Università degli Studi di Perugia SSIS - Scuola di Specializzazione per l'Insegnamento Secondario Indirizzo Scientifico Tecnologico - Classe di abilitazione 20/A Appunti di Fisica Generale Anno Accademico 2006-2007

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Università degli Studi di Perugia

SSIS - Scuola di Specializzazione per l'Insegnamento Secondario Indirizzo Scientifico Tecnologico - Classe di abilitazione 20/A

Appunti di Fisica Generale

Anno Accademico 2006-2007

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1.2COMPONENTE DI UN VETTORE SECONDO UNA DIREZIONE ORIENTATA... 1

1.3SOMMA GEOMETRICA (O RISULTANTE) DI PIÙ VETTORI... 3

1.4DECOMPOSIZIONI NOTEVOLI DI UN VETTORE... 3

1.5PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE... 4

1.6PRODOTTO SCALARE FRA DUE VETTORI... 5

1.7PRODOTTO VETTORIALE... 6

1.8PRODOTTO MISTO... 7

1.9PROPRIETÀ E COMPONENTI CARTESIANE DEL PRODOTTO VETTORE... 8

1.10DOPPIO PRODOTTO VETTORE... 10

1.11FUNZIONI VETTORIALI... 10

PARTE 2: VETTORI APPLICATI ... 12

2.1INTRODUZIONE... 12

2.2MOMENTO POLARE DI UN VETTORE APPLICATO... 12

2.3MOMENTO ASSIALE DI UN VETTORE... 13

2.4MOMENTO POLARE ED ASSIALE DI UN SISTEMA DI VETTORI... 14

2.5LEGGE DI VARIAZIONE DEL MOMENTO POLARE AL VARIARE DEL POLO... 14

2.6SISTEMA SEMPLICE DI DUE VETTORI:COPPIA... 17

2.7OPERAZIONI ELEMENTARI SU VETTORI APPLICATI... 18

2.8RIDUZIONE DI UN SISTEMA DI VETTORI AD UN ALTRO EQUIVALENTE... 18

2.9CENTRO DI UN SISTEMA DI VETTORI PARALLELI... 19

PARTE 3: MISURE E GRANDEZZE FISICHE ... 22

3.1INTRODUZIONE... 22

3.2GRANDEZZE FISICHE FONDAMENTALI E DERIVATE... 23

3.3EQUAZIONI DIMENSIONALI... 23

3.4SISTEMI DI UNITÀ DI MISURA... 24

3.5SISTEMA DI UNITÀ INTERNAZIONALE (SI)... 24

3.6CONVERSIONE DI UNITÀ DI MISURA TRA DIVERSI SISTEMI DI U.D.M... 25

3.7MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI... 26

PARTE 4: ERRORI DI MISURA ... 27

4.1ERRORI DI MISURA... 27

Errori sistematici ... 27

Errori casuali (o accidentali) ... 28

Cause di errore ... 28

4.2CARATTERISTICHE DEGLI STRUMENTI DI MISURA... 28

Portata... 28

Sensibilità... 28

Precisione ... 29

Giustezza ... 29

Prontezza ... 29

Fedeltà ... 30

Stabilità ... 30

4.3IL NONIO... 30

4.4MEDIA E SCARTO QUADRATICO MEDIO... 32

4.5PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI... 32

Somma aritmetica delle grandezze... 33

Differenza aritmetica delle grandezze... 33

Prodotto delle grandezze ... 33

Potenza e radice (sottocasi del prodotto) ... 33

Quoziente delle grandezze ... 33

Coseno... 34

4.6CIFRE SIGNIFICATIVE ED ARROTONDAMENTI... 34

(3)

PARTE 1: VETTORI LIBERI

1.1 Introduzione

Ad un segmento orientato PQ sono associati un ORIENTAMENTO (insieme di una direzione ed un verso), un'ORIGINE (punto P), un ESTREMO (punto Q) ed una lunghezza o modulo (distanza fra P e Q). L'insieme degli infiniti segmenti equiorientati aventi uno stesso modulo ed un'origine arbitraria nello spazio ordinario (SEGMENTI EQUIPOLLENTI), individuano un ente astratto, che si chiama VETTORE LIBERO e che viene indicato con una lettera sovrastata da una freccia (V ). Il modulo di sarà indicato con V oppure con |V |. Ognuno dei segmenti orientati equipollenti che costituiscono il vettore viene chiamato RAPPRESENTANTE o vettore APPLICATO. Il rappresentante di V con origine in P ed estremo in Q sarà indicato con le notazioni PQ, oppure (P, V ).

1.2 Componente di un vettore secondo una direzione orientata

Su una qualunque retta r appartenente ad un fascio di rette parallele equiorientate si proiettino ortogonalmente l'origine e l'estremo del

generico rappresentante PQ del vettore V (Fig.1). La quantità scalareV , data dalla espressione _r

' '

r Q P

V =x −x (1.1)

dove xP' e xQ' sono le ascisse dei punti proiezione P' e Q', si chiama la COMPONENTE di V secondo la direzione orientata della retta r. Di V si consideri il rappresentante

P'P" e si indichi con θ l'angolo ≤ che la retta orientata v ad esso sovrapposta forma con r. π Si osserva che V è positiva, negativa o nulla a seconda che θ sia minore, maggiore od uguale _r a π/2 e che V_r =V cosθ Vale pertanto l'identità

r cos

V =V θ (1.2)

