Capitolo 4 SISTEMI STUDIATI

Capitolo 4

SISTEMI STUDIATI

4.1 Generalità

Arrivati a questo punto del nostro studio è importante decidere da che tipo di modello partire. In altre parole, bisogna stabilire che grado di completezza dare al nostro sistema iniziale, cioè quali elementi considerare e quali trascurare. Non bisogna comunque dimenticare che un modello molto semplice può portare a delle approssimazioni troppo forti del fenomeno reale ed uno troppo complicato ad un inutile spreco di tempo ed energie.

4.2

Sistema rigido

4.2.1 Riduzione del sistema

In prima approssimazione si è pensato di utilizzare un modello che trascurasse l’effetto delle due cinghie presenti nella trasmissione, quella del CVT e quella sincrona di riduzione finale. Al posto delle quattro pulegge si sono sostituite due coppie di ruote dentate aventi il medesimo momento d’inerzia polare, in grado di realizzare lo stesso rapporto di trasmissione del sistema reale. Il sistema è stato chiamato rigido in quanto la presenza delle due cinghie avrebbe inserito un grado di cedevolezza in più alla trasmissione stessa.

J

1

J

3

J

2

J

6

J

8

J

10

J

5

J

7

J

9

K

1

K

2

K

4

K

3

K

5

K

6

J

4

τ

cvt

τ

τ

cd

Figura 4-1 – Schema del drive-train in configurazione “rigida”

Si sono riportate tutte le inerzie e le rigidezze del sistema, la cui attuale configurazione è evidenziata dalla Figura 4-1, sull’asse motore in modo da ottenere un nuovo sistema avente la medesima energia cinetica ed energia potenziale; quindi del tutto equivalente(Figura 4-2).

J

7

J

6

J

5

J

4

J

2

J

1

K

6

K

5

K

4

K

3

K

2

K

1

θ

7

θ

6

θ

5

θ

4

θ

3

θ

2

θ

1

C

1

C

2

C

3

C

4

C

5

C

6

J

3

Tramite i valori dei rapporti d’ingranaggio 079 . 2 4 3 = = θ θ τcvt (57)

dove θ₄ =angolo di rotazione puleggia condotta CVT

565 . 2 23 59 6 7 7 6 = = = = z z θ θ τ (58)

dove θ₆, z e ₆ θ₇,z sono rispettivamente l’angolo di rotazione e il numero di denti ₇ dei due ingranaggi aventi momenti d’inerzia J6 e J7, ed infine

300 . 2 30 69 8 9 9 8 = = = = z z cd θ θ τ (59)

dove θ₈, z e ₈ θ₉,z sono rispettivamente l’angolo di rotazione e il numero di denti ₉ delle due pulegge dentate aventi momenti d’inerzia J8 e J9 è possibile calcolare i

valori dei momento d’inerzia e delle rigidezze torsionali degli alberi riportati all’asse motore.

In Tabella 3 ed in Tabella 4 sono riportati tali valori.

E’ da notare come le massette della frizione, aventi un momento d’inerzia polare di

2

4

J , si sono considerate facenti parte della campana della frizione stessa. Questa

considerazione è valida per tutti i sistemi che verranno studiati in seguito.

A questo punto, avendo a disposizione tutti i valori necessari sono state scritte le equazioni di equilibrio del sistema rigido, il quale in questa prima fase è stato considerato privo di momenti esterni applicati.

Tabella 3 – Momenti d’inerzia del sistema equivalente Volano Valore 2 m Kg⋅ 1 J 6 10 6600⋅ − 2 J 6 10 9708⋅ − 2 4 3 3 2 _cvt J J J τ ⋅ + = 6 10 12033⋅ − 2 5 4 4 2 cvt J J J τ + = 6 10 7468⋅ − 2 6 2 7 5 cvt J J J τ τ + = 6 10 124⋅ − 2 2 8 2 9 6 _{τ τ} τ ⋅ + = cvt cd J J J 6 10 421⋅ − 2 2 2 10 7 cd cvt J J τ τ τ ⋅ ⋅ = 6 10 185914⋅ −

Tabella 4 – Rigidezze torsionali del sistema equivalente

Rigidezza torsionale Valore

rad m N⋅ 1 K 35617 2 K 29925 2 3 3 cvt K K τ = ₁₇₉₉₈₃ 2 4 4 cvt K K τ = ₂₂₉₆₂ 2 2 5 5 _{τ τ} ⋅ = cvt K K ₂₉₅₅ 2 2 2 6 6 cd cvt K K τ τ τ ⋅ ⋅ = ₁₂₉₁

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + − + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + − + 0 0 0 0 0 0 0 7 6 6 6 7 6 6 6 7 7 7 6 6 6 5 5 5 7 6 6 6 5 5 5 6 6 6 5 5 5 4 4 4 6 5 5 5 4 4 4 5 5 5 4 4 4 3 3 3 5 4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 3 3 2 2 2 4 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ K K C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K C C J & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & && (60)

Per avere una notazione più pratica le precedenti equazioni sono state scritte in forma matriciale J ϑ&& +C ϑ& +K ϑ =0 (61) Con J ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 J J J J J J J

