3.MODELLI IN LETTERATURA

3.MODELLI IN LETTERATURA

In letteratura è difficile reperire testi nei quali siano illustrati modelli che simulano il comportamento dinamico dei motori di impiego aeronautico.

Dalla ricerca bibliografica è emerso che la maggior parte dei modelli dinamici [14], a prescindere dallo scopo per cui sono progettati, funzionano in modo analogo.

Questi modelli sono sviluppati basandosi su due aspetti principali [14] : • Determinazione del numero dei giri del motore.

• Gestione del flusso di massa attraverso i vari elementi che costituiscono il propulsore.

Il numero dei giri del propulsore è calcolato tramite l’integrazione dell’accelerazione angolare che dipende dalla differenza di potenza tra la turbina e il compressore. Il flusso di massa può essere trattato seguendo due vie:

1. Un metodo iterativo lavora sull’assunzione base che la continuità di massa (bilancio di massa) è mantenuta durante tutta la simulazione.

I parametri del propulsore sono iterativamente aggiustati per soddisfare la continuità di massa, mantenendo costante il numero di giri del motore. 2. Dei volumi di controllo sono posti tra i componenti costitutivi del motore nei

quali l’accumulo di parte del flusso di massa è usato per il calcolo delle variazioni di pressione nell’unità di tempo ( dP dt ) per le varie stazioni del motore.

Un nuovo stato per il propulsore è determinato dall’integrazione di dP dt per le varie stazioni ed una condizione stazionaria è raggiunta dal propulsore quando tutti i dP dt sono nulli.

Nel seguito sono descritti due modelli presenti in letteratura; uno molto semplice tratto da ”Aircraft control and simulation” [1] che descrive il comportamento globale del motore del velivolo F-16, tarato su dati sperimentali, un altro, piuttosto dettagliato illustrato nel testo “Gas turbine theory” [2], nel quale la dinamica del motore è rappresentata tramite la modellizzazione dei suoi componenti.

3.1 Modello F-16

Quello riportato nel sopra citato “Aircraft control and simulation” [1] a causa della scarsità dei modelli disponibili in letteratura ha avuto una notevole diffusione; infatti è

presente in report [6, 7] che mostrano come adattare la dinamica pensata per il motore del velivolo F-16 a sistemi propulsivi di altri aerei quali: F-106B, F-14, A-7, F-4, X-31. Questo modello è stato sviluppato dai progettisti della NASA basandosi su dati

sperimentali della spinta e delle sue variazioni per ogni coppia di quota e Mach di volo che appartiene all’inviluppo di volo dell’aeromobile [8].

Il comando adoperato come ingresso è la posizione della manetta che come si vede dalla figura 3.1 può variare tra zero e uno.

A questa è legata la spinta percentuale richiesta (figura 3.1) che rappresenta la spinta che deve produrre il motore fissato il valore della manetta [13].

fig.3.1 Relazione tra la manetta e la spinta percentuale richiesta

Osservando il grafico della figura 3.1 si vede che la spinta percentuale richiesta assume tutti i valori compresi tra zero e cento.

Se la posizione della manetta è compresa tra 0 e 0,77 il motore funziona senza l’ausilio del post bruciatore; mentre nell’intervallo tra 0,77 e 1 il post bruciatore è attivo.

Quando la manetta ha il valore di 0,77 il post bruciatore è al minimo, mentre quando la manetta è a 1 questo funziona al massimo delle sue potenzialità.

Il diagramma di flusso di figura 3.2 è tratto dal report NASA TN D-8176 [6] e mostra tutte le operazioni svolte dal modello dinamico descritto in “Aircraft control and simulation” [1] per la determinazione della spinta (T ) in base all’ingresso fornito (P₁).