Rispetto alla terna cartesiana Oxyz di Fig. 2 risulta

; ;

x Q P y Q P z Q P

V =x −x V = y −y V =z − (1.3) z

Il modulo del vettore V coincide con la distanza fra P e Q, esso è quindi dato da

( ) (

²

) (

²

)

² ¹²

(

² ² ^{2 2}

)

¹

V =⎡⎣⎢ x −x + y −y + z −z ⎦⎤⎥ = V +V +V (1.4)

P Q

P′

θ

O P′′

r Q′

Fig. 1

v

(4)

Nel caso in cui P≡ O le componenti cartesiane divengono

y z

; V ; V

Vx =x = y = z (1.5) dove x, y, z rappresentano le coordinate dell'estremo del rappresentante OQ. Per indicare che V , _x V e _y V sono le componenti _z del vettore V si scrive: V =

(

V_x, V , Vy z

)

Siano α, β e γ i COSENI DIRETTORI della retta r sovrapposta al rappresentante OP e con esso

equiorientata, cioè i coseni degli angoli ≤ che r forma con gli assi della terna stessa. Dalla π (1.2) segue

y z

; V ; V

Vx =αV =βV =γV (1.6)

e quindi

; ; ^y

x V z

V V

V V V

α = β = γ = (1.7)

Un vettore di modulo unitario che abbia l'orientamento del vettore V (o della retta orientata r) si chiama VERSORE di V (o di r) e lo si indica con il simbolo V^ˆ. Per i versori di una terna cartesiana Oxyz si useranno, nell'ordine, i simboli ˆi, ˆj e ˆk. Dalla (1.5) segue che le componenti cartesiane di V^ˆcoincidono con i coseni direttori α, β e γ.

ESEMPIO 1. Un vettore il cui modulo V è uguale a 3 forma angoli di π/3, π/4 e 2π/3 rad, rispettivamente con gli assi x,y e z di una terna cartesiana. Se ne calcolino le componenti V , _x V e y V . _z

Soluzione:

I coseni direttori α , β e γ risultano essere:

1 2 2 1

cos ; =cos ; =cos

3 2 4 2 3 2

π π π

α = = β = γ = −

y

3 3 2 3

; ;

2 2 2

x z

V =αV = V =βV = V =γV = − x

y z

x_P x_Q

z_P z_Q

P O

Q

P′

Q′

Fig. 2

+ +…

(

zN −zN₋1

)

=zN − =z1 Rz

Nel caso di due soli vettori, P1P2 e P2P3,R ha come rappresentante la diagonale P1P3 del parallelogramma costruito sui due vettori.

1.4 Decomposizioni notevoli di un vettore

Date le tre rette r1, r2, r3 passanti per un

medesimo punto O e non complanari, del vettore V si consideri il rappresentante OQ e si conducano per Q tre piani rispettivamente paralleli ai piani rkrl (k, l=1,2,3 con k≠ l) (Fig.4). Resta così delimitato un parallelepipedo i cui spigoli individuano tre vettori V₁, V₂ e V₃ rispettivamente paralleli

alle rette r1, r2 ed r3 ed aventi per somma geometrica il vettore V . Se V è parallelo ad uno qualunque dei piani rkrl, il parallelepipedo si riduce ad un parallelogramma ed uno dei tre

P1

P₃

P2

P₄ P5

P_N

P_4’

v₂ v₅

v₃ v₄

v₁ +v₂ R

v₁

v₃ v₄

Fig. 3

r₁

r₃

r₂ O

Q

Fig. 4

(6)

vettori COMPONENTI risulta nullo. Nel caso in cui le tre rette coincidano con gli assi cartesiani si ha:

1 _xˆ; ; 2 _yˆ 3 _zˆ V =V i V =V j V =V k e quindi

ˆ ˆ ˆ

x y z

V =V i+V j V k+ (1.9)

Altra decomposizione notevole del vettore V è quella secondo la direzione orientata di versore ˆr e la GIACITURA comune ad un

fascio di piani fra loro paralleli ed ortogonali ad ˆr . Siano OQ un rappresentante di V ed r e π la retta ed il piano passanti per O , rispettivamente appartenenti alla direzione ed alla giacitura considerate (Fig.5). Siano Q' e Q" le proiezioni ortogonali di Q su r e su π, rispettivamente. I lati del

parallelogrammaOQ'QQ" individuano due vettori che hanno V come somma geometrica e che sono rispettivamente paralleli alla direzione orientata di versore ˆr ed alla giacitura di π .

si determinino:

a) il risultante R ;

b) il versore ed i coseni direttori di R . Soluzione:

a) ^R^{= + −}

(

^{1 0 1}

) (

ⁱ^ˆ^{+ − + +}^{2 3 2}

) (

^ˆ^j⁺ ^{2 2 0}^{+ +}

)

^k^ˆ

b) ^R⁼

(

^R^x²⁺^R^y²

) (

¹² ⁼ ³²⁺⁴²

)

²¹ ⁼⁵

3 4

0; = ;

5 5

x Ry z

R R

R R R

α = = β = γ = = 3 4 ˆ

ˆ ˆ

5 5

R R j k

= R = +

1.5 Prodotto di un vettore per uno scalare

Dato un numero reale a ed un vettore V , si definisce loro prodotto quel vettore U che ha modulo uguale ad a V , direzione coincidente con quella di V , verso concorde con V se

Q′ Q

π O

Q′′

Fig. 5 r

(7)

a>0, discorde se a<0. Dalla definizione segue che le componenti di Usono legate a quelle di V dalle relazioni

( )

l l l l l

U =Uα = a V α = ±a V =aV (l = x, y, z) (1.10)

dove α_l è il coseno direttore rispetto all'asse cartesiano ellesimo del vettore U. Dalla definizione segue che moltiplicando il vettore V per lo scalare positivo 1/V si ottiene un vettore di modulo unitario concorde con V . Si ha pertanto la relazione

Vˆ V

=V (1.12)

che fornisce un modo alternativo per rappresentare un versore.

