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zza Numericomplessiiltrarti

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Academic year: 2021

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(1)

Numericomplessiiltrarti

I NUMERI REALI li possiamo RAPPRESENTARE

geometricamente come i Punti di RNA RETTA Essendo COPPIE DI NUMERI REALI possiamo

RAPPRESENTARE i NUMERI complessi come punti

NEL PIANO CARTE SIANO

il NUMERO a t bi 2

Con a b e IR corrisponderà 7

Al Punto e b 1

MOLTE OPERA zio TRA

I NUMERI COMPLESSI

HANNO UNA CHIARA

RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA

2 sti S si

SOMMA E TRASLAZIONI

LA SOMMA HA UNA 2 tv

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

SEMPLICE il

i

SE Z e ALLORA

IL QUADRILATERO di vertici Z

0 Z 2 tv ht

UN PARALLELO GRANMA

L

POSSIAMO UTILIZZARE la somma Z 6 t 3 i

I NUMERI COMPLESSI ANCHE 2 t 5 i

PER DE SCRIVE RI LE TRASLAZIONI DEL PIANO

FISSIAMO UN NUMERO COMPLESSO Tow

NE nz.tw

CONSIDERI AMA LA SEGUENTE 2 tv

TRASFORMAZIONE DEL PIANO 7 2

Tw E z

z Ztl

zza

(2)

CIOÈ LA TRASFORMAZIONE CHE PRE UD E

UN NUMERO COMPLESSO Z E LO MANDA

IN Z tv QUESTA È UNA TRASLAZIONE E

OGNI TRASLAZIONE può ESSERE DESCRITTA

IN QUESTO MODO

CON1UGIOz

CowsIdERiArOADEss.i li

L'OPERAZIONE DI i i

CONIUGI 0 iI gal

z Z

a b e b e

ANCHE questa HA UNA

CHIARA INTERPRETAZIONE GEOMETRICA E CORRISPONDE

ALLA SIMMETRIA RISPETTO ALL'ASSE DELLE R

COORDINATE POLARI MODULO E ARGOMENTO

Sia 2 at bi E Cl con a b e IR

questo CORRISPONDE AL PUNTO DEL PIANO a b

E SIANO R E LE COORDINATE POLARI

DEL PUNTO a b quindi

R di torna da e b dico o z

TI R

O èSEGMENTOl'angolo o oche e bil TO 7

FORMA CON IL SEN ASSE

DELLE 27 0 MISURATO IN SENSO

ANTIORARIO COME IN FIGURA

QUANDO SI PARLA DI UN NUMERO COMPLESSO Z

R SI CHIAMA IL MODULO di Z

E SI INDICA con Z

29 SI CHIAMA L'ARGOMENTO di Z

E SI INDICA CON Cry Z È un ANGOLO

(3)

RICORDO CHE SE Z CORRI s po DE AL

PUNTO e b ABBI A RO LE SEGUENTI

RELAZIONI TRA COORDINATE CARTESIANE

E COORDINATE POLARI

a R cosa b Rain E

QUINDI

2 R cos O Rain O i

R co O ti sia 0

come E DRE no questo modo di SCRIVERE I

numeri COMPLESSI È molto utile in varie

situazioni

È vero anche il viceversa ovvero SE

2 R un 0 e sin 0

con R il c Mi E R 70 ALLORA R 2 E D orgz

infatti

121 Raccare t R giuro

riti Tra r

e se pongo a org Z abbiano R core R cos a

µ 4 con il a

R sino Raina rin D sin 2

DA cui 2 COME ANGOLO

interpretazione GEOMETRICA del prodotto

PROPOSIZIONESIANO

Z E ALLORA

z.ro zl w

org Z v org z t org ci

(4)

2

Sia R I 2 I R lo

O org z la org

Min

QUINDI

2 R cos 0 ti sin 0 ri w

2M Ri z

R urlati sin da ft Y

Facciano il PRODOTTO

z.ro R cos 0 ti sia 0 R cos 0 l'aula

R Ra cos 0 cos da l con 0 sin

ti

sia 0 con t il sin 0 sei e

R R cosa co 0 sina.si ti corre un

un 0 cos

R R cos re tre ti sia l re 02

da cui Z R R I z Iv

org z v 0 0 org Z t org

q u E STO MODO DI d E scrive R E IL PRODOTTO

È UTILE IN MOLTI CASI E di A MO q a CHE

E SE nn io

Esercizio Sia Z t l

CALCOLA R E Z 5

(5)

Calcoli saro 71 E cerca z

ABBIAMO Z

INOLTRE SE 29 org Z Abbiano

1 con il E

2

i uno E

ovvero 29 I

6

QUINDI PER la proposizione È 2 5 15 1

5 IT

E org 2 5 5 org z 6

quindi 25 1 cos 5Tg ti sia FI

VI il

2 2

Esercizio Riso ER E L'equazione 2 3 I

Sia R I ZI E 0 org Z E

INOLTRE posso ASSUMERE E 0 2T

PER LA PRO DO SI 21 O E APPENA Dimostrata

ZI m3

org Z 30

L'equazione Z E Equivalente

2 l I M

org z or i 30 0 come angolo

POICHE R c IR DALLA PRIMA E A ZONE

RI CA VI AMO R L

(6)