C

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − + − − + − − + − − = 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − + − − + − − + − − = 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K K K K K K K K K K K K K K K K K k K K K K K K K 4.2.2 Analisi modale

Per svolgere l’analisi modale del sistema è stato affrontato il problema degli autovalori. Come descritto nel Paragrafo 3.4.1 è stata impostata la seguente equazione matriciale

dove sostituendo i t

eω

θ =Θ⋅ si è giunti alla

(−ω2_{J+K )}⋅Θ_{=0 (38)}

Indicando con A= J-1 K, si può impostare la seguente equazione

det (A₋ω2_{I)=0 (40)}

Una volta trasferiti tutti i dati necessari in ambiente software Matlab® 7.0 è stato possibile risolvere la (40) in modo da ottenere i valori delle pulsazione proprie del sistema

{

}

T 41 . 2322 05 . 1007 83 . 523 19 . 485 83 . 263 80 . 26 0 = Ω Hz

e degli autovettori, ortogonali alla matrice J dei momenti d’inerzia polari dei volani, i quali sono stati raccolti nella seguente matrice

Y =[Θ ,(1) Θ ,…,(2) Θ ] (n)

4.2.3 Calcolo dei coefficienti di smorzamento

A questo punto avendo a disposizione tutti i fattori necessari è stato possibile calcolare i coefficienti di smorzamento del sistema seguendo il procedimento descritto nel Paragrafo 3.4.3.

Ricordando che

C=α J+βK (35)

ed applicando la seguente trasformazione

YT C Y=α YT J Y +β YT K Y (62)

Γ=α J*+βK* (63)

dove

YT C Y= Γ YT J Y= J* YT K Y= K* (64) sono matrici diagonali e vengono dette principali.

Lo smorzamento modale per il modo i-esimo è

i i i CR i i C ω γ γ ξ ⋅ = = 2 (65)

dove γ_i è un elemento della matrice Γ e CCR_i è lo smorzamento critico relativo

all’i-esimo modo proprio.

Ricordando che γ_i può essere espresso con la seguente equazione

2

i

i α βω

γ = + (66)

si ricava che lo smorzamento modale per il modo i-esimo è

2 2 i i i ω β ω α ξ ⋅ ⋅ ⋅ = ₍₆₇₎

A questo punto, imponendo il valore di tutti gli smorzamenti modali è possibile ricavare, ancora una volta per mezzo del software Matlab® 7.0, con il metodo dei minimi quadrati il valore di α e β [6]. Questi ultimi, una volta sostituiti nell’equazione (35) ci forniscono gli smorzamenti del sistema equivalente.

In Tabella 5 sono riportati i valori degli smorzamenti calcolati per tre diversi livelli di smorzamento modale, supposto costante per tutti i termini.

Tabella 5 – Coefficienti di smorzamento Coefficiente rad Nms % 2 = i ξ ξ_i =5% ξ_i =10% 1 C 0.14435 0.36084 0.72169 2 C 0.12127 0.30318 0.60635 3 C 0.72938 1.82340 3.64690 4 C 0.09305 0.23263 0.46527 5 C 0.01198 0.02994 0.05988 6 C 0.00523 0.01308 0.02616

4.3

Sistema con cinghie

Dopo aver studiato il sistema rigido si è pensato di analizzare il sistema completo delle due cinghie, quella del CVT e quella sincrona di riduzione finale (Figura 4-3). In questo modo si ha senza dubbio un sistema meno approssimato di quello precedente e quindi più vicino alla realtà.

J

1

J

3

J

2

J

6

J

8

J

10

J

5

J

7

J

9

K

1

K

2

K

4

K

3

K

5

K

6

J

4

τ

cvt

τ

τ

cd

Per prima cosa sono state analizzate separatamente le due cinghie per quantificare il loro contributo al comportamento dinamico del sistema.

4.3.1 Cinghia trapezoidale del cambio di velocità CVT

Si è pensato di sostituire al sistema formato dalle due pulegge, indicate in Figura 4-3 con J3e J4, e la cinghia un sistema equivalente composto ancora una volta dalle due pulegge, questa volta però collegate da un tratto di albero che presenti le stesse caratteristiche elastiche della cinghia. Si è resa necessaria la valutazione del coefficiente di elasticità estensionale della cinghia stessa. Tramite un modello sviluppato in ambiente software MSC.ADAMS® dall’azienda è stato possibile simulare la condizione di carico evidenziata in Figura 4-4 ,ed ottenere un grafico (Figura 4-5) che ci fornisse l’aumento d’interasse causato dall’applicazione di una determinata forza sul mozzo della puleggia motrice (J3).

α

F

L I R4 R3 x

Figura 4-4 – Schema della prova simulata

Dove 079 . 2 3 4 4 3 = = = R R cvt _θ θ τ ₍₆₈₎

mm I mm R mm R 205 83 40 4 3 = = = gradi I R R 846 . 11 arctan 4 3 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = α (69) mm I L 209.461 cos = = α (70)

Figura 4-5 – Grafico della simulazione effettuata sulla cinghia

In Tabella 6 sono riportati i valori della forza F applicata e della variazione d’interasse ∆I che si sono estratti dal grafico di Figura 4-5.