1.6 Prodotto scalare fra due vettori

È la quantità SCALARE definita come il prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo fra di essi compreso

cos

V U⋅ =VU θ (1.13)

Si osserva che il prodotto scalare ( )⋅ fra due vettori è un numero relativo il cui segno coincide con quello di cosθ . Poichè Vcosθ rappresenta per la (1.2) la componente V di _u V secondo la retta u sovrapposta a Ue Ucosθ la componente U di _v U secondo la retta v sovrapposta a V , si ha anche

v u

V U⋅ =VU =V U (1.14)

Nel caso in cui il secondo vettore sia il versore di una retta orientata u , il prodotto scalare di V per U^ˆ rappresenta la componente secondo u di V ; si ha cioè

ˆ u

V U⋅ =V (1.14’)

Dalla (13) segue che: condizione necessaria e sufficiente affinchè due vettori siano ortogonali è che il loro prodotto scalare sia nullo. Risulta inoltre che il prodotto scalare di un vettore per se stesso è uguale al quadrato del modulo del vettore

V V⋅ =V2 (1.15)

(8)

Dalla definizione (1.13) e dalla proprietà commutativa ed associativa valida per il prodotto fra numeri segue che

( )

^aV ^{⋅ =}^U

( )

^{a V U}^cos^θ ⁼^{V a U}

( )

^cos^θ ^{= ⋅}^V

( )

^aU ^(1.16)

essendo a un numero reale.

Per il prodotto scalare valgono le proprietà COMMUTATIVA e DISTRIBUTIVA. Si ha infatti

cos cos

V U⋅ =VU θ =UV θ = ⋅U V (1.17)

( ) ⁽ ⁾

v

⁽

^v ^v

⁾

^v ^v

V⋅ U+W =V U+W =V U +W =VU +VW = ⋅ + ⋅ (1.18) V U V W

Ove si tenga conto della ortogonalità dei versori ˆi, ˆj e ˆke del loro modulo unitario si riconosce che

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ 0

i j⋅ = ⋅ = ⋅ = (1.19) i k j k

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 i i⋅ = ⋅ = ⋅ = j j k k

Facendo uso della proprietà distributiva del prodotto scalare e della rappresentazione cartesiana dei vettori si ottiene la seguente importantissima espressione per il prodotto scalare

(

^x^ˆ ^y^ˆ ^z^ˆ

) (

^x^ˆ ^y^ˆ ^z^ˆ

)

^x ^x ^y ^y ^z ^z

V U⋅ = V i+V j V k+ ⋅ U i+U j U k+ =V U +V U +V U (1.20) dalla quale, per confronto con la (1.13),si ricava l'espressione cartesiana del coseno

dell'angolo fra i due vettori

cos V U^x ^x V U^y ^y V U^z ^z

θ = ⁺ VU ⁺ (1.21)

In forma cartesiana la condizione di ortogonalità diviene quindi

x x y y z z 0

V U +V U +V U = (1.22)

1.7 Prodotto vettoriale

Si definisce come prodotto vettoriale di U per V e lo si indica con il simbolo U V× il vettore W, ortogonale ad U ed a V , il quale, personificato, veda il primo vettore ruotare di un

(9)

angolo ≤ π in senso antiorario per andare a sovrapporsi al secondo ed il cui modulo sia uguale all'area del parallelogramma costruito sui due vettori. Dalla Fig. 7, si riconosce che

sin

W =UV θ 0≤ ≤θ π (1.23)

la quale implica che: condizione necessaria e sufficiente affinchè due vettori siano fra di loro paralleli è che si annulli il loro

prodotto vettoriale.Dalla definizione di prodotto vettore segue che

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ; ; ˆ ˆ ˆ ˆ

i× =j k j k× =i k i× = (1.24) j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0

i i× = × = × = j j k k

Il prodotto vettore non gode della proprietà commutativa, infatti dalla definizione risulta:

V U× = − ×U V (1.25)

1.8 Prodotto misto

Dati tre vettori U, V e W si chiama prodotto misto la quantità scalare che si ottiene moltiplicando scalarmente il prodotto vettore dei primi due per il terzo vettore

(

^{U V}^×

)

^{⋅ (1.26)}^W

Si indichi con θ l'angolo fra U^ˆ e V^ˆ e con ϕ quello fra

(

^{U V}^×

)

^e^W (cfr. Fig.7); risulta

(

^{U V}^×

)

^⋅^W ⁼ ^{U V W}^× ^cos^ϕ⁼

⁽

^VU^sin^θ

⁾

^W^cos^ϕ ^{θ ϕ π}^, ^{≤ (1.27)}

Di U, V e W si considerino tre rappresentanti applicati in uno stesso punto O e si costruisca su di essi un parallelepipedo. La quantità