1 P no si no si no si 1 50 P ≥ 3 50 P ≥ P₃≥50

(

)

(

)

_∫

(

)

(

) (

)

(

) (

)

idle mil idle

T =T + T −T ⋅ P

fig.3.2 Diagramma a blocchi del modello dinamico della spinta

Scorrendo dal alto verso il basso il diagramma a blocchi di figura 3.2 si vede che le grandezze di interesse sono:

• P₁ spinta percentuale richiesta

• P₃ spinta percentuale attuale che è una quantità nota istante per istante • P2 spinta percentuale target

• P₃ derivata della spinta percentuale attuale • 1τT costante di tempo di ritardo

Una volta fissato , il passo successivo consiste nel determinare la derivata della spinta percentuale attuale definita da:

1

P

(

)

3 2 3 T

P = P −P τ , nota una volta calcolato il valore di e di

2

P

1τ_T .

La attenta analisi del diagramma di figura 3.2 permette di realizzare il diagramma di figura 3.3 che illustra come viene determinata P₂ dalla conoscenza di P₁ e P₃.

1 P no si no no si si 1 50 P ≥ 2 1 P = P 3 50 P ≥ 2 1 P = P 2 40 P = 3 50 P ≥ 2 60 P =

fig.3.3 Relazione tra la coppia P3,P1 e P2

Per poter assegnare un valore a occorre confrontare e rispetto ad un valore di soglia

2

P P1 P3

50

P= .

Il confronto di queste due grandezze con P da luogo ad una coppia costituita da e a cui si può associare in maniera univoca che assume solo tre valori: 40, 60, (figura 3.3).

1

P P₃

2

P P₁

Per quanto riguarda la determinazione di P₃ occorre definire 1τ_T .

Il diagramma a blocchi di figura 3.4 mostra come viene determinata la costante di tempo di ritardo e come quello di figura 3.3 è ottenuto dal diagramma principale di figura 3.2.

3 P no si 3 50 P ≥ 1 5.0 T τ =

(

)

fig.3.4 Relazione tra P3 e la costante di tempo di ritardo

Il diagramma a blocchi di figura 3.4 mostra che il valore acquisito dalla costante di tempo di ritardo dipende dal confronto della spinta percentuale attuale con quella di soglia P=50.

Infatti se questa è maggiore o uguale a P 1τT vale 5 sec

-1

; altrimenti acquisisce tutti i valori compresi tra 0,1 e 1 sec-1 con una legge che dipende dalla differenza tra la spinta percentuale target e quella attuale, come si osserva nella figura 3.5.

fig.3.5 Legame tra la costante di tempo di ritardo e (P2-P3)

La differenza di 1τ_T è così marcata tra quando la spinta percentuale attuale è inferiore o superiore al valore di soglia; perché nel secondo caso è attivo il post bruciatore che deve permettere rapide variazioni di spinta, mentre nel primo caso il post bruciatore non è attivo per cui i cambiamenti della spinta sono più graduali.

L’ultimo passo (figura 3.2) consiste nell’integrare , determinando così il nuovo valore della spinta percentuale attuale che serve per il calcolo della spinta.

3 P

Il diagramma della figura sottostante illustra come calcolare la spinta generata dal motore.

Questo come i diagrammi di flusso di figura 3.3 e 3.4 è estrapolato da quello di figura 3.2. 3 P no si 3 50 P ≥

(

) (

)

(

) (

)

idle mil idle

T =T + T −T ⋅ P

fig.3.6 Relazione tra P3 e T

La spinta Tè determinata tramite una espressione lineare che si appoggia su un database sperimentale costituito da tre matrici denominate :T_idle,T_mil,T_max1.

Ogni matrice fornisce un valore della spinta per ogni coppia di quota e Mach di volo come si nota dalla figura 3.7.

In particolare e per un qualsiasi di numero di Mach forniscono dei valori di spinta che diminuiscono con la quota.

mil

T T_max

Mentre fornisce dei valori di spinta con andamenti differenti da quelli di e , ad esempio, per alti numeri di Mach e basse quote dà una spinta negativa.

idle

T T_mil T_max

1

Vedere appendice A pagina 587 de “Aircraft control and simulation” [1] dove sono riportate le matrici del database che sono rispettivamente chiamate A, B, C.

mil

T T_max

i d l e

T

fig.3.7 Spinte

La fornisce la spinta nel caso in cui la manetta si trovi nella posizione di minimo e la quando la manetta è nella posizione di massimo, mentre la è stata introdotta per tener conto del fatto che nel motore del F-16 è presente il post bruciatore.

idle

T

max

T Tmil

Sono presenti due espressioni (figura 3.6) che permettono di ricavare la spinta e la scelta dell’una o dell’altra come nel caso della costante di tempo di ritardo dipende solamente dal valore che P3 ha rispetto a P .

