“I C A ” U D Anno accademico 2001/2002 Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario Università degli Studi di Palermo

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Università degli Studi di Palermo

Scuola Interuniversitaria Siciliana di

Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

Anno accademico 2001/2002

Laboratorio di Giochi Matematici Prof. G. E. Perez

U

NITÀ

D

IDATTICA

“I

^L

C

^{ERCHIO DI}

A

^POLLONIO

”

Specializzandi:

Dott. Irene Michela Sammaritano Dott. Caterina Riccobono

Dott. Cristina Mangano Dott. Maria Domingo Ing. Alberto Occhipinti

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INTRODUZIONE

Il nostro lavoro consiste nel proporre ad un 3° anno di Liceo Scientifico Sperimentale il cerchio di Apollonio. Tale scelta ci permette, con una notazione storica, di fare un collegamento interdisciplinare anche con la filosofia; inoltre, ben si presta per evidenziare che uno stesso problema può essere risolto con linguaggi matematici diversi, quali appunto quello della Geometria Analitica e quello della Trigonometria.

Così facendo, ci proponiamo di raggiungere “l’obiettivo principe” del nostro lavoro, cioè far capire ai discenti che le varie parti della Matematica non sono slegate fra loro. Inoltre, la nostra proposta di lavoro può servire come utile strumento di autoverifica per gli alunni.

Articoliamo il nostro lavoro in due fasi; una prima fase consiste nel proporre il cerchio di Apollonio come luogo geometrico. Ciò sarà fatto a conclusione del Modulo Luoghi Geometrici come esercitazione in classe. Tale esercitazione sarà successivamente supportata da una verifica in laboratorio di informatica, utilizzando il software Cabri. Una seconda fase consiste in una esercitazione in classe, all’interno del Modulo Funzioni goniometriche, nella quale il cerchio di Apollonio viene proposto come problema trigonometrico. Anche questa fase sarà supportata da una verifica in laboratorio d’informatica.

MODULO LUOGHI GEOMETRICI

Tale modulo è ripartito nelle seguenti Unità Didattiche:

1) Luoghi geometrici 2) Circonferenza 3) Parabola 4) Ellisse 5) Iperbole OBIETTIVI

- comprensione del concetto di luogo geometrico

- riconoscere la conica dall’equazione del luogo trovato - sviluppare le capacità logico-deduttive

CONSEGNA

Trovare l’equazione del luogo geometrico dei punti P del piano per i quali il rapporto delle distanze da due punti dati A e B è costante.

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Posto AB=2a, fissiamo sul piano come asse x la retta AB e come asse y la perpendicolare ad AB nel suo punto medio. Le coordinate di A e B sono rispettivamente (-a, o), (a, o). Perché un punto appartenga al luogo considerato occorre che soddisfi la condizione:

(1) k PB PA =

ove k è una costante non negativa.

Essendo:

(

^x ^a

)

² ^y²

PA = + + , ^PB⁼

(

^x^-^a

)

² ⁺ ^y²

la (1) diventa:

(

^x+^a

)

² + ^y² =^k⋅

(

^x^-^a

)

² + ^y² , ossia, dopo facili calcoli:

(2)

( ) (

¹^-^k² ^x² ⁺ ¹⁻^k²

)

^y² ⁺²^a

(

¹⁺ ^k²

)

^x⁺^a²

(

¹⁻^k²

)

⁼⁰^,

che è l’equazione del luogo geometrico.

Per k=1, l’equazione (2) diventa:

x=0, che è l’equazione dell’asse del segmento AB.

(4)

Per k≠1, l’equazione (2) può scriversi sotto forma:

0 a k x

- 1

k a1 2 y

x ₂ ²

2 2

2 + + + + =

che è l’equazione di un circolo di centro e raggio, rispettivamente:





−

≡ + ,0

k 1

k a1 -

C ₂

2

, ₂ k - 1 r= 2ak ,

detto circolo di Apollonio.

Una volta determinata l’equazione del luogo geometrico, e osservato che si tratta di un cerchio, l’insegnante fa un breve excursus storico sulla vita di Apollonio e sui suoi studi sulle coniche sottolineando il fatto che fu proprio Apollonio ad introdurre per primo i termini “parabola”, “ellisse” e “iperbole”.

Il docente propone, quindi, la seguente risoluzione per via sintetica:

Sia X un punto del luogo, si congiunga X con i due punti fissi A e B e si tracciano le bisettrici XM e XN dell’angolo A ˆXB e del suo adiacente; dette M ed N le intersezioni delle bisettrici con la retta AB, dalle relazioni

AX:XB=AM:MB=AN:BN=k

si deduce che i due punti M e N sono fissi, al variare di X, e dividono il segmento AB nello stesso rapporto.

Segue che i quattro punti A, B, M, N formano un gruppo armonico e quindi che l’angolo M ˆXN è retto; perciò il luogo cercato è un cerchio di diametro MN.

Seguendo questa risoluzione, i discenti potranno costruire il luogo geometrico in laboratorio di Informatica, con Cabri-géomètre. (vedi file allegato Apollonio_1.fig)

Per 0<k <1 si ha:

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Per k =1 si ha:

Per k >1 si ha:

Modulo Funzioni goniometriche

Tale modulo è ripartito nelle seguenti Unità Didattiche:

1) Funzioni goniometriche

2) Variazione delle funzioni goniometriche 3) Relazioni fondamentali della goniometria

OBIETTIVI

- uso consapevole delle funzioni e delle proprietà studiate

- presa di coscienza dei legami esistenti tra concetti incontrati in ambiti diversi - sviluppare l’interesse e la motivazione dei discenti attraverso applicazioni pratiche

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Dopo aver introdotto le funzioni goniometriche elementari, si può mostrare agli allievi come si può costruire il cerchio di Apollonio sfruttando il concetto trigonometrico della tangente di un angolo acuto dato come rapporto tra due cateti di

un triangolo rettangolo. È necessario far notare in primo luogo che triangoli rettangoli simili mantengono il rapporto tra i cateti sempre uguale tra loro. Risulta quindi facile disegnare una serie di triangoli rettangoli tutti simili tra loro (v. figura) ed altrettanto facile identificare la tangente dell’angolo α come:

B C

B A B C

B A CB

tg AB ′′

′′

= ′′

′

= ′

= α

Posto CB=m, CB'=m' e CB''=m'', risulterà pertanto

1) m

l m

tg l ′′

= ′′

′

= ′

= α

Risulta chiaro, quindi che i segmenti l ed m, l' e m', l'' e m'' rappresentano grandezze che stanno tutte nello stesso rapporto fra loro. Tutto il “gioco” consiste adesso nel collocare queste lunghezze nel seguente modo: si disegna una circonferenza di raggio m e centro C e dopo una circonferenza di raggio l e centro in B e se ne evidenziano i punti di intersezione P1 e P2. Successivamente si fa lo stesso con le distanze l' e m' (o l'' e m'') puntando sempre in C e B trovando un altro punto di intersezione P₃. Adesso si costruisce la circonferenza passante per P₁ P₂ e P₃ (basta disegnare la circonferenza con centro il punto di intersezione degli assi dei segmenti P1P2 e P2P3 -O- e raggio OP₁.

È semplice infine verificare che tutti i punti che si possono ottenere come si è fatto con i punti P₁ P₂ e P₃ appartengono alla circonferenza cercata. Si può costruire il grafico appena descritto con Cabri-géomètre (vedi file allegato Apollonio_2.fig)

A

B

A'

B'

A''

C B''

l

l'

l''

α

m m' m''