Matematica
Sistemi di equazioni di 1° grado
Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica
1. Definizioni
!
Un sistema di equazioni lineari è un insieme di due o più equazioni di 1° grado con altrettante incognite.In particolare ci occuperemo di sistemi lineari di due
equazioni nelle incognite x e y che hanno la seguente forma, chiamata forma normale:
⎩ ⎨
⎧
= +
= +
2 2
2
1 1
1
c y b x a
c y b x
a oppure
⎩ ⎨
⎧
+
=
+
=
2 2
1 1
q x m y
q x m y
Esempio:
⎩ ⎨
⎧
−
=
−
=
−
1 y
5 x 4
8 y 2 x
3 oppure ⎪⎩ ⎪ ⎨
⎧
+
−
=
+
−
=
6 x 3 y
2
x 7
2
y 1
! Per soluzione di un sistema di equazioni intendiamo la coppia di valori (x ; y) che soddisfino contemporaneamente le
equazioni del sistema.
Esempio N. 1:
Ammette come soluzione
⎩ ⎨
⎧
=
= 5 y
6 x
⎩ ⎨
⎧
−
=
−
=
−
1 y
5 x 4
8 y 2 x 3
Verifica:
Sostituiamo le soluzioni trovate al posto della x e della y nel sistema:
⎩ ⎨
⎧
−
=
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
1 5
5 6 4
8 5 2 6 3
⎩ ⎨
⎧
−
=
−
=
−
1 25
24
8 10 18
⎩ ⎨
⎧
−
=
−
=
1 1
8 8
Poiché le equazioni che formano il sistema sono contemporaneamente
soddisfatte, la coppia di valori (6 ; 5) rappresenta la soluzione del sistema.
Esempio N. 2:
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧
+
−
=
+
−
=
6 x 3 y
2 x 7 2 y 1
Ammette come soluzione
⎩ ⎨
⎧
=
= 3 y
1 x
Verifica:
Sostituiamo le soluzioni trovate al posto della x e della y nel sistema:
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧
+
⋅
−
=
+
⋅
−
=
6 1 3 3
2 1 7 2 3 1
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧
+
−
=
+
−
=
6 3 3
2 7 2 3 1
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧
=
+
= − 3 3
2 7 3 1
⎩ ⎨
⎧
=
= 3 3
3 3
Poiché le equazioni che formano il sistema sono contemporaneamente
soddisfatte, la coppia di valori (1 ; 3) rappresenta la soluzione del sistema.
2. Risoluzione algebrica di sistemi lineari
1° Metodo: metodo di sostituzione
1. Applicando le regole del calcolo algebrico si riduce il sistema a forma normale :
⎩ ⎨
⎧
+
−
= +
+
=
− +
y 5 ) 1 x ( 2 y 8 x 4
) 3 y ( ) 2 y ( y x
2
2⎩ ⎨
⎧
+
−
= +
+ +
=
− +
y 5 2 x 2 y 8 x 4
y 6 9 y
y 2 y
x
2
2 2⎩ ⎨
⎧
−
=
−
− +
=
−
−
− +
2 y
5 x 2 y 8 x 4
9 y 6 y
y 2 y
x
2
2 2⎩ ⎨
⎧
−
= +
=
−
2 y
3 x 2
9
y
8
x
2
2. Si sceglie a piacere una delle due equazioni (per esempio la prima) e la si risolve rispetto a una delle due incognite (per esempio la x) :
⎩ ⎨
⎧
−
= +
=
−
2 y
3 x 2
9 y 8 x 2
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧
−
= +
= + / /
2 y
3 x 2
2 y 8 9 2
x 2
3. Si sostituisce la x trovata al posto della x nella seconda equazione, ottenendo così un’equazione di 1° grado nell’in cognita y :
2 y
2 3 y 8
2 9 ⎟ + = −
⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅ ⎛ +
4. Si risolve l’equazione:
2 y
2 3 y 8
2 9 ⎟ + = −
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
/
⋅ +
/ 9 + 8 y + 3 y = − 2 11 y = − 11
1 1
1 y 1
1 1
1
1 /
−
/ = y − = 1
5. Si sostituisce il valore trovato al posto della y nell’equazione al punto 2, determinando così la seconda incognita:
2 1 2
8 9 2
) 1 ( 8 9 2
y 8
x 9 − =
− =
⋅
= +
= +
6. In definitiva la soluzione del sistema sarà data dalla coppia :
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧
−
=
= 1 y
2 x 1
Verifica:
Sostituiamo le soluzioni trovate al posto della x e della y nel sistema di partenza:
⎩ ⎨
⎧
+
−
= +
+
=
− +
y 5 ) 1 x ( 2 y 8 x 4
) 3 y ( ) 2 y ( y x
2
2⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
−
⋅ +
−
=
−
⋅ +
⋅
+
−
=
−
−
− +
⋅
) 1 ( 5 ) 2 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 8
4 1
) 3 1 ( ) 2 1 )(
1 2 (
2 1
2⎩ ⎨
⎧
−
=
−
=
6 6
4 4
Poiché le equazioni che formano il sistema sono contemporaneamente soddisfatte, la coppia di valori (1/2; -1) rappresenta la soluzione del sistema.