In riferimento alla figura 3.2 vediamo che il modello del motore ha quattro modalità di funzionamento (a seconda del valore che la spinta percentuale richiesta e attuale hanno rispetto a P ) come illustrato nella tabella 3.1.

I P₁<50 e P₃<50 Il post bruciatore è sempre spento

II P₁<50 e P₃≥50 Passaggio da una condizione con il post bruciatore acceso ad una con il post bruciatore spento

III P₁≥50 e P3<50 Passaggio da una situazione con il post bruciatore non attivo

ad una con il post bruciatore attivo IV P₁≥50 e P₃≥50 Il post bruciatore è sempre attivo

Tab 3.1 Modalità di funzionamento

Delle quattro modalità di funzionamento la prima e la quarta possono essere considerate quelle fondamentali con le quali determinare per ogni condizione di volo la spinta generata dal propulsore.

Mentre le altre sono necessarie per accordare in maniera migliore le variazioni della spinta che si ottengono con il modello rispetto ai dati sperimentali, quando si ha il

passaggio da una situazione con il post bruciatore attivo ad una in cui è spento o viceversa.

Nel testo intitolato “Aircraft control and simulation” [1] troviamo un programma scritto in linguaggio fortran che descrive tutta la dinamica del velivolo militare F-16 e

all’interno del quale sono presenti sei procedure che rappresentano la dinamica del motore e il cui funzionamento è stato appena illustrato.

Queste sono state studiate separatamente rispetto alla dinamica complessiva dell’aereo per poterne realizzare la versione in Simulink illustrata di seguito.

fig.3.8 Modello Simulink complessivo della dinamica del motore

A sinistra nella figura 3.8 vediamo una serie di gradini di ingresso che sommati tra loro formano un unico comando rappresentante la posizione che la manetta acquisisce durante la simulazione.

Le caratteristiche dei singoli gradini sono state fissate in modo che il comando risultante sia capace di sollecitare tutte e quattro le modalità di funzionamento, così da poter vedere come ognuna di queste interviene sulla variazione della spinta (figura 3.12).

Più a destra c’è la “lookup table” TGEAR che lega la manetta alla spinta percentuale richiesta (figura 3.1).

Prima di continuare nella spiegazione del modello Simulink spendiamo qualche parola su cosa sono le “lookup tables”.

Le “lookup tables” sono delle tabelle di dati che consentono di ottenere un uscita fornendo un certo numero di ingressi.

Queste sono classificate in uni, bi o multi dimensionali a seconda del numero degli ingressi.

Per capire come funziona una “lookup table” è bene fare un esempio basandoci per semplicità su quella uni dimensionale.

All’interno di questa sono definiti due vettori: il primo denominato X contiene alcuni o tutti i valori che può assumere l’ingresso e deve essere ordinato in maniera monotona crescente, mentre l’altro chiamato Y contiene i valori che può acquisire l’uscita in corrispondenza dei valori assegnati all’ingresso.

La “lookup table” determina l’uscita facendo uso di metodi di interpolazione che si basano sull’ingresso fornito e sui vettori X e Y in essa definiti.

Per quelle bi o multi dimensionali il funzionamento è il medesimo di quella uni dimensionale solamente il vettore X non è più uno solo; ma il suo numero dipende da quanti sono gli ingressi, mentre Y non è più un vettore, ma diventa una matrice o una matrice multi dimensionale a seconda del numero degli ingressi.

Ritornando allo studio della figura 3.8, notiamo in basso a destra la presenza di tre

“lookup tables” bidimensionali che hanno come ingressi la quota, il Mach di volo e come uscite tre valori della spinta denominati: T_idle,T_mil eT_max.

