Formule di prostaferesi
Marco Robutti 17 aprile 2014
Introduzione
In trigonometria, le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche.
La parola prostaferesi deriva dalla giustapposizione di due parole di origine greca, prosthesis (πρόσvθεσvις) e aphairesis (ἀφαίρεσvις), che significano rispettiva- mente somma e sottrazione.
Le formule di prostaferesi furono definite, nella forma attualmente nota, da Johann Werner agli inizi del XVI secolo; tuttavia è probabile che fossero già, almeno parizialmente, note in precedenza.
Questa categoria di formule trigonometriche viene utilizzata poiché, in genere, conduce ad una semplificazione dell’espressione trigonometrica studiata. Sono in particolare utili nella descrizione dei battimenti.
Le formule inverse delle formule di prostaferesi si chiamano formule di Werner, su cui si basa l’algoritmo di prostaferesi.
Prima formula di prostaferesi
sin (α) + sin (β) = 2 sin α + β 2
cos α − β 2
(1)
Dimostrazione
Riscrivendo i due seni nella loro forma esponenziale, otteniamo:
sin (α) + sin (β) = 1
2ıeıα− e−ıα + 1
2ıeıβ− e−ıβ =
= 1
2ıeıα− e−ıα+ eıβ− e−ıβ
(2)
L’obiettivo delle formule di prostaferesi, come spiegato nell’introduzione, è quello di “di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due an-
ottenuto nell’espressione (2), notiamo che prima della parentesi compare un coefficiente 2ı1. Se consideriamo la (2) come il prodotto di due funzioni trigono- metriche, ci si può rendere subito conto del fatto che ciò è possibile solamente se le due funzioni coinvolte nel prodotto sono una coppia seno-coseno, ma non due funzioni trigonometriche uguali (infatti se avessimo due funzioni trigonomet- riche uguali otterremmo come, coefficiente davanti alla parentesi quadra, ±12; provare per credere...). Pertanto possiamo riscrivere la relazione iniziale nel seguente modo, come il prodotto tra una funzione seno e una funzione coseno:
sin (α) + sin (β) = A sin (x) cos (y) =
= A
2 × 2ıeıx− e−ıx eıy+ e−ıy =
= A
4ı h
eı(x+y)− e−ı(x+y)+ eı(x−y)− e−ı(x−y)i (3)
Eguagliando la (3) alla (2) otteniamo il seguente sistema:
A 4ı = 2ı1 x + y = α x − y = β
Risolvendo il sistema otteniamo:
A = 2 x = α+β2 y =α−β2
Pertanto:
sin (α) + sin (β) = A sin (x) cos (y) =
= 2 sin α + β 2
cos α − β 2
Seconda formula di prostaferesi
sin (α) − sin (β) = 2 cos α + β 2
sin α − β 2
(4)
Dimostrazione
Riscrivendo i due seni nella loro forma esponenziale, otteniamo:
sin (α) − sin (β) = 1
2ıeıα− e−ıα − 1
2ıeıβ− e−ıβ =
= 1
2ıeıα− e−ıα− eıβ+ e−ıβ
(5)
L’obiettivo delle formule di prostaferesi, come spiegato nell’introduzione, è quello di “di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche”. Se ora guardiamo il risultato ottenuto nell’espressione (5), notiamo che prima della parentesi compare un coefficiente
1
2ı . Se consideriamo la (5) come il prodotto di due funzioni trigonometriche, ci si può rendere subito conto del fatto che ciò è possibile solamente se le due fun- zioni coinvolte nel prodotto sono una coppia seno-coseno, ma non due funzioni trigonometriche uguali (infatti se avessimo due funzioni trigonometriche uguali otterremmo, come coefficiente davanti alla parentesi quadra, ±12 ; provare per credere...). Pertanto possiamo riscrivere la relazione iniziale nel seguente modo, come il prodotto tra una funzione seno e una funzione coseno:
sin (α) − sin (β) = A sin (x) cos (y) =
= A
2 × 2ıeıx− e−ıx eıy+ e−ıy =
= A
4ı h
eı(x+y)− e−ı(x+y)+ eı(x−y)− e−ı(x−y)i (6)
Eguagliando la (6) alla (5) otteniamo il seguente sistema:
A 4ı =2ı1 x + y = α
− (x − y) = β
Risolvendo il sistema otteniamo:
A = 2 x = α−β2 y = α+β2
Pertanto:
sin (α) − sin (β) = A sin (x) cos (y) =
= 2 cos α + β
sin α − β
Terza formula di prostaferesi
cos (α) + cos (β) = 2 cos α + β 2
cos α − β 2
(7)
Dimostrazione
