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Classe quinta

STUDIO COMPLETO

DI UNA FUNZIONE ALGEBRICA IRRAZIONALE INTERA

Esempio A: ^y^ ^x^¹^ ^x

1) Classificazione e C.E.:

Funzione algebrica irrazionale intera.

Essendo il primo radicale definito per x 1, mentre il secondo per x , la funzione data è0 definita per x , ossia C.E.: 0 x con x .0

2) Simmetrie :

La funzione non è simmetrica.

3) Studio del segno :

Si pone: x1 x0 cioè x1 x , essendo il primo membro sempre maggiore del secondo membro se ne deduce che la funzione è positiva in tutto il campo di esistenza.

4) Intersezione con gli assi cartesiani :

La funzione data interseca l’asse delle ordinate nel punto ^A⁽⁰^;¹⁾.

5)Asintoti :



 







 x 1 x

limx , forma d’indecisione. Per risolvere il limite si può scrivere:

  

₀

x 1 x lim 1

x 1 x

x 1 x x 1

lim_x x _x 



 













 ,

quindi la funzione data è asintotica al semiasse positivo delle

x

.

6) Crescenza o decrescenza :

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(2)

Calcolando la derivata prima si ha:

x 2

1 1 x 2

y 1 

 

 ,

osservando che

x 1 1 x

1 

 si ha che la derivata prima risulta negativa per x , pertanto, la0 funzione data è decrescente in ^]⁰^;^^[. Inoltre, non esistono estremanti.

7) Concavità e convessità :

Calcolando la derivata seconda si ha:

3

3 4 x

1 )

1 x ( 4

y 1 

 



,

poiché la derivata seconda risulta positiva per x , la funzione data è concava verso l’alto in0 [

; 0

]  . Inoltre, non esistono punti di flesso.

8) Grafico :

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