La spinta percentuale attuale ( ); ottenuta per integrazione della derivata della spinta percentuale attuale che è determinata dagli elementi che si trovano all’interno della linea rossa (figura 3.8), è adoperata come ingresso assieme a T_idle, T_mil e T_max per la “lookup table” dinamica.

3

P

La “lookup table” dinamica come le altre “lookup tables” determina l’uscita sfruttando metodi interpolatori.

La differenza che contraddistingue quella dinamica dalle altre consiste nel fatto che occorre solo definire il vettore X di ingresso che è l’elemento centrale a sinistra della “lookup table”, come si vede dalla figura 3.8, mentre non occorre predefinire il vettore Y dell’uscita, ma questo di volta in volta è acquisito dalle uscite delle “lookup tables” bidimensionali.

Sostanzialmente la “lookup table” dinamica svolge la funzione del diagramma a blocchi di figura 3.6.

Un elemento importante è il blocco “subsystem” denominato “Dati della dinamica motore” che si occupa della determinazione della spinta percentuale target e della costante di tempo di ritardo.

Nella figura 3.9 sono riportati gli elementi contenuti all’interno del blocco “Dati della dinamica motore”.

fig.3.9 Dati della dinamica motore

Dalla figura 3.9 vediamo che sono presenti due sotto blocchi denominati:

“Spinta%target”, “Costante di tempo” e già dai loro nomi si intuisce qual’è la funzione che svolgono.

fig.3.10 Costante di tempo

All’interno di “Costante di tempo” (figura 3.10) vi sono due elementi fondamentali: • “lookup table”

• “switch”.

La “lookup table”, in base alla differenza tra la spinta percentuale target e quella attuale, fornisce la costante di tempo ritardo che può avere un valore compreso tra 0,1 e 1 come si vede nella figura 3.5.

Lo “switch” svolge la funzione di operatore relazionale all’interno del quale è definita una condizione (riportata alla base dello “switch”) che l’ingresso, che nel nostro caso è la spinta percentuale attuale, può soddisfare o no a seconda dei casi.

Se la condizione è verificata alla variabile denominata “tau” a destra dello “switch” è assegnato il valore costante cinque, altrimenti quello fornito dalla “lookup table”. In sostanza lo “switch” realizza il diagramma a blocchi di figura 3.4.

fig.3.11 Spinta%target

La figura 3.11 rappresenta il contenuto del blocco “Spinta%target”.

Osserviamo che l’elemento fondamentale presente è lo “switch” di cui si è già spiegato il funzionamento.

Di questi ne sono presenti tre che realizzano in “linguaggio” Simulink il diagramma a blocchi di figura 3.3.

Tornando alla figura 3.8, per avere la derivata della spinta percentuale attuale non resta che moltiplicare la costante di tempo di ritardo con la differenza tra la spinta percentuale target e attuale, come si vede dagli elementi interni alla linea blu.

A conclusione della discussione sul modello Simulink, in figura 3.12 sono riportati dei grafici delle uscite delle grandezze principali considerate, che durante la simulazione sono memorizzate in vettori che in figura 3.8 sono rappresentati dagli elementi evidenziati in celeste.

fig.3.12 Uscite della simulazione

Il primo grafico a partire dall’alto rappresenta la posizione della manetta durante la simulazione.

Il secondo raffronta la spinta percentuale attuale con quella richiesta.

Nel terzo è rappresentata la variazione della derivata della spinta percentuale attuale durante la simulazione; mentre l’ultimo mostra quali valori di spinta genera il motore per l’ingresso fornito.

Di questi quattro grafici (figura 3.12) i più interessanti sono quelli centrali che sono riportati, più in dettaglio, in figura 3.13 e 3.15.

Riportiamo nella tabella sottostante per ogni intervallo di tempo considerato le diverse modalità di funzionamento del motore utilizzate per il calcolo della spinta.

Intervallo di tempo (sec) 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 Modalità di funzionamento (tabella 3.1) I I III e IV IV IV II e I I Tab.3.2

Data la definizione di ci aspetteremo che la spinta percentuale attuale nell’inseguire la spinta percentuale richiesta cresca o diminuisca con un andamento esponenziale come mostrato in figura 3.14; ma osservando il grafico di figura 3.13 si vede che in varie parti di questo ciò non accade.