2° Metodo: metodo del confronto
1. Il metodo del confronto si applica quando il sistema si presenta nella seguente forma :
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
+
−
=
−
=
2 x 3 4 y 5
4 2 x
y 3
2. Uguagliando tra loro i secondi membri delle equazioni, si ottiene un’equazione di 1° grado, la cui risoluzione consente di ricavare la prima delle due incognite, ossia la x:
2 x 3 4 4 5
2 x
3 − = − +
4 6 x 5 4
16 x
6
/ +
= − /
− 6 x − 16 = − 5 x + 6
6 16 x
5 x
6 + = + 11
x 22 1 1
1
1 / = x = 2
3. Si inserisce il valore trovato della x in una delle due equazioni del sistema (per esempio la prima), ottenendo così un’equazione di 1° grado la cui risoluzione consente di ricavare il valore dell’altra incognita, ossia la y:
1 4
2 2
y 3 ⋅ / − = −
= /
4. In definitiva la soluzione del sistema sarà data dalla coppia :
⎩ ⎨
⎧
−
=
= 1 y
2 x
Verifica:
Sostituiamo le soluzioni trovate al posto della x e della y nel sistema di partenza:
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
+
−
=
−
=
2 x 3 4 y 5
4 2 x
y 3
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
+
⋅
−
=
−
−
⋅
=
−
2 2 3 4 1 5
4 2 2
1 3
⎩ ⎨
⎧
−
=
−
−
=
−
1 1
1 1
Poiché le equazioni che formano il sistema sono contemporaneamente
soddisfatte, la coppia di valori (2; -1) rappresenta la soluzione del sistema.
3° Metodo: metodo di riduzione (addizione e sottrazione)
1. Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari:
⎩ ⎨
⎧
= +
−
=
−
1 y 2 x 5
5 y 3 x 2
2. Si decide quale delle due incognite ( per esempio la x ) si vuole eliminare, e si opera in modo da rendere tra loro opposti i coefficienti (moltiplicando per 5 la prima equazione e per 2 la seconda equazione):
5 ⋅ 2 ⋅ ⎩ ⎨
⎧
= +
−
=
−
1 y 2 x 5
5 y 3 x 2
⎩ ⎨
⎧
= +
−
=
−
2 y 4 x 10
25 y
15 x
10
3. Si addizionano membro a membro le due equazioni, ottenendo così un’equazione di 1° grado la cui risoluzione consente di ricavare il valore dell’incognita y :
⎩ ⎨
⎧
= +
−
=
−
2 y 4 x 10
25 y
15 x
10
27 11 = y
− 11 y = − 27 1 1 1 1 / y = − 11 27
4. Si inserisce il valore trovato della y in una delle due equazioni del sistema di partenza (per esempio la prima), ottenendo così un’equazione di 1° grado la cui risoluzione consente di ricavare il valore dell’altra incognita, ossia la x:
11 5 3 27
x
2 ⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⋅
− 5
11 x 81
2 + =
1 1 55 1
1
81 x
22
= / /
+ 55
81 x
22 + =
22 x 26
2 2
2
2 = − /
/
11 x − = 13
5. In definitiva la soluzione del sistema sarà data dalla coppia :
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
−
=
−
=
11 y 27
11 x 13
Oppure si ripete il punto 2 eliminando l’incognita y:
⎩⎨
⎧
= +
−
=
−
1 y 2 x 5
5 y 3 x 2 • 2
3 • ⎩⎨⎧
= +
−
=
−
3 y 6 x 15
10 y
6 x 4
13 11 =x
−
11
x − = 13
Verifica:
Sostituiamo le soluzioni trovate al posto della x e della y nel sistema di partenza:
⎩ ⎨
⎧
= +
−
=
−
1 y 2 x 5
5 y 3 x 2
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⋅
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⋅
−
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⋅
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⋅
11 1 2 27
11 5 13
11 5 3 27
11 2 13
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
=
−
= +
−
11 1 54 11
65
11 5 81 11
26
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
=
= 11 1 11 11 5 55
⎩ ⎨
⎧
=
= 1 1
5 5
Poiché le equazioni che formano il sistema
sono contemporaneamente soddisfatte, la coppia di valori (-13/11; -27/11) rappresenta la soluzione del sistema.
4° Metodo: metodo di Cramer Definizioni :
⎩⎨
⎧
= +
= +
2 2
2
1 1
1
c y b x a
c y b x a
Si dice matrice una tabella di numeri disposti ordinatamente in righe e colonne.
⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
2 1
a a M
⎟
⎟⎟
⎠
⎞
2 1
b b
⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
2 1
c c MX
⎟
⎟⎟
⎠
⎞
2 1
b b
⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
2 1
a a MY
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
2 1
c c
Tabella formata dai coefficienti delle incognite X e Y
Tabella formata dai termini noti e dai coefficienti dell’incognita Y
Tabella formata dai coefficienti dell’in cognita X e dai termini noti
Nel caso del nostro sistema, possibili matrici sono:
Per ciascuna matrice è possibile calcolare il determinante, così definito:
2 1
a a D =
2 1
b b
2 1 2
1
b b a
a ⋅ − ⋅
=
2 1
X
c c D =
2 1
b b
2 1 2
1
b b c
c ⋅ − ⋅
=
1
Y
a a D =
1
c c
2 1 2
1
c c a
a ⋅ − ⋅
=
Procedura risolutiva:
1. Si scrive il sistema in forma normale:
⎩ ⎨
⎧
= +
−
=
−
1 y 2 x 5
5 y 3 x 2
2. Si calcola il valore dei determinanti D, DX, DY:
5 2 D
−
=
2 3 +
−
11 )
5 ( ) 3 ( 2
2 ⋅ − − ⋅ − = −
=
1 5 D
X=
2 3 +
−
13 )
1 ( ) 3 ( 2
5 ⋅ − − ⋅ =
=
5 2 D
Y−
=
1 5
27 )
5 ( ) 5 ( 1
2 ⋅ − ⋅ − =
=
3. Si calcola il valore delle incognite X e Y attraverso le seguenti formule:
11 13 D
x = D
x= −
11 27 D
y = D
y= −
3. Risoluzione generale di un sistema lineare
Consideriamo un sistema scritto in forma normale:
⎩ ⎨
⎧
= +
= +
2 2
2
1 1
1
c y
b x
a
c y
b x
a
si dimostra che la soluzione generale del sistema è data da :
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
−
= −
−
= −
1 2 2
1
1 2 2
1
1 2 2
1
2 1 1
2
b a b
a
c a c
y a
b a b
a
c b c
x b
Esempio
⎩ ⎨
⎧
−
= +
=
−
2 y
3 x 2
9 y 8 x 2
⎪ ⎪
⎪⎪ ⎨
⎧
−
− =
− =
⋅
−
⋅
⋅
−
−
= ⋅
=
− =
⋅
−
⋅
−
⋅
−
−
= ⋅
22 1 22 )
8 ( 2 3 2
9 2 ) 2 ( 2
2 1 22 11 )
8 ( 2 3 2
) 2 ( ) 8 ( 9 3
y x
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧
−
=
= 1 y
2
x 1
4. Possibili soluzioni di un sistema lineare
! Soluzione determinata: quando il sistema ammette come soluzione una coppia di valori (x ; y), come nei casi finora esaminati.
! Soluzione impossibile: quando il sistema non ammette nessuna soluzione.
! Soluzione indeterminata: quando il sistema ammette infinite
soluzioni.
Esempio N.1:
⎩ ⎨
⎧
−
= +
−
−
=
−
5 2
1 2
y x
y x
Risolviamo il seguente sistema con il metodo di riduzione:
6 0
0 x + y = − Soluzione impossibile
Esempio N.2:
Risolviamo il seguente sistema con il metodo di riduzione:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
3 2 4
4 6
3
y x
y
x 1⋅
⋅
− 3 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
3 2 4
4 6
3
y x
y x
⎩⎨
⎧
−
=
−
−
= +
4 6
3
4 6
3
y x
y x
0 0
0x+ y =
Soluzione
indeterminata
5. Intersezione tra due rette!
Per determinare il punto d’intersezione P=(x
0; y
0) tra due rette bisogna risolvere il sistema formato dalle equazioni delle due rette:
X Y
X
0
Y0
⎩ ⎨
⎧
= +
= +
2 2
2
1 1
1
c y
b x
a
c y
b x
a
⎩ ⎨
⎧
+
=
+
=
2 2
1 1
q x
m y
q x
m y
Dove le equazioni delle
rette sono in forma implicita
Dove le equazioni delle
rette sono in forma esplicita
P
Esempio
Calcolare il punto d’intersezione tra le seguenti rette:
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
+
−
=
−
=
2 3 4
5 2 4 3
x y
x y
2 3 4
4 5 2
3 x − = − x +
4 6 5
4 16 6
/ +
= − /
− x
x 6x + x5 = 16+6
2
x =
23 ⋅2/ − 4 = −1= / y
⎩ ⎨
⎧
−
=
= 1 2 y x 2 4
3 − y = x
2 3 4
5 +
−
= x
y
Poiché le rette sono in forma esplicita, conviene
applicare il metodo del confronto:
Graficamente la situazione è la seguente:
X Y
-4
2 -1
0,5
3
- 3,5 1,5
4
Esempio
Calcolare il punto d’intersezione tra le seguenti rette:
0 5 3
2 x − y − = − 5 x + 2 y − 1 = 0
⎩ ⎨
⎧
= +
−
=
−
1 2
5
5 3
2
y x
y
x Le rette sono in forma implicita. Conviene applicare il metodo di Cramer (o quello di riduzione).
5 2
− D=
2 3 +
−
11 )
5 ( ) 3 ( 2
2⋅ − − ⋅ − = −
=
1 5 DX =
2 3 +
−
13 ) 1 ( ) 3 ( 2
5⋅ − − ⋅ =
=
5 2 DY =
1 5
27 )
5 ( ) 5 ( 1
2⋅ − ⋅ − =
=