(

^VU^sin^θ

)

rappresenta l'area S del parallelogramma di base costruito sui vettori U e V , mentre la quantità (Wcosϕ) ne dà l'altezza con segno. Si deduce dalla (27) e dalla Fig. 7 che il prodotto misto fornisce il volume con segno del parallelepipedo

costruito sui tre vettori e che il suo annullamento esprime la condizione di COMPLANARITÀ fra i tre vettori. Il prodotto misto risulta positivo se ϕ π< / 2, cosa che

U θ

V U×V

V ×U

V sinθ

Fig. 6

U U×V

Fig. 7 θ

V

φ W

(10)

^{⋅ (1.28)}^V

Quando si applichi la regola di sviluppo di un determinante in termini degli elementi di una riga e si usi la rappresentazione cartesiana dei vettori, è facile constatare la seguente identità, che costituisce un'utile regola mnemonica per il calcolo del prodotto misto

( )

( ) ⁽ ⁾ ( )

x y z

x y z z y y x z z x z x y y x

U U U

U V W V V V

W W W

U V W V W U V W V W U V W V W

× ⋅ = =

= − − − + −

(1.29)

1.9 Proprietà e componenti cartesiane del prodotto vettore

Il prodotto vettore gode della proprietà DISTRIBUTIVA

(

^U ⁺^V

)

^×^W = × + × (1.30) ^{U W} ^{V W}

Infatti, dalla invarianza del prodotto misto rispetto ad una permutazione ciclica dei fattori (1.28) risulta

( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

U V W i W i U V W i U W i V

U W i V W i U W V W i

+ × ⋅ = × ⋅ + = × ⋅ + × ⋅ =

= × ⋅ + × ⋅ = × + × ⋅ (1.31)

Per la (1.14') il primo e l'ultimo termine della (1.31) rappresentano la componente secondo l'asse x dei vettori

(

^U⁺^V

)

^{× e}^W

(

^{U W}^{× + ×}^{V W}

)

, rispettivamente. Analoghe identità valgono per le altre due componenti cartesiane. Ciò garantisce l'uguaglianza fra i vettori e quindi prova la (1.30). Sia

(

^x^ˆ ^y^ˆ ^z^ˆ

) (

^x^ˆ ^y^ˆ ^z^ˆ

)

W = × =U V U i+U j U k+ × V i+V j V k+ (1.32)

Dalle (1.30) e (1.24) si ha

W = × =U V U V −U V i + U V −U V j+ U V −U V k (1.33)

ossia

(11)

x y z z y

W =U V −U V

y z x x z

W =U V −U V (1.34)

z x y y x

W =U V −U V

le quali rappresentano le componenti cartesiane del prodotto vettore. Una regola mnemonica atta ad esprimere in forma cartesiana il prodotto vettore è ancora basata sullo sviluppo di un determinante secondo gli elementi di una riga:

( ) ⁽ ⁾ ( )

ˆ ˆ ˆ

x y z

y z z y z x x z x y y x

i j k

W U V U U U

V V V

U V U V i U V U V j U V U V k

= × ⋅ = =

= − + − + −

(1.35)

In base alla (1.35) la condizione di annullamento del prodotto vettoriale e quindi di PARALLELISMO fra due vettori è espressa in forma cartesiana dalle seguenti condizioni

x y z

U U U

V = V = V (1.36)

ESEMPIO 3. Rispetto ad una terna trirettangola Oxyz siano dati i vettori: V₁= +i^ˆ 3^ˆj−2k^ˆ;

2 2ˆ

V = i; V₃ = − +iˆ 3k^ˆ e la retta r di coseni direttori:α =1/ 2; 1/ 2; 2 / 2β = γ = . Si determinino:

a) i prodotti scalare e vettoriale dei vettori V₂ e V₃ ed il prodotto misto di V₁, V₂ e V₃; b) il risultante R dei vettori ed i coseni direttori di R ;

c) le componenti

( )

^V¹ _r^,

( )

^V² _r^e

( )

^V³ _r^.

Soluzione:

a) V V₂⋅ = + − +₃ ( 2)( 1) (0)(0) (0)(3)+ = −2

2 3

ˆ ˆ ˆ

0 0 ˆ 2 0 ˆ 2 0 ˆ ˆ

2 0 0 6

0 3 1 3 1 0

1 0 3 i j k

V × =V = i− j+ k= − j

− −

−

(12)

1 2 3

1 3 2

0 0 2 0 2 0

2 0 0 1 3 2 18

0 3 1 3 1 0

1 0 3 V V V

−

× ⋅ = = − − = −

− −

−

b) ^R^{= + −}

(

^{1 2 1}

) (

ⁱ^ˆ^{+ + +}^{3 0 0}

) (

^j^ˆ^{+ − + +}^{2 0 3}

)

^k^ˆ⁼²ⁱ^ˆ⁺³^ˆ^j⁺^k^ˆ

(

²² ³² ¹^{2 2}

)

¹ ¹⁴

R= + + =

2 3 1

; ;

14 14 14

α = β = γ =

c) ˆ 1 ˆ 1 ˆ 2 ˆ

2 2 2

r=⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞i+⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ j− ⎜⎜⎛⎝ ⎟⎞⎟⎠k

( )