3 P

fig.3.14 Andamento di riferimento

Perciò è utile analizzare l’evoluzione della spinta percentuale attuale negli intervalli di tempo in cui può essere suddivisa la simulazione.

Intervallo: • 0-5 sec

La spinta percentuale attuale ha un andamento che solo vagamente ricorda quello di riferimento di figura 3.14 (A); perché questa all’inizio ha la concavità rivolta verso l’alto e poi verso il basso, con un flesso attorno ai due secondi che raccorda questi due tratti di curva.

Questo è legato al fatto che 1τ_T non è costante per tutto l’intervallo di tempo considerato, infatti all’istante iniziale t = 0 secondi ha un valore poco superiore a 0,1, mentre all’istante t = 5 secondi ha un valore poco inferiore all’unità.

• 5-10 sec

La curva della spinta percentuale attuale decresce con un andamento uguale a quello di riferimento (figura 3.14 (B)); perché 1τ_T resta costante per tutto l’intervallo ed è uguale ad uno.

• 10-15 sec

Questo rappresenta l’intervallo di tempo più interessante di tutta la simulazione. Considerando l’evoluzione della spinta percentuale attuale nell’interezza

dell’intervallo preso in esame questa ha un andamento non confrontabile con quello di riferimento.

Tuttavia suddividendo questo arco di tempo in due parti ci accorgiamo che dal tredicesimo al quindicesimo secondo lavora la modalità di funzionamento IV e la curva ha un andamento come quello previsto in figura 3.14 (A), perché 1τ_T è costante.

Inoltre come si osserva tale tratto di curva cresce molto rapidamente, perchè la costante di tempo di ritardo è elevata (n.b vale 5).

La spinta percentuale attuale tra il decimo e il tredicesimo secondo ha un andamento analogo a quello tra zero e cinque secondi, infatti anche in questo intervallo di tempo è presente un flesso che raccorda le due concavità differenti della stessa curva e 1τ_T non è costante, ma vale 0,1 per t = 10 secondi ed uno per t = 13 secondi.

La principale differenza che salta agli occhi è che la spinta percentuale attuale tra il decimo e il tredicesimo secondo ha un andamento più ripido rispetto a quello tra l’istante iniziale e il quinto secondo.

Questa diversità è dovuta al fatto che vi sono delle differenze nelle definizioni tra le modalità di funzionamento I e III.

I successivi intervalli non sono considerati in quanto non c’è niente di utile da mettere in evidenza; perché si incontrano delle situazioni che si sono già presentate nei primi quindici secondi e perciò sono state già discusse.

fig.3.15 Derivata della Spinta percentuale attuale

Dalla figura 3.15 si vede che la derivata della spinta percentuale attuale ha un andamento abbastanza regolare per tutta la simulazione tranne negli istanti in cui è attivo il post bruciatore in cui una piccola variazione della spinta percentuale richiesta causa una forte variazione della P₃.

Questo grafico conferma quanto detto in precedenza circa la funzione che deve svolgere il post bruciatore; ovvero garantire rapidi cambiamenti di spinta che in questo modello dinamico possono essere ottenuti solo se la derivata della spinta percentuale attuale varia velocemente.

3.2 Modello Gas turbine theory

Il modello discusso nella presente sezione è tratto dal testo “Gas turbine theory” [2] e determina la dinamica di un motore turbojet costituito dagli elementi illustrati nella figura 3.16.

Il pregio di questo modello è quello di realizzare la dinamica complessiva del propulsore attraverso quella dei componenti che lo costituiscono come si può vedere dallo schema di figura 3.17.

fig.3.16 Motore turbogetto

Lo schema di figura 3.17 è costituito complessivamente da otto blocchi.

Alcuni di essi rappresentano i componenti del motore, uno la dinamica del rotore e i restanti denominati A, B, C contengono una serie di equazioni algebriche che producono dati necessari al modello dinamico, affinché questo svolga correttamente tutte le sue routines e possa determinare il transitorio quando il propulsore passa da una condizione stazionaria ad un’altra.