Tabella 6 – Dati ricavati dal grafico Forza-Spostamento puleggia Punto F N ∆I mm 1 300.000 1.125 2 325.000 1.375 3 353.125 1.625 4 381.250 1.875

Il carico F applicato al mozzo della puleggia motrice si scarica con una forza,

α cos 2 1 ⋅ = F F ₍₇₁₎

ricavabile con semplici considerazioni di equilibrio (Figura 4-6), su ogni ramo della cinghia provocando un allungamento ∆L della stessa. A questo punto avendo a disposizione l’incremento di carico ∆F1 e il ∆L ad esso associato si può calcolare tramite le seguente equazione

L F K ∆ ∆ = 1 ₍₇₂₎

una stima del coefficiente di rigidezza estensionale della cinghia in funzione dell’allungamento.

F

F

1

F

1

α

In Tabella 7 sono riportati tutti i valori calcolati.

Tabella 7 – Dati calcolati riguardanti la prova

Tratto ∆F N ∆I mm ∆L mm ∆F1 N K mm N 1-2 25.000 0.250 0.244 12.768 52.328 2-3 28.125 0.250 0.245 14.366 58.637 3-4 28.125 0.250 0.245 14.366 58.637

Dai valori così ottenuti si può ora calcolare il valore medio della rigidezza estensionale

mm N

K_medio =56.534 (73)

A questo punto bisogna tradurre questo valore in una rigidezza torsionale equivalente in modo da ottenere il sistema evidenziato in Figura 4-7.

K

cvt

J

4

J

3

θ

3

θ

3

Figura 4-7 – Schema equivalente puleggia motrice-puleggia condotta CVT

(

)

( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ⋅ − = + = = = − = Φ 2 1 1 2 3 3 2 1 0 2 1 3 1 2 3 D D R M F F F e F F D R F F M sen f β (74) dove = 0

F forza di precarico sui rami =

f coefficiente d’attrito fra cinghia e puleggia =

β angolo di semiapertura della gola della puleggia = 3 M momento motore R4 R3 M3 F1 F2 Φ _M4

Figura 4-8 – Schema di carico del CVT

Inoltre si può scrivere che

0

1 K l F

dove ∆l è l’allungamento istantaneo della cinghia. Ipotizzando che quest’ultimo sia

causato da una rotazione relativa ∆θ tra le pulegge, si può esprimere con la seguente relazione

(

3

)

3 4 4 4 4 3 3R R R R l=θ −θ = θ +∆θ −θ ∆ (76)

dove θ₃ e θ₄ sono le rotazioni reali delle due pulegge, mentre θ₃ esprime la rotazione della puleggia motrice nel caso in cui la cinghia sia infinitamente rigida.

Combinando le relazioni (76) e (75) e sostituendovi le seguenti espressioni

cvt

τ θ

θ 3

4 = R4 =R3⋅τcvt (77)

si giunge alla seguente relazione

(

)

2 1 1 3 3 3 1 + ⋅ − + ∆ ⋅ ⋅ = D D R M R K F medio θ (78) Se si sostituisce quest’ultima e la D F F 1

2 = nella prima equazione del sistema (74), con alcuni passaggi si giunge alla seguente espressione del momento motore

θ ∆ ⋅ ⋅ = 2 3 3 2K R M medio (79)

che evidenzia la sua dipendenza dalla rotazione relativa tre le due pulegge ∆θ . Riferendoci nuovamente alla Figura 4-7 si può quindi calcolare la rigidezza torsionale equivalente della cinghia trapezoidale del CVT

rad m N R K M Kcvt = medio⋅ = ⋅ ∆ = 2 32 181 3 θ (80)

4.3.2 Cinghia sincrona di riduzione finale

Per studiare questo elemento si applica lo stesso procedimento visto per la cinghia del CVT, utilizzando però la teoria delle cinghie dentate. Dalla configurazione di partenza (Figura 4-9) si vuole arrivare ad ottenere un sistema equivalente formato dalle due pulegge collegate da un tratto di albero avente le stesse caratteristiche elastiche della cinghia sincrona (Figura 4-10).

α L I R9 R8 M8 M9

Figura 4-9 – Schema di carico della cinghia sincrona

dove 300 . 2 8 9 9 8 = = = R R cd θ θ τ (81) mm I mm R mm R 7 . 509 7 . 120 5 . 52 9 8 = = = gradi I R R 632 . 7 arctan 9 8 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = α (82)

mm I L 514.300 cos = = α (83)

Inoltre la cinghia viene precaricata all’atto del montaggio con una forza

1000 0 = F N

K

cd

J

9

J

8

θ

8

θ

8

Figura 4-10 – Schema equivalente della cinghia sincrona

Esaminando l’equilibrio della puleggia avente momento d’inerzia J8 (Figura 4-11) si può scrivere

(

1 2

)

8

8 F F R

M = − (84)

e, tramite considerazioni energetiche

τ τ ⋅ ⋅ =M _cvt

M_{8 3} (85)