^V¹ _r ^{= ⋅ =}^{V r}¹ ^{ˆ (1)}^{⎛ ⎞}⎝ ⎠⎜ ⎟¹₂ ⁺⁽³⁾⎝ ⎠^{⎛ ⎞}⎜ ⎟¹₂ ^{+ −}^{( 2)}⎜⎝^⎛^⎜ ₂²^⎟^⎞⎟⎠^{= −}² ²

( )

2 2

1 1 2

ˆ (2) (0) (0) 1

2 2 2

V r =V r⋅ = ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟+ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟+ ⎝⎛⎜⎜ ⎠⎟⎟⎞=

( )

^V³ _r ^{= ⋅ = −}^{V r}³ ^{ˆ ( 1)}^{⎛ ⎞}⎝ ⎠⎜ ⎟₂¹ ⁺⁽⁰⁾⎝ ⎠⎜ ⎟^{⎛ ⎞}¹₂ ⁺⁽³⁾^⎛⎝^⎜⎜ ₂²⎟^⎞^⎟⎠⁼^{3 2 1}₂⁻

1.10 Doppio prodotto vettore

Nello studio della meccanica accade di dover considerare il prodotto vettoriale di un vettore per un altro, il quale a sua volta rappresenti il prodotto vettoriale di altri due. Valgono le seguenti identità

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

U V W U W V U V W

U V W W V U U W V V W U

× × = ⋅ − ⋅

× × = × × = ⋅ − ⋅ (1.36)

le quali possono essere verificate constatando la uguaglianza delle componenti cartesiane dei vettori a primo e a secondo membro applicando due volte la regola (1.35).

1.11 Funzioni vettoriali

Se ad ogni valore della variabile numerica t appartenente all'intervallo

[

t t1, 2

]

è associato un vettore V , si dice che è definita in

[

t t1, 2

]

la funzione vettoriale V . Ciò equivale a dire che sono definite le tre funzioni scalari ( )V t , _x V t e _y( ) V t , che rappresentano le componenti _z( ) cartesiane di V

(13)

ˆ ˆ ˆ ( ) _x( ) _y( ) _z( )

V t =V t i+V t j V t k+ (1.37)

Per le funzioni vettoriali i concetti di limite, continuità, derivazione ed integrazione si introducono a partire dagli analoghi concetti per le funzioni scalari. Così si dirà che la funzione V tende al limite ^{U t}^{( )}^≡

(

^{U U U}^x^, ^y^, ^z

)

^pert→t t0

(

0∈

^{[ ]}

t t1, 2

)

se esistono i limiti e sono verificate le uguaglianze

0 0 0

lim ( )_x _x; lim ( )_y _y; lim ( )_z _z

t t V t U t t V t U t t V t U

→ = → = → = (1.38)

La funzione V si dirà CONTINUA in t0∈

[

t t1, 2

]

se

0 0

lim ( ) ( )

t t V t V t

→ = (1.39)

Infine la funzione ( )V t si dice derivabile quando siano derivabili le funzioni scalari V t , _x( )

y( )

V t e V t ; la funzione DERIVATA _z( ) dV t( ) /dt è definita come la funzione vettoriale le cui componenti coincidono con le derivate delle funzioni (scalari) componenti. Vale quindi la relazione

( ) ( ) ( )

( ) dV t^x ˆ dV t^y ˆ dV t^z ˆ

dV t i j k

dt = dt + dt + dt (1.40)

Il concetto di funzione vettoriale può essere esteso al caso in cui le variabili numeriche siano più di una. In questa circostanza le definizioni di limite, continuità e derivate parziali si deducono dalle corrispondenti definizioni per le funzioni scalari a più variabili applicate alle componenti della funzione vettoriale data. Ove tutte od alcune delle variabili reali rappresentino le componenti di vettori si avranno funzioni VETTORIALI DI VARIABILI VETTORIALI. Si parlerà, ad esempio, di campi di forza che dipendono dalla posizione, dalla velocità e dal tempo

( , , , , )

V =V x y z v t (1.41)

Per il calcolo dei limiti e delle derivate di una funzione vettoriale valgono regole analoghe a quelle valide per le funzioni scalari.

(14)

PARTE 2: VETTORI APPLICATI

2.1 Introduzione

Nello studio della meccanica vengono introdotte grandezze fisiche vettoriali (forze, velocità, etc.), le quali si riferiscono in generale a ben definiti elementi materiali. È quindi naturale rappresentare tali grandezze mediante vettori applicati, cioè vettori aventi l'origine nelle posizioni istantaneamente occupate dagli elementi materiali. La maggior parte delle operazioni introdotte nella prima parte di questo capitolo hanno significato soltanto per vettori liberi. Ciò è particolarmente evidente per l'operazione di somma geometrica, la quale, una volta scelto in maniera arbitraria un punto di partenza P1, per essere effettuata, richiede l'uso di ben determinati rappresentanti dei vettori addendi. Ciò è possibile soltanto quando si abbia a che fare con vettori liberi.

Nella descrizione dei fenomeni meccanici risulta utile considerare i vettori liberi individuati dai vettori applicati di cui trattasi ed applicare a questi le operazioni introdotte nei precedenti paragrafi. Sono definibili, tuttavia, operazioni che hanno senso soltanto per vettori applicati;

di queste vengono di seguito forniti alcuni brevi cenni.