N N 1 t T ∆T₁₂ ∆T₃₄ Q 1 t P Q Q_combustibile 3 t T 2 t T 1 1 t t Q⋅ T P T_t4 T _t1 c Π 4 4 t t Q⋅ T P 4 1 t t P P Π_t b Π 1 t a P P T_t3 T _t4 Dinamica del Rotore

B

A

C

fig.3.17 Schema del modello turbojet

Prima di elencare quali sono le equazioni presenti all’interno di ogni blocco di figura 3.17 è utile sottolineare che i pedici delle varie grandezze termodinamiche adoperate sono riferiti ai punti del propulsore dove queste sono valutate (figura 3.16).

Compressore 1. T_t2 =T_t1+ ∆T₁₂ con ( 1) 1 12 1 a a t c c T T γ γ η − ⎡ ⎤ ⋅ Π_⎣ − _⎦ ∆ = 2. P_t2 = Π ⋅_c P_t1.

In aggiunta alle equazioni sopra riportate è presente una mappa di funzionamento che descrive il comportamento del compressore (figura 3.18).

La mappa di funzionamento del compressore con gli ingressi Π e _c N T permette di _t1 determinare Q⋅ T_t1 P_t1 e il rendimento η_c. c Π 1 t N T 1 t N T c η 1 1 t t Q⋅ T P

fig 3.18 Mappa Compressore

Camera di combustione

3. Qcombustibile⋅ ⋅ki ηcc = ⋅Q T

(

)

Turbina

Oltre alle equazioni è presente una mappa di funzionamento che definisce il comportamento della turbina (figura 3.19).

Fornendo alla mappa gli ingressi N T e _t3 Π si determina _t η_t, mentre con il solo Π si _t fissa Q⋅ Tt3 Pt3.

Le equazioni da 4 a 7 sono impiegate all’interno del diagramma di flusso di figura 3.21 dove si determina uno stato della turbina compatibile con quello posseduto dal

compressore. 4. 3 4 2 1 1 3 1 3 pa t t t t t t t t pg C T T T T T T T T C η_m − ₌ − _{⋅ ⋅}

⋅ bilancio meccanico espresso in termini non

dimensionali. 5. 1 3 3 1 t t t t T N N T T = T ⋅ .

6. T_t4 =T_t3− ∆T₃₄ con _{34 3} 1 (1 g) g t t t T T η ⎡ −γ γ ⎤ ∆ = ⋅ ⋅ − Π_{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ e t t3₄ t P P Π = . 7. 3 1 3 3 1 1 1 t t t t t c b Q T Q T T P P ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Π Π Tt1 con 2 1 t c t P P Π = e 3 2 t b t P P Π = . 1 1 t t

Q⋅ T P e Q⋅ T_t3 P_t3 sono la portate d’aria ridotte in ingresso al compressore ed alla turbina, rispettivamente. t η 3 t N T 3 3 t t Q⋅ T P t Π

fig 3.19 Mappa Turbina

Ugello di scarico 8. 4 3 4 4 3 t t t t t t Q T Q T T P P ⋅ ⋅ = ⋅Π ⋅ 3 t T con 3 4 t t t P P Π = 9. 4 4 t ristretta g t Q T A Q P R ⋅ = = Γ ⋅ con ( 1) ( 1) 2 1 g g g g g γ γ γ γ + − ⎛ ⎞ Γ = ⋅⎜_⎜ ⎟_⎟ + ⎝ ⎠ e è un dato

noto, perché è fornito dalla geometria dell’ugello di scarico.

ristretta

Le espressioni 8 e 9 sono usate nel diagramma a blocchi di figura 3.20 nel quale si determina la continuità di massa attraverso i componenti del motore.

4 t t

Q⋅ T P₄ indicata nelle espressioni 8 e 9 è la portata ridotta del gas combusto in entrata nell’ugello di scarico.

La formulazione del secondo membro della equazione 9 è dovuta all’imposizione della seguente condizione:

• Raggiungimento della pressione critica in uscita dall’ugello di scarico.

