DUE soluzioni
ao 2 2
alt Z 2
RADICI n Esine DELL'UNITÀ
O GLI AMO STUDIARE l'Equazione 2 1
PONIAMO I 2 I R org Z 0 con 29 E 0 È
quindi z Reid E Z R e ll
L E qu a zoo NE Z È quindi Equivalente
A pietà
nel org za o come angolo
Poiche R c IR E R 70 DALLA PRIMA
E GUALCO NE RICAVIAMO R DALLA
SECONDA
nel 2 kit con LE 2
ovvero 2T te
n
DALLA COW DI ZIONE Of C 2 it RI CAVIAMO
INOLTRE Of he n quindi Esistono
SOLUZIONI DELL EQUAZIONE 2 1
i o
4 0 0 0 Z e
I D 2 In Z e Zayn
sei In
2 D SEI n 2 e
2 n c i
n i 0 Sit n 1 In zu e
GEOMETRICAMENTE questi SONO i E RTI cc
DEL POLIGONO RE GOLA RE CON h A TI
ISCRITTO NELLA CIRCONFERENZA UNITARIA
COME I N FIGURA Zz
zo8
z
µ
zos 122g 2s ne 5
SIMILMENTE SI PUÒ RISOLVERE L'EQUAZIONE
Z lo Do E È UN NUMERO COMPLESSO
QUALSIASI
i 2
Sia w A e con A IVI d org v
Sia R FA E sia 29 in E sia
2 o Reid
l 2
Allora Zo R e 0 A e
Zo È UNA SOLUZIONE DELL EQUAZIONE
2 ht
CERCHIAMO ORA LE ALTRE soluzioni
PONIAMO Z zo le a ORA
z zo u con
quindi z SE E solo se le n
QUINDI LE SOLUZIONI DI Z sono
TUTTE LE 2 DELLA FORMA
2 Fa e ft II
CON 4 0 2 n I