DALLA SECONDA EQUAZIONE RI CH NI ta no INVECE

30 2h it con le c 2

2 hit

Ovvero 29

3

INOLTRE DA 29 e 0 2T Ricavo

0 E 2ITL C 2M 3

OVVERO Of Le C 3 quindi ABBIA 3 POSSIBILITÀ

o 29 O Z coso e sino 1

I D 3I z2 Ces 7 ti sia c B2

4 2 D SI z as It ti sia I c'E2

ESPONENZIALE complesso

D E Finiamo Adesso cosa vuol dire CZ quando

2 È un Numero complesso A noi interesserà

soprattutto il caso in cui Z yi con y c IR

LA definizione che daremo sembrerà ARBITRARIA e

in effetti noi lo utilizzeremo solo come Formalismo

conveniente PER USARE LE COORDINATE POLARI ci sono dei motivi più sostanziali PER DEFINIRE L'ESPONENZIALE

complesso in questo Modo CHE vedrete più avanti

NEL corso analisi

Definizione sia 2 c'y con y e 112

Allora definisco

CZ co y ii sin

a

questo È l'usuale Esponenziale a un numero

REALE in particola cane se otteniamo C'E

il se con o Fattore è uguale a 1 E ce casi

il nuovo esponenziale complesso e uguale

All sua e esponenziale di un numero REALE

Esempiottiti I

C e co it ti sin it e

(7)

PROPOSIZIONE

1 e 1 e e

2 Se z i y con y e IR

e i cos X l Sc n

3 SE Z E E ALLORA

Z V Z

e e e

II i E 2 sono ovvie

3 È un conto del tutto simile a

quello della DIMOSTRAZIONE DELLA proposizione

in cui si è descritto il PRODOTTO E lo

lasciano per esercizio

L'osservazione che utili 22 E RE no spesso È cue

DIRE CHE 121 R E org Z O è equivalente

A DIRE

2 R girl

con R e IR E RJ 0 PER noi c'E spowen a LE

connesso sarà soprattutto questo un modo

conveniente di scrivere LE coordinate POLARI

ESEMPIO

RISOLVERE L'Equazione Z è L6

Sia Re 171 e 0 org z con il c o 25

quindi Z R e ll

105 SERVIAMO CLIE È R R Z

iE cerca è org z ta

i d a

1 i R

QUINDI È R e Z

que è un fa generale e e pyongyang

(8)

L e qu AZIONE INIZI A E di E WTA quindi

Rein Re io 16

R e 3in io

OVVERO 16

ovvero R elite 16

quali R 16 e 20 0 comeANGOLO

DA R 16 otteniamo R 2 PER crei

R c IR e RIO

Da O COME A N GO lo TTF ai A no

O o it

QUINDI ABBIAMO DUE soluzioni

ao 2 2

alt Z 2

RADICI n Esine DELL'UNITÀ

O GLI AMO STUDIARE l'Equazione 2 1

PONIAMO I 2 I R org Z 0 con 29 E 0 È

quindi z Reid E Z R e ll

L E qu a zoo NE Z È quindi Equivalente

A pietà

nel org za o come angolo

(9)

Poiche R c IR E R 70 DALLA PRIMA

E GUALCO NE RICAVIAMO R DALLA

SECONDA

nel 2 kit con LE 2

ovvero 2T te

n

DALLA COW DI ZIONE Of C 2 it RI CAVIAMO

INOLTRE Of he n quindi Esistono

SOLUZIONI DELL EQUAZIONE 2 1

i o

4 0 0 0 Z e

I D 2 In Z e Zayn

sei In

2 D SEI n 2 e

2 n c i

n i 0 Sit n 1 In zu e

GEOMETRICAMENTE questi SONO i E RTI cc

DEL POLIGONO RE GOLA RE CON h A TI

ISCRITTO NELLA CIRCONFERENZA UNITARIA

COME I N FIGURA Zz

zo8

z

µ

zos 12

2g 2s ne 5

(10)

SIMILMENTE SI PUÒ RISOLVERE L'EQUAZIONE

Z lo Do E È UN NUMERO COMPLESSO

QUALSIASI

i 2

Sia w A e con A IVI d org v

Sia R FA E sia 29 in E sia

2 o Reid

l 2

Allora Zo R e 0 A e

Zo È UNA SOLUZIONE DELL EQUAZIONE

2 ht

CERCHIAMO ORA LE ALTRE soluzioni

PONIAMO Z zo le a ORA

z zo u con

quindi z SE E solo se le n

QUINDI LE SOLUZIONI DI Z sono

TUTTE LE 2 DELLA FORMA

2 Fa e ft II

CON 4 0 2 n I

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