Il primo membro dell’equazione (9) si può scrivere 4 4

5 4 5 t t S ristretta t Q T T V A P ρ T ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ che

manipolata assume la forma:

(a) 4 4 4 4 5 1 t S ristretta t t t e Q T V A T P T R T ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Π .

Il primo e il quarto termine del secondo membro della equazione sopra riportata si esprimono secondo le seguenti relazioni:

(b) ( ) 2 1 4 2 1 g g S pg e e t V C T γ γ η ⎡ − ⎤ = ⋅ ⋅ ⋅ − Π_{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ (c) 5 4 5 (1 ) 4 4 1 t 1 1 g g e e t t T T T T T γ γ η − − _{⎡ ⎤} = − = − ⋅ − Π_{⎢ ⎥} ⎣ ⎦.

In aggiunta occorre l’espressione della pressione critica data da:

(d) ( 1) 4 1 1 1 1 g g g cr t e g P P γ γ γ η γ − ⎡ ⎛ − ⎞⎤ = ⋅ −⎢ ⋅⎜_⎜ ⎟_⎟⎥ + ⎢ _{⎝ ⎠}⎥ ⎣ ⎦ .

Il rapporto di pressione dell’effusore è Π =_e P_t4 P₅, ma a causa dell’imposizione della condizione enunciata in precedenza (P₅ =P_cr) questo può essere scritto nella seguente forma (1 ) 4 ₁ 1 1 1 g g g t e cr e g P P γ γ γ η γ − ⎡ ⎛ − ⎞⎤ Π = = −⎢ ⋅⎜_⎜ ⎟_⎟⎥ + ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦

che inserito nelle equazioni (b) e (c) le

trasforma in: (b1) 2 4 1 2 1 g S pg t g V C T γ γ ⎛ − ⎞ = ⋅ ⋅⎜_⎜ ⎟_⎟ + ⎝ ⎠ (c1) 5 4 2 1 t g T T = +γ . Le seguenti relazioni:

(e) Cpg−Cvg =R (f) pg g vg C C

γ = permettono di modificare (b1) ottenendo: (b2) 2 g t4 2 T 1 S g R V γ γ ⋅ ⋅ = + .

Allora sostituendo (b2) e (c1) nella equazione (a) si consegue:

(1 ) (1 ) ( 1) 4 4 2 1 2 2 1 2 1 1 g g g g g g t ristretta ristretta g t g g g R Q T A A P R R γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ + + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎜_⎜ ⎟_⎟ = ⋅⎜_⎜ ⎟_⎟ ⋅ + _⎝ + _{⎠ ⎝} + _⎠ .

Imporre la pressione a valle dell’ugello di scarico uguale alla pressione critica ha come conseguenza che la portata ridotta Q⋅ T_t4 P_t4 diventa costante e acquisisce il massimo valore possibile (detto di bloccaggio) per la condizione di volo nella quale si trova il motore, inoltre non è più dipendente da Π come è osservabile dal confronto del secondo _e membro della equazione (a) con quello della 9.

Dinamica del rotore

10. J⋅ = ⋅ω Q C

(

)

(

)

La equazione 10 è impiegata per il calcolo del numero dei giri.

Mentre le equazioni inserite all’interno dei blocchi A, B, C, sotto riportate, sono impiegate nei diagrammi di flusso di figura 3. 20 e 3.21.

Blocco A 11. 4 1 t c t t P P Π ⋅Π = Π b

con rapporto di pressione della camera di combustione che è un dato costate, definito dall’utente.

b Π Blocco B 12. 3 1 3 3 1 1 1 t t t t t c b Q T Q T T P P ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Π Π Tt1 con 2 1 t c t P P Π = e 3 2 t b t P P Π = 13. 4 3 4 4 3 t t t t t t Q T Q T T P P ⋅ ⋅ = ⋅Π ⋅ 3 t T con 3 4 t t t P P Π =

14. 4 1 1 4 4 1 4 t t t t t t t Q T Q T P T P P P ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 1 t T . Blocco C 15. 4 3 4 4 3 t t t t t t Q T Q T T P P ⋅ ⋅ = ⋅Π ⋅ 3 t T con 3 4 t t t P P Π = .