Riscrivendo i due seni nella loro forma esponenziale, otteniamo:
cos (α) + cos (β) = 1
2eıα+ e−ıα +1
2eıβ+ e−ıβ =
= 1
2eıα+ e−ıα+ eıβ+ e−ıβ
(8)
L’obiettivo delle formule di prostaferesi, come spiegato nell’introduzione, è quello di “di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche”. Se ora guardiamo il risultato ottenuto nell’espressione (8), notiamo che prima della parentesi compare un coefficiente
1
2 . Se consideriamo la (8) come il prodotto di due funzioni trigonometriche, ci si può rendere subito conto del fatto che ciò è possibile solamente se le due fun- zioni coinvolte nel prodotto sono una coppia seno-seno o coseno-coseno, ma non due funzioni trigonometriche di diverso tipo (infatti se avessimo due funzioni trigonometriche di diverso tipo otterremmo come coefficiente davanti alla par- entesi quadra±2i1 ; provare per credere...). Per determinare quale sia la coppia di funzioni coinvolte nel prodotto, basta notare che nell’equazione (8) compare +12; pertanto possiamo supporre di avere a che fare con il prodotto di due coseni (se si trattasse del prodotto di due seni otterremmo −12, a causa del termine ı2...). Pertanto possiamo scrivere:
cos (α) + cos (β) = A cos (x) cos (y) =
= A
2 × 2eıx+ e−ıx eıy+ e−ıy =
= A
4 h
eı(x+y)+ e−ı(x+y)+ eı(x−y)+ e−ı(x−y)i (9)
Eguagliando la (9) alla (8) otteniamo il seguente sistema:
A 4 = 12 x + y = α x − y = β
Risolvendo il sistema otteniamo:
A = 2 x = α+β2 y =α−β2
Pertanto:
cos (α) + cos (β) = A cos (x) cos (y) =
= 2 cos α + β 2
cos α − β 2
Quarta formula di prostaferesi
cos (α) − cos (β) = 2 sin α + β 2
sin α − β 2
(10)
Dimostrazione
Riscrivendo i due seni nella loro forma esponenziale, otteniamo:
cos (α) − cos (β) = 1
2eıα+ e−ıα −1
2eıβ+ e−ıβ =
= 1
2eıα+ e−ıα− eıβ− e−ıβ
(11)
L’obiettivo delle formule di prostaferesi, come spiegato nell’introduzione, è quello di “di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche”. Se ora guardiamo il risultato ottenuto nell’espressione (11), notiamo che prima della parentesi compare un coefficiente
1
2 . Se consideriamo la (11) come il prodotto di due funzioni trigonometriche, ci si può rendere subito conto del fatto che ciò è possibile solamente se le due funzioni coinvolte nel prodotto sono una coppia seno-seno o coseno-coseno, ma non due funzioni trigonometriche di diverso tipo (infatti se avessimo due fun- zioni trigonometriche di diverso tipo otterremmo come coefficiente davanti alla parentesi quadra±2i1 ; provare per credere...). Per determinare quale sia la cop- pia di funzioni coinvolte nel prodotto, in questo caso non possiamo fare una scelta sicura, in quanto a prima vista andrebbero bene sia un prodotto di seni quanto un prodotto di coseni (entrambi ci danno il coefficiente ±12a meno del segno...). Tuttavia, seguendo un semplice ragionamento, possiamo supporre che se il prodotto tra due coseni è il risultato dimostrato in precedenza per la terza formula di prostaferesi, non potrà esserlo anche in questo caso (altrimenti staremmo affermando che esiste “qualcosa”che è contemporaneamente uguale
alla somma tra due coseni e alla differenza tra due coseni: semplicemente im- possibile!). Pertanto possiamo tranquillamente supporre di avere a che fare con un prodotto di seni1:
cos (α) − cos (β) = A sin (x) sin (y) =
= A
2ı × 2ıeıx− e−ıx eıy− e−ıy =
= −A 4 h
eı(x+y)+ e−ı(x+y)− eı(x−y)− e−ı(x−y)i
= A
4
h−eı(x+y)− e−ı(x+y)+ eı(x−y)+ e−ı(x−y)i (12)
Eguagliando la (12) alla (11) otteniamo il seguente sistema:
A 4 = 12 x − y = α x + y = β
Risolvendo il sistema otteniamo:
A = 2 x = α+β2 y =α−β2
Pertanto:
cos (α) − cos (β) = A sin (x) sin (y) =
= 2 sin α + β 2
sin α − β 2
1Nel caso in cui avessimo supposto che si trattasse di una coppia di coseni, ci saremmo ben presto accorti dell’impossibilità di ciò nel momento in cui avremmo dovuto eguagliare la (12)