2.2 Momento polare di un vettore applicato

Il momento polare M_O del vettore applicato

(

P V rispetto al polo O è il vettore libero ^,

^×^PQ^⎤_⎦^{⋅ =}^r^ˆ

(

^{O P PQ r}^' ^×

)

^⋅^ˆ^(2.4)

ove si è tenuto conto che OO'×PQ è ⊥ ad r e quindi che

(

^OO^'^×^{PQ r}

)

^{⋅ =}^ˆ ⁰. Indicando con O', P' e Q' le proiezioni di O, P e Q sul piano π ortogonale ad r, si riconosce (Fig.9) che

( )

^M^O _r ⁼

⁽

^{OP PQ r}^×

⁾

^{⋅ =}^ˆ ^{OP PQ}^× ^cos^φ ^{= ±}^{O P}^{' '}^×^{P Q}^{' '} ^{= ±}^{d P Q}^{' '} ⁼^M^r^(2.5)

Si può quindi affermare che la componente del momento polare di un vettore applicato, calcolato rispetto ad un punto O di una retta r, coincide con il momento assiale del vettore rispetto ad r.

Q′ Q

π

P

Fig. 8 r

P′

r′ d

Q ′ Q

π

P

Fig. 9

r

P ′

r ′ O

φ

O ′ d

OPxPQ φ

M d PQ

=

= ±

∑

^(2.8)

La componente secondo r del momento polare risultante calcolata rispetto ad un polo r∈ è uguale alla somma delle componenti dei singoli momenti polari, pertanto dalla (2.5) segue che essa è uguale al momento assiale complessivo.

2.5 Legge di variazione del momento polare al variare del polo

Siano O e O′ due punti generici dello spazio e

( )

P V (l=1,2...N) un sistema di vettori ^l^, ^l applicati; risulta

( )

1 1 1 1

' ' ' '

N N N N

O l l l l l l l

l l l l

M OP V OO O P V OO V O P V

= = = =

=

∑

× =

∑

+ × = ×

∑ ∑

+ × ^(2.9)

ossia

' '

O O

M =M +OO×R (2.10)

Dalla (2.10) segue che il momento polare è indipendente dal polo per quei sistemi di vettori per cui R =0 e qualunque sia R se O e O′ appartengono ad una retta parallelo ad R . Basterà

(17)

quindi studiare le variazioni di M_O al variare di O in un piano π ortogonale ad R . Moltiplicando scalarmente ambo i membri della (2.10) per R si ha

'

O O

M ⋅ =R M ⋅ = ±R µR (2.11)

dove µ rappresenta il modulo, indipendente da O, della componente di M_O secondo la direzione orientata di R . In forma cartesiana la (2.11) diviene

( ) ( ) ( ) (

'

) (

'

) (

'

)

O O x x O y y O z z O x x O y y O z z

M ⋅ =R M R + M R + M R = M R + M R + M R (2.12)

La quantità M_O⋅R nella sua espressione (2.11) prende il nome di TRINOMIO INVARIANTE. Ove si decomponga M_O⋅R in un componente parallelo (µ) ed in uno ortogonale (N_O) ad R , per la (2.10) e (2.11) si ha

' '

O O O

M =N + =µ N + +µ OO×R (2.13)

Se R≠0 ed N_O ≠0, nel piano π ortogonale ad R e passante per O esiste un punto O′ per il quale N_O_'=0 e quindi M_O_' =µ. Tale punto si individua dalla relazione

O '

N =OO×R (2.14)

che si ottiene ponendo N_O_' =0 nella seconda uguaglianza delle (2.13). Il vettore di posizione O O′ è ortogonale ad N_O ed è orientato in modo da essere visto ruotare in senso antiorario per andare a sovrapporsi al vettore (O, R ) dal vettore personificato N_O (Fig.10). La distanza ≠0 di O′ da O è data da

' N^O

OO = R (3.15)

Tale punto O′ è unico, essendo in ogni altro punto Q del piano distinto da O′

' ' ' 0

Q O

N =N +QO× =R QO× ≠ (2.16) R S

T

Q P

O′

µ O

µ µ

N_T N_P

N_O

N_Q

N_S µ

R

Fig. 10

ASSE CENTRALE

(18)

Per quanto fin qui detto,la retta passante per O′ parallela ad R è il luogo geometrico dei punti per i quali il modulo del momento polare è minimo ed uguale a µ. Tale retta viene chiamata ASSE CENTRALE. In particolare se il sistema di vettori è tale che µ=0 l'asse centrale rappresenta il luogo dei punti per i quali il momento polare è nullo.

1, 1, 1

)

d) l'asse centrale.

Soluzione:

a) M_O =OP V₁× +₁ OP₂× +V₂ OP V₃× =₃

2iˆ 2jˆ 4kˆ

1 1 3

0 1 0

kˆ jˆ iˆ 0 2 0

1 0 0

kˆ jˆ iˆ 3 0 1

2 1 0

kˆ jˆ iˆ

− +

= +

+

=

b) ^M^x ⁼^M^O^{⋅ =}ⁱ^ˆ

(

²ⁱ^ˆ⁺²^ˆ^j⁻⁴^k^ˆ

)

^{⋅ =}ⁱ^ˆ ²

c) ^R^{= + +}

(

^{1 0 3}

) (

ⁱ^ˆ^{+ + +}^{0 2 1}

) (

^ˆ^j^{+ + +}^{3 0 1}

)

^k^ˆ⁼⁴ⁱ^ˆ⁺³^ˆ^j⁺⁴^k^ˆ

( )