I capisaldi di questo modello sono la determinazione del bilancio energetico e il bilancio di massa.

Il bilancio di massa consiste nel soddisfacimento della continuità di massa attraverso tutti i componenti sia quando il motore è in una condizione di regime che transitoria. Il bilancio energetico non è altro che il calcolo della differenza di potenza tra quella prodotta dalla turbina e quella assorbita dal compressore.

Questa differenza è sfruttata all’interno del modello dinamico per determinare

l’accelerazione angolare del rotore che integrata fornisce il numero dei giri del motore. Se l’accelerazione angolare (ω ) è nulla non c’è variazione del numero dei giri di

conseguenza il motore è in una condizione di regime, altrimenti c’è un cambiamento del numero dei giri per cui il propulsore è in una condizione non stazionaria.

In questo modello il motore all’istante iniziale della simulazione è in una condizione di regime rappresentata da un vettore di stato i cui elementi sono la portata d’aria in ingresso al compressore ( ), il numero dei giri del motore ( ) e da tutte le pressioni e le temperature misurate alle stazioni di rilevamento del propulsore.

Q N

La simulazione al generico istante ( ) inizia con il calcolo della temperatura a valle della camera di combustione ( ). i t 3 t T

La all’istante considerato ( ) è calcolata tramite la equazione 3 contenuta nel blocco “Camera Combustione” che ha come ingressi il valore di all’istante e il valore di calcolato all’istante (

3 t

T ti

combustibile

Q t_i

Q ti−1) precedente a quello considerato.

Successivamente è coinvolto il blocco “Turbina” che ha come ingressi e calcolati all’istante che mediante la mappa di funzionamento della turbina determinano

t

Π N

1 i

t₋ η_t

(efficienza della turbina) per l’istante . t_i

Adesso sfruttando la equazione 6, η_t appena calcolato, il Π adoperato per fissare _t η_t e proveniente dal blocco “Camera Combustione” è determinato il per l’istante .

3 t

Questo assieme a ∆ e T₁₂ Q (calcolati all’istante t_i−1) provenienti dal blocco

“Compressore” sono gli ingressi per il blocco “Dinamica del Rotore” che fissa il numero di giri del propulsore per l’istante (bilancio energetico). t_i

Dopo la determinazione del nuovo numero di giri occorre verificare la continuità di massa (bilancio di massa) che coinvolge tutti i blocchi in figura 3.17 i quali interagiscono tra loro con una sequenza rappresentabile tramite i diagrammi a blocchi di figura 3.20 e 3.21.

No

No

Si Punto di funzionamento sulla mappa del

compressore:Q⋅ T_t1 P_t1,η_c e Π _c A Calcolare Q⋅ T_t4 P_{t 4}da (8) Selezionare un altro punto di funzionamento del compressore sulla stessa isogiri 4 4 (9) 4 4 (8) t t t t Q⋅ T P da = ⋅Q T P da 4 4 t Pt ⋅ Q T da (9) Calcolare B

Iterazione generatore di gas vedi figura 3.21 Selezionare N T t1

fig.3.20 Bilancio di massa

All’uscita dal diagramma a blocchi di figura 3.20 si è determinata la continuità di massa attraverso gli elementi che costituiscono il propulsore per il nuovo valore dei giri del motore.

t Π (Primo Tentativo) No Si Si Introduzione di Π _t

Dalla mappa della turbina si ha Q⋅ T_t3 P_t3

Da (6) calcola ancora T _t3

Aggiornare

t

Π Dalla mappa della turbina si

ottiene ηt Da (7) si ottiene Tt3 t1 e quindi T T 3 t Da (4) si ottiene T t4 Da (5) si ottiene N T _t3 3 (6) 3 (7) t t T da =T da Da (1) si ottiene T _t2 A B

fig.3.21 Iterazione generatore di gas

L’uscita dal ciclo più interno chiamato “Iterazione generazione gas” consente di avere uno stato di funzionamento della turbina compatibile con quello del compressore per il nuovo valore dei giri del propulsore.