La forza sul ramo teso della cinghia può essere espressa anche in questo caso con la seguente relazione

(

8 8 9 9

)

0

(

(

8

)

8 9 9

)

0

1 K R R F K R R F

F = θ ⋅ −θ ⋅ + = θ +∆θ ⋅ −θ ⋅ + (86)

dove θ₈ e θ₉ sono le rotazioni reali delle due pulegge, mentre θ₈ esprime la rotazione della puleggia motrice nel caso in cui la cinghia sia infinitamente rigida. Sostituendo nella (86) le seguenti relazioni

cd τ θ θ 8 9 = R9 =R8⋅τcd (87) Si giunge all’equazione 0 8 1 K R F F = ⋅∆θ⋅ + (88)

F

2

F

1 M8

R

8

Figura 4-11 – Schema di equilibrio della puleggia motrice

Il coefficiente K è la rigidezza estensionale della cinghia sincrona. In questo caso si calcola sfruttando i dati forniti dal costruttore della stessa. Viene fornito un coefficiente, chiamato “tensile modulus”del valore di

20167 = ψ b l mmN ⋅

che ci permette di trovare l’allungamento di un tratto di cinghia di lunghezza l e

larghezza b dovuto all’applicazione di una forza F .

Ad esempio se ad un tratto di cinghia di lunghezza l=500 mm e larghezza b=30mm

viene applicato un carico F =1000 N, questo si allunga di

mm b F l l =0.826 ⋅ ⋅ = ∆ ψ (89)

Secondo quanto indicato in [8] una cinghia sincrona può essere trattata con lo stesso approccio utilizzato per le trasmissioni a catena, quindi la forza sul ramo scarico può essere scritta residua F F F₂ = ₀− (90) con A F z F F b z residua = ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⋅ = 1 1 360 sin sin γ γ (91) Dove b z z A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = γ γ 360 sin sin cinghia delle to avvolgimen di angolo ingrananti denti numero ruota della denti numero fianchi dei angolo = = ⋅ = = = β β γ 360 z z z b

combinando le (91), (90) e (88) si giunge all’espressione della differenza tra le forze agenti sui due rami della cinghia

(

A

)

F A R

K F

F₁− ₂ = ⋅∆θ⋅ ₈ 1− − ₀⋅ (92)

che sostituita nella (84) ci fornisce

(

)

(

8 0

)

8

8 K R 1 A F A R

M = ⋅∆θ⋅ − − ⋅ ⋅ (93)

che è proprio l’espressione che ci interessa visto che contiene il termine ∆θ. Supponendo di avere 13 736 . 164 2 180 15 = ⇒ = − = ° = b z α β γ si può calcolare 4 10 7 . 6 360 sin sin _{= ⋅} − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = b z z A γ γ

Il valore ottenuto è così piccolo che risulta possibile trascurare il fenomeno di scarico della cinghia rispetto al precarico, quindi la (93) diventa

2 8

8 K R

M = ⋅∆θ⋅ (94)

Il ramo di cinghia preso in esame ha una lunghezza l=514.3 mm e una larghezza di

32 =

b mm, se lo sottoponiamo ad un carico F =1000 N si allunga di una quantità,

che calcoliamo tramite la (89)

797 . 0 = ⋅ ⋅ = ∆ ψ b F l l

mm N l F K =1255 ∆ = (95)

Finalmente dalla (94) è possibile avere una stima della rigidezza torsionale equivalente della cinghia sincrona

rad m N R K M Kcd = ⋅ = ⋅ ∆ = 82 3459 8 θ (96)

4.3.3 Riduzione del sistema

Come si è già fatto per il sistema rigido sono state riportate tutte le inerzie e le rigidezze del sistema, la cui attuale configurazione è evidenziata dalla Figura 4-3, sull’asse motore in modo da ottenere un nuovo sistema avente la medesima energia cinetica ed energia potenziale; quindi del tutto equivalente(Figura 4-12).

J9 J8 J7 J6 J5 J4 J3 J2 J1 K6 Kcd K5 K4 K3 Kcvt K2 K1

θ

9

θ

8

θ

7

θ

6

θ

5

θ

4

θ

3

θ

2

θ

1 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

Figura 4-12 – Schema del sistema con cinghie riportato all’asse motore

Tramite i valori dei rapporti d’ingranaggio τ_cvt,τ ,τcd si calcolano i valori dei momenti

d’inerzia e delle rigidezze torsionali degli alberi riportati all’asse motore. In Tabella 8 ed in Tabella 9 si riportano tali valori.