'

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2 4 1 1 1

4 3 4

O

i j k

M = i+ j− k + =

( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2i 2j 4k 4 3 i 4 4 j 3 4 k 3i 2j 5k

= + − + − + − + − = + −

d) L'asse centrale è il luogo geometrico dei punti rispetto ai quali il momento polare è parallelo ad R . Detto C(x,y,z) un generico punto dell'asse centrale, dovrà quindi essere (2.35):

( ) ( ) ( )

^C x ^C y ^C z

x y z

M M M

R = R = R

Risulta

(19)

(

²^ˆ ²^ˆ ⁴^ˆ

)

^ˆ ^ˆ ^ˆ

4 3 4

C O

i j k M =M +OC R× = i+ j− k + x y z =

( ) ( ) ( )

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

2i 2j 4k 4y 3z i 4x 4z j 3x 4y k

= + − + − + − + − =

(

⁴^y ³^z ²

) (

ⁱ^ˆ ⁴^z ⁴^x ²

) (

^ˆ^j ³^x ⁴^y ⁴

)

^k^ˆ

= − + + − + + − −

Si ha infine

4 3 2 4 4 2

4 3

y− z+ = z− x+ ; 4 4 2 3 4 4

3 4

z− x+ = x− y− ossia

16x+12y−25z− = ; 2 0 25x−12y−16z−20 0=

Ognuna di queste equazioni rappresenta un piano, la loro intersezione è l'asse centrale

2.6 Sistema semplice di due vettori:coppia

La coppia è l'insieme di due vettori

(

^{P V e}¹^, ¹

) (

P V opposti ²^, ²

) (

^V¹^{= −}^V²

)

(Fig.11). Il risultante del sistema è nullo, pertanto il

momento della coppia M in base alla (2.10) è indipendente dal polo. Esso può essere calcolato scegliendo un polo qualsiasi, per esempio il punto P ;si ottiene allora ₁

1 2 2

M =P P ×V (2.17)

M è ortogonale sia a P P sia a _{1 2} V₂ e quindi al piano dei vettori V₁ e V₂, il suo verso è tale da vedere il vettore P P ruotare in senso antiorario per sovrapporsi a _{1 2} V₂. Il suo modulo è pari all'area del parallelogramma costruito sui vettori P P e _{1 2} V₂, ossia al prodotto di V₂ per la distanza d (braccio) fra le rette di applicazione di V₁ e V₂ . Il momento M si annulla quando P P è parallelo a 1 2 V₂ , ossia quando i due vettori sono sovrapposti alla medesima retta (coppia di braccio nullo).

π

Fig. 11

P₁ d

P₂

V₁

B V . Il vettore ^, V è stato quindi spostato lungo la sua retta di azione da P a B. Due sistemi di vettori RIDUCIBILI, cioè tali che si possa passare dall'uno all'altro mediante sole operazioni elementari,hanno stesso risultante e stesso momento risultante, sono cioè EQUIVALENTI. È vero anche il viceversa: due sistemi equivalenti sono anche riducibili.

2.8 Riduzione di un sistema di vettori ad un altro equivalente

Si dimostra che è possibile ridurre un sistema di vettori

(

P V , comunque complesso, ad un ¹^, ¹

)

altro più semplice, in particolare ad un sistema costituito da:

i) tre vettori applicati in tre punti prefissati non allineati;

ii) due vettori di cui uno applicato in un punto prefissato;

iii) un vettore applicato in un punto prefissato più una coppia.

Nel terzo caso il vettore applicato nel punto prefissato P è un rappresentante di r ed il momento della coppia M coincide con il momento del sistema rispetto a P e quindi rispetto ad ogni punto O della retta passante per P parallela ad r . Se P appartiene all'asse centrale

M =µ ed essendo µ parallelo a r , la coppia giace su un piano ortogonale ad r .

È chiaro quindi che se R =0 il sistema si riduce alla sola coppia, mentre se è µ=0 il sistema si riduce al solo vettore applicato all'asse centrale. Quindi: condizione necessaria e sufficiente

(21)

affinchè un sistema sia riducibile ad un solo vettore o ad una sola coppia è che il trinomio invariante di

(

P V sia nullo. ¹^, ¹

)

Dalla iii) segue inoltre che se R =0 e M_O=0, o come suol dirsi se il sistema è equivalente a zero, tutti i suoi vettori possono essere eliminati con sole operazioni elementari.

Due tipi particolarmente importanti di sistemi riducibili ad un solo vettore (se R≠0), sono quelli i cui vettori siano situati su un piano (sistema piano) oppure siano paralleli. Nel primo caso r è parallelo al piano mentre il momento rispetto ad un qualunque punto del piano e quindi per la (2.13) rispetto ad un qualunque punto dello spazio è ⊥ a r .

Nel secondo caso il momento di ogni singolo vettore rispetto ad un qualunque polo è ⊥ alla direzione comune ai vettori e quindi ad r . Per entrambi i sistemi il trinomio invariante

MO⋅R risulta quindi nullo.

2.9 Centro di un sistema di vettori paralleli

Sia R≠0 e (P , _l V u ) il generico vettore del sistema avente componente _lˆ V secondo la _l direzione orientata del versore ˆu comune ai vettori ed applicato nel punto P di coordinate _l

, ,

l l l

x y z . Per questo sistema, l'asse centrale, parallelo R , è il luogo geometrico dei punti C di coordinate , , x_C y_C z rispetto ai quali si annulla il momento polare _C

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ 0

N N N N

l l l l l l l

l l l l

CP V u CO OP V u OP V u OC V u

= = = =

× = + × = × − × =

∑ ∑ ∑ ∑

^(2.18)

ossia

( ) ( )

1

ˆ ˆ

N

l l

l N

l l

OP V u OC

V u

=

×

=

∑

^(2.19)

Mantenendo fissi i loro punti di applicazione ed i loro moduli si facciano ruotare rigidamente i vettori di un medesimo angolo e nello stesso verso attorno ad assi paralleli passanti per i punti di applicazione P . Si ottiene così un nuovo sistema di vettori paralleleli con un nuovo _l asse centrale. Al variare del versore ˆu tutti gli assi centrali passano per un medesimo punto chiamato centro del sistema, individuato, al variare di ˆu, dalla relazione

(22)

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ 0

N N N N

l l l l l l l

l l l l

GP V u GO OP V u GO V OP V u

= = = =

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

× = + × =⎢ ⎜ ⎟+ ⎥× =

⎝ ⎠

⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑

^(2.20)

da cui si deduce

( )

1

1 N

l l

l N

l l

OP V OG

V

=

= ⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

^(2.21)

od anche,scalarmente

1

1 N

l l l

G N

l l

x V x

V

=

=⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

1

1 N

l l l

G N

l l

y V y

V

=

=⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

^(2.22)

1

1 N

l l l

G N

l l

z V z

V

=

=⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

ESEMPIO 5: Dato Il sistema di vettori V₁= +i^ˆ 2^ˆj+3k^ˆ e V₂ =2i^ˆ+4^ˆj+6k^ˆ, rispettivamente applicati in P₁≡(1,1,1) e P₂≡(0,0,0):

a) verificare il parallelismo di detti vettori;

b) una volta accertato che R non coincida con il vettore nullo, si determini l'asse centrale µ equiorientato con R di coseni direttori α, β e γ.

Soluzione

a) le condizioni di parallelismo:

( ) ( )

^V¹ _x^/ ^V² _x⁼

( ) ( )

^V¹ _y^/ ^V² _y⁼

( ) ( )

^V¹ _z^/ ^V² _z risultano soddisfatte essendo: 1/2 = 2/4 = 3/6;

b) R= +3iˆ 6ˆj+9kˆ è diverso dal vettore nullo. L'asse centrale quindi esiste e passa per il centro G del sistema di vettori. Detto P(x, y, z) un punto di µ distinto da G, dovrà essere

(23)

G G G

x x y y z z

α β γ

− − −

= =

La condizione di parallelismo fra R e l'asse centrale fornisce inoltre

3 6 9

α β γ⁼ ⁼

Dalle due relazioni sopra si ricava l'equazione di µ

( ) ( )

2 x−x_G = y−y_G ;

(

y−yG

) (

=³ z−zG

)

^{/ 2}

con V componente secondo _i µ (e quindi secondo R ) di V_i. Risulta _i

i

V =R

∑

^{e quindi}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

1 2 1 1 1

1 0 / /

3 12 27 /126 42 /126 1/ 3

G R R x x y y z z

x =⎣⎡ V + V ⎤⎦ R=⎣⎢⎡ V R + V R + V R ⎤⎥⎦ R =

= + + = =

Analogamente si ha:

( )

1

1 / 1/ 3

G R

y = V R=

(24)

PARTE 3: MISURE E GRANDEZZE FISICHE

3.1 Introduzione

Nella descrizione dei fenomeni la fisica si serve di leggi, nelle quali intervengono grandezze fisiche quali: la lunghezza, il tempo, la forza etc. Alcune di tali grandezze hanno carattere scalare (lunghezza, tempo...), altre vettoriale (forza, velocità..). Le prime sono individuate da un numero (misura), le seconde da un numero, una direzione ed un verso (orientamento). Le grandezze fisiche, per avere significato devono essere definite operativamente, cioè deve essere indicato il procedimento della loro misura.

Nella deduzione delle leggi la fisica si serve del metodo scientifico (Galileo Galilei (1564- 1642), che consiste nella seguente sequenza di passi logici:

a) - individuazione delle grandezze fisiche che influenzano il fenomeno che si vuole studiare;

b) - realizzazione di esperienze di laboratorio che riproducano il fenomeno in condizioni in cui le grandezze possano essere fatte variare in maniera indipendente e controllata;

c) - enunciazione di ipotesi e progettazione di esperienze di verifica;

d) - formulazione di teorie generali (leggi fisiche), che siano in grado di interpretare il massimo numero di osservazioni sperimentali disponibili

Il linguaggio matematico è lo strumento utilizzato nella formulazione delle leggi, le quali assumono l’aspetto di uguaglianze tra espressioni matematiche contenenti operatori che si applicano alle grandezze, siano esse vettoriali o scalari.

Un esempio di legge fisica è la seconda equazione della dinamica (Newton (1642-1727), la quale stabilisce che l’accelerazione a è proporzionale alla forza f agente su un elemento materiale, il coefficiente di proporzionalità essendo la massa m dell’elemento. In simboli si ha:

f ma mdv

= = dt dove il simbolo

dtd rappresenta l’operatore di derivazione rispetto alla variabile temporale t, che applicato al vettore velocità v dà a.