Tabella 8 – Momenti d’inerzia del sistema equivalente Volano Valore 2 m Kg⋅ 1 J 6 10 6600⋅ − 2 J 6 10 9708⋅ − 3 J 6 10 9400⋅ − 2 4 4 2 _cvt J J τ ⋅ = 6 10 2633⋅ − 2 5 4 5 2 cvt J J J τ + = 6 10 7468⋅ − 2 6 2 7 6 cvt J J J τ τ + = 6 10 124⋅ − 2 2 8 7 cvt J J τ τ ⋅ = 6 10 63⋅ − cd cvt J J τ τ τ ⋅ ⋅ = ₂ 9₂ 8 358⋅10−6 2 2 2 10 9 cd cvt J J τ τ τ ⋅ ⋅ = 6 10 185914⋅ −

Tabella 9 – Rigidezze torsionali del sistema equivalente Rigidezza torsionale Valore rad m N⋅ 1 K 35617 2 K 29925 cvt K 181 2 3 3 cvt K K τ = ₁₇₉₉₈₃ 2 4 4 cvt K K τ = ₂₂₉₆₂ 2 2 5 5 τ τ ⋅ = cvt K K ₂₉₅₅ 2 2 τ τ ⋅ = cvt cd cd K K ₁₂₂ 2 2 2 6 6 cd cvt K K τ τ τ ⋅ ⋅ = ₁₂₉₁

Avendo a disposizione tutti i valori necessari sono state scritte le equazioni di equilibrio del sistema con cinghie, il quale in questa prima fase è stato considerato privo di momenti esterni applicati

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + − + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + − + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 6 8 6 9 6 8 8 9 9 9 6 8 6 7 9 8 8 8 7 7 7 8 8 8 7 5 6 5 8 7 7 7 6 5 5 7 7 7 5 6 5 4 5 4 7 6 6 6 5 5 5 6 6 6 4 5 4 3 4 3 6 5 5 5 4 4 4 5 5 5 3 4 3 3 5 4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 2 2 2 4 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ K K C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K C C J cd cd cd cd cvt cvt cvt cvt & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & && (97)

Per avere una notazione più pratica le precedenti equazioni sono state scritte in forma matriciale J ϑ&& +C ϑ& +K ϑ =0 (98) Con ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 J J J J J J J J J J

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − = 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − = 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K cd cd cd cd cvt cvt cvt cvt K 4.3.4 Analisi modale

Per svolgere l’analisi modale del sistema è stato affrontato il consueto problema degli autovalori. Operando nello stesso modo visto per il sistema rigido (Paragrafo 4.2.2) sono state calcolate le frequenze proprie e raccolte nel seguente vettore Ω :

{

}

T 88 . 2353 80 . 1528 68 . 1036 24 . 535 65 . 319 82 . 315 87 . 28 23 . 8 0 = Ω Hz

dalle quali è stato possibile ricavare gli autovettori, ortogonali alla matrice J dei momenti d’inerzia polari dei volani, i quali sono stati raccolti nella seguente matrice

Y =[Θ ,(1) Θ ,…,(2) Θ ] (n) (99)

4.3.5 Calcolo dei coefficienti di smorzamento

Seguendo il procedimento descritto nel Paragrafo 4.2.3 si sono calcolati i coefficienti di smorzamento, relativi a tre livelli di smorzamento modale, supposto costante per tutti i termini, i quali sono stati poi raccolti nella Tabella 10.

Tabella 10 – Coefficienti di smorzamento

Coefficiente rad Nms ξi =2% ξi =5% ξi =10% 1 C 0.14520 0.36301 0.72602 2 C 0.12200 0.30500 0.60999 3 C 0.00074 0.00187 0.00369 4 C 0.73375 1.83440 3.66880 5 C 0.09361 0.23403 0.46806 6 C 0.01205 0.03012 0.06024 7 C 0.00050 0.00124 0.00249 8 C 0.00526 0.01316 0.02632

4.4

Sistema con parastrappi in gomma

La Figura 4-13b evidenzia il sistema che verrà ora esaminato, dove è stato inserito un parastrappi in gomma (Figura 4-13a) di costante elastica torsionale K in modo p

da modificarne il comportamento dinamico.

J

1

J

3

J

2

J

6

J

8

J

10

J

5

J

7

J

9

K

1

K

2

K

4

K

3

K

5

K

p

J

4

τ

cvt

τ

τ

cd Parastrappi

Figura 4-13b – Schema del drive train

E’ stata eseguita una prova di laboratorio su due parastrappi di diversa rigidezza, già presenti in azienda, in modo da ottenere la caratteristica elastica torsionale K . Si è _p operato in questo modo: è stata rilevata la rotazione reciproca di due volani connessi dal parastrappi in questione, a seguito dell’applicazione di una coppia nota. I risultati della prova effettuata su di un parastrappi sono visibili nel grafico di Figura 4-14.

In Tabella 11 sono raccolti i valori estratti dal grafico, dai quali è possibile risalire alla rigidezza torsionale del parastrappi (“rigidezza bassa”) in funzione della rotazione relativa tra i due volani. Visto l’andamento non lineare della relazione tra momento applicato e rotazione (Figura 4-14), il valore della rigidezza torsionale K_P1 è stato

calcolato facendo la media tra i valori ( ~ ₁

p

K ) trovati per i tratti 0-1, 1-2 e 2-3, i quali si

possono supporre con sufficiente approssimazione lineari. Sono state utilizzate le seguenti relazioni

[

]

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ ⋅ = ° ⋅ ∆ ∆ =

∑

= _{N m rad} n K K m daN a M K n i i p p p π 1800 ~ ~ 1 (100) dove ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∆ = ∆ angolo di differenza momento di differenza a M

Tabella 11 – Dati relativi alla Figura 4-14

Tratto ∆a gradi M ∆ m daN⋅ 1 ~ p K grado m daN⋅ 1 ~ p K rad m N⋅ 1 p K rad m N⋅ 1 p K ∆ rad m N⋅ 0-1 1 3.5 3.5 2005 +674 1-2 1 5.1 5.1 2922 -243 2-3 1 5.7 5.7 3265 2679 -586

Svolgendo una prova del tutto analoga su di un altro parastrappi, avente diversa rigidezza torsionale, che chiamiamo a “rigidezza alta”, è stata rilevata la rigidezza torsionale equivalente K_p3 =10117 _{N⋅m rad.}

Si è proposto un terzo parastrappi di rigidezza torsionale intermedia tra i due elencati, denominato a “rigidezza media”. Il valore utilizzato è:

5867

2 =

p

4.4.1 Riduzione del sistema

Operando come al solito si è ridotto il sistema all’albero motore ottenendo il sistema di Figura 4-15 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 J9 J8 J7 J6 J5 J4 J3 J2 J1 Kp Kcd K5 K4 K3 Kcvt K2 K1

θ

9

θ

8

θ

7

θ

6

θ

5

θ

4

θ

3

θ

2

θ

1

Figura 4-15 – Schema equivalente del sistema con parastrappi in gomma ridotto all’asse motore

I valori dei momenti d’inerzia dei volani e delle rigidezze torsionali equivalenti sono gli stessi del sistema con cinghie, tranne quello della molla torsionale denominata K , _p la quale assumerà due distinti valori a seconda di quale parastrappi si è utilizzato. Nel caso si impieghi il parastrappi a “rigidezza bassa” si avrà

rad m N K K cvt cd a p p = ⋅ ⋅ ⋅ = _{2 2 2} 18 1 τ τ τ (101)

Per gli altri due invece si avrà:

rad m N K K cvt cd b p p2 =τ2 _⋅τ2_⋅τ2 =39 ⋅ N m rad K K cvt cd b p p3 =τ2 _⋅τ2_⋅τ2 =67 ⋅ (102)

Per i tre parastrappi si hanno le medesime equazioni di equilibrio del sistema, che si possono indicare come segue

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + − + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + − + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 8 9 6 8 8 9 9 9 8 7 9 8 8 8 7 7 7 8 8 8 7 5 6 5 8 7 7 7 6 5 5 7 7 7 5 6 5 4 5 4 7 6 6 6 5 5 5 6 6 6 4 5 4 3 4 3 6 5 5 5 4 4 4 5 5 5 3 4 3 3 5 4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 2 2 2 4 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ i p i p i p i p cd cd cd cd cvt cvt cvt cvt K K C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K C C J & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & && (103)

le quali scritte nella consueta forma matriciale

J ϑ&& +C ϑ& +K ϑ =0 (104) Definiscono le matrici ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 J J J J J J J J J J

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − = 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − = i p i p i p i p cd cd cd cd cvt cvt cvt cvt K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 K 4.4.2 Analisi modale

Si risolve il consueto problema degli autovalori per i tre valori di K e si ottengono i _p seguenti valori delle pulsazioni proprie:

{

}

T 88 . 2353 80 . 1528 66 . 1036 24 . 535 65 . 319 57 . 98 21 . 25 56 . 3 0 1 = Ω

{

}

T 88 . 2353 80 . 1528 67 . 1036 24 . 535 65 . 319 00 . 106 79 . 25 81 . 4 0 2 = Ω

{

}

T 88 . 2353 80 . 1528 67 . 1036 24 . 535 65 . 319 82 . 114 33 . 26 68 . 5 0 3 = Ω Hz

dalle quali è stato possibile ricavare gli autovettori, ortogonali alla matrice J dei momenti d’inerzia polari dei volani, i quali sono stati raccolti nelle seguenti matrici:

Y1 =[Θ ,(1) Θ ,…,(2) Θ ] (n)

Y2 =[Θ~(1),Θ~(2),…,Θ~(n)]

Y3 =[Θˆ(1),Θˆ(2),…,Θˆ(n)]

4.4.3 Calcolo dei coefficienti di smorzamento

Seguendo il procedimento descritto nel Paragrafo 4.2.3 si sono calcolati i coefficienti di smorzamento relativi a tre livelli di smorzamento modale (supposto costante per tutti i termini), per i tre parastrappi. In Tabella 12 e in Tabella 13 si riportano quelli relativi al parastrappi a “rigidezza bassa” e a “rigidezza media”.

Tabella 12 – Coefficienti di smorzamento del sistema con parastrappi a “rigidezza bassa”.

Coefficiente rad Nms % 2 = i ξ ξ_i =5% ξ_i =10% 1 C 0.14229 0.35573 0.71145 2 C 0.11955 0.29888 0.59776 3 C 0.00072 0.00181 0.00362 4 C 0.71904 1.79760 3.59520 5 C 0.09173 0.22933 0.45867 6 C 0.01181 0.02951 0.05903 7 C 0.00049 0.00122 0.00244 8 C 0.00007 0.00018 0.00036

Tabella 13 – Coefficienti di smorzamento del sistema con parastrappi a “rigidezza media”. Coefficiente rad Nms % 2 = i ξ ξ_i =5% ξ_i =10% 1 C 0.14218 0.35544 0.71088 2 C 0.11945 0.29864 0.59727 3 C 0.00072 0.00181 0.00361 4 C 0.71845 1.79610 3.59230 5 C 0.09166 0.22915 0.45830 6 C 0.01180 0.02949 0.05898 7 C 0.00049 0.00122 0.00244 8 C 0.00016 0.00039 0.00078

Nella Tabella 14 si riportano i coefficienti relativi al sistema con parastrappi a “rigidezza alta”.

Tabella 14 – Coefficienti di smorzamento del sistema con parastrappi a “rigidezza alta”.

Coefficiente rad Nms % 2 = i ξ ξ_i =5% ξ_i =10% 1 C 0.14217 0.35542 0.71085 2 C 0.11945 0.29862 0.59725 3 C 0.00072 0.00181 0.00361 4 C 0.71842 1.79610 3.59210 5 C 0.09166 0.22914 0.45828 6 C 0.01120 0.02949 0.05898 7 C 0.00049 0.00122 0.00243 8 C 0.00027 0.00067 0.00134

4.5

Sistema con parastrappi tipo “disco frizione”

J1 J3 J2 J6 J8 J10 J5 J7 J9 K1 K2 K4 K3 K5 Kp J4 τcvt τ τcd Parastrappi K6

Figura 4-16 – Schema del drive train

Come seconda proposta si potrebbe inserire il parastrappi in una zona “interna” della trasmissione in modo che sia meno visibile ed esente da manomissioni. Come evidenziato dalla Figura 4-16 e dalla Figura 4-17 si è pensato di sconnettere la campana della frizione in due parti concentriche, di momenti d’inerzia J e ₅ J , ₆ collegate tra loro da delle molle disposte in senso circonferenziale. In pratica si è applicato lo stesso metodo utilizzato nei dischi frizione dei comuni motori per trazione (Paragrafo 1.2).

4.5.1 Riduzione del sistema

Il sistema reale è stato ridotto al sistema equivalente di Figura 4-17 nello stesso modo in cui si è operato per i sistemi visti in precedenza. La campana della frizione è stata suddivisa in modo che al mozzo centrale competa la terza parte del momento d’inerzia della campana stessa (J ) ed alla corona esterna i restanti due terzi. 5 Ovviamente il momento d’inerzia si può suddividere anche in altri modi a seconda delle esigenze.

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 J10 J9 J8 J7 J6 J5 J4 J3 J2 J1

θ

10 K6 Kcd K5 K4 Kp K3 Kcvt K2 K1

θ

9

θ

8

θ

7

θ

6

θ

5

θ

4

θ

3

θ

2

θ

1

Figura 4-17 – Schema equivalente del sistema con parastrappi tipo “disco frizione” ridotto all’asse motore

Con procedimento iterativo si è determinata una rigidezza torsionale del parastrappi del valore di

rad m N K_p = 58 ⋅

in maniera tale che la prima frequenza propria del sistema venisse molto vicina a quella del sistema con parastrappi in gomma a “rigidezza bassa”, in modo da consentire un immediato confronto fra le due soluzioni.

La Figura 4-18 mostra una possibile configurazione di tale sistema disposto su di un disco frizione. Supponendo di avere n molle elicoidali, disposte su di una

circonferenza di raggio R , aventi costante elastica K , si può affermare che ognuna di queste applichi a seguito di una rotazione relativa tra mozzo e corona esterna ∆θ

una forza elastica

θ ∆ ⋅ ⋅ =K R Fel (105)

Si avrà quindi un momento totale applicato

θ ∆ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 R K n Mel (106)

che scritto in funzione della rigidezza torsionale diviene

θ ∆ ⋅ = _p el K M ₍₁₀₇₎

dalla quale si deduce che

2

R K n

K_p = ⋅ ⋅ (108)

I valori dei momenti d’inerzia e delle rigidezze equivalenti, calcolati ancora una volta considerando i rapporti d’ingranaggio τ_cvt,τ ,τ_cd, sono riportati in Tabella 15 ed in Tabella 16.

Tabella 15 – Rigidezze torsionali del sistema equivalente Volano Valore 2 m Kg⋅ 1 J 6 10 6600⋅ − 2 J 6 10 9708⋅ − 3 J 6 10 9400⋅ − 2 4 4 2 cvt J J τ ⋅ = 6 10 2633⋅ − 2 5 4 5 2 3 1 cvt J J J τ + ⋅ = 6 10 2489⋅ − 2 5 4 6 2 3 2 cvt J J J τ + ⋅ = 6 10 4979⋅ − 2 6 2 7 7 cvt J J J τ τ + = 6 10 124⋅ − 2 2 8 8 cvt J J τ τ ⋅ = 6 10 63⋅ − cd cvt J J τ τ τ ⋅ ⋅ = ₂ 9₂ 9 358⋅10−6 2 2 2 10 10 cd cvt J J τ τ τ ⋅ ⋅ = 6 10 185914⋅ −

Tabella 16 – Rigidezze torsionali del sistema equivalente

Rigidezza torsionale Valore

rad m N⋅ 1 K 35617 2 K 29925 cvt K 181 2 3 3 cvt K K τ = ₁₇₉₉₈₃ 2 cvt p p K K τ = ₁₃ 2 4 4 cvt K K τ = ₂₂₉₆₂ 2 2 5 5 =τ _⋅τ cvt K K ₂₉₅₅ 2 2 τ τ ⋅ = cvt cd cd K K ₁₂₂ 2 2 2 6 6 cd cvt K K τ τ τ ⋅ ⋅ = ₁₂₉₁

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + − + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + + − − + + − = − + − + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 6 9 6 10 9 9 9 10 10 10 6 9 6 8 10 9 9 9 8 8 8 9 9 9 8 5 7 5 9 8 8 8 7 7 7 8 8 8 5 7 5 4 6 4 8 7 7 7 6 5 5 7 7 7 4 6 4 5 7 6 6 6 5 5 5 6 6 6 5 3 4 3 6 5 5 5 4 4 4 5 5 5 3 4 3 3 5 4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 2 2 2 4 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ K K C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K K K C C C C J K K C C J cd cd cd cd p p p p cvt cvt cvt cvt & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & & && & & && (109)

le quali scritte nella consueta forma matriciale

J ϑ&& +C ϑ& +K ϑ =0 (110) definiscono le matrici ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 J J J J J J J J J J J

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − = 9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − + − − = 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K cd cd cd cd p p p p cvt cvt cvt cvt K

4.5.2 Analisi modale

L’analisi modale del sistema è stata svolta affrontando di nuovo il consueto problema degli autovalori. Operando nello stesso modo visto per il sistema rigido (Paragrafo 4.2.2) sono state calcolate le frequenze proprie e raccolte nel seguente vettore Ω :

{

}

T 88 . 2353 85 . 1887 73 . 1042 24 . 535 65 . 319 87 . 315 63 . 33 51 . 24 37 . 3 0 = Ω Hz

dalle quali è stato possibile ricavare gli autovettori, ortogonali alla matrice J dei momenti d’inerzia polari dei volani, i quali sono stati raccolti nella seguente matrice

Y =[Θ ,(1) Θ ,…,(2) Θ ] (n) (111)

4.5.3 Calcolo dei coefficienti di smorzamento

Seguendo il procedimento descritto nel Paragrafo 4.2.3 si sono calcolati i coefficienti di smorzamento, relativi a tre livelli di smorzamento modale, supposto costante in tutti i termini, i quali sono stati poi raccolti nella Tabella 17.

Tabella 17 – Coefficienti di smorzamento

Coefficiente rad Nms ξi =2% ξi =5% ξi =10% 1 C 0.13738 0.34344 0.68688 2 C 0.11542 0.28855 0.57711 3 C 0.00070 0.00175 0.00349 4 C 0.69420 1.73550 3.47100 5 C 0.00005 0.00013 0.00025 6 C 0.08857 0.22141 0.44282 7 C 0.01140 0.02849 0.05699 8 C 0.00047 0.01455 0.02910 9 C 0.00498 0.01245 0.02490

4.6

Coefficienti di smorzamento utilizzati nelle simulazioni

Nel prossimo capitolo verranno esposti i risultati delle simulazioni. Per fare in modo che il nostro modello replicasse sufficientemente bene il sistema reale è stato necessario impostare un diverso coefficiente di smorzamento modale a seconda del componente considerato. In altre parole i valori dei coefficienti C sono stati calcolati _i considerando un coefficiente di smorzamento pari al 2% di quello critico per i componenti in acciaio, ed uno del 5% per i componenti in gomma [9], come ad esempio le due cinghie ed il parastrappi in gomma. Anche per il parastrappi “tipo frizione” si è considerato un coefficiente di smorzamento modale pari al 5%, visto che questi dispositivi sono sempre provvisti di un elemento smorzante. In Tabella 18 sono riportati i valori utilizzati.

Tabella 18 – Coefficienti di smorzamento utilizzati nelle simulazioni

Coeff. rad Nms Rigido Cinghie Parastrappi gomma 1 p K Parastrappi gomma 2 p K Parastrappi gomma 3 p K Parastrappi Tipo frizione 1 C 0.14435 0.21161 0.28706 0.28717 0.28745 0.20850 2 C 0.12127 0.17779 0.24118 0.24128 0.24151 0.17518 3 C 0.72938 0.00108 0.0146 0.00146 0.00146 0.00106 4 C 0.09305 1.06930 1.4506 1.45120 1.45250 1.05360 5 C 0.01198 0.13642 0.18506 0.18514 0.18531 0.00008 6 C 0.00523 0.01756 0.02382 0.02383 0.02385 0.13442 7 C --- 0.00072 0.00098 0.00098 0.00098 0.01730 8 C --- 0.00767 0.00015 0.00031 0.00054 0.00071 9 C --- --- --- --- --- 0.00756