Esempio: sistema di trasmissione a pulegge

Power-Oriented Graphs (POG)

• Blocco di elaborazione (caso scalare):

- 

G(s)

?

?

 -

x₁

y

x₂

y

y(s) = G(s)[x1(s) − x2(s)]

G(s) = 1 b + a s

12a y² b y²

x₁y x₂y

: Energia accumulata : Potenza dissipata : Potenza che fluisce

• Blocco di connessione (caso scalare):

K K

 

- -

x₁

y₁

x₂

y₂

x₂ = K x1

y₁ = K y2

x₁y₁ = x2y₂

0 0

x₁y₁ x₂y₂

: Energia accumulata : Potenza dissipata : Potenza che fluisce

• Il prodotto delle variabili accoppiate dalle linee verticali a tratteggio deve avere il significato fisico di una potenza.

• Esempio: motore elettrico in corrente continua:

V

I_a

- 

1 R+Ls

?

?

 - -K_e ^- C_m K_e

 

E _{ -}

1 b+Js

6

6

ω_m

-  C_e

V I_a

12L I_a² R I_a²

E I_a

/ /

C_mω_m

12J ω_m² b ω_m²

C_e ω_m

: Energia accumulata : Potenza dissipata : Potenza che fluisce

• Il prodotto delle variabili accoppiate ha il significato fisico di una potenza.

• In ogni blocco di elaborazione l’energia viene immagazzinata e/o la potenza viene dissipata (generata).

• Nel blocco di connessione l’energia non viene n´e accumulata, n´e dissipata.

Ia 6 V

LR6 E+ −J
b
ωm Cm

kgg Cg

Jg

bgωg Cr1R1

˙x1 krgr

Fr R2

˙x2 Jr

brωr Cr2Ce

Esempio:motoreelettrico+giuntoelastico/inerziale+ruotadentata+caricoinerziale V Ia

- 1 R+Ls ?? -- Ket- Cm

KetE - 1 b
+J
s

6 6

ωm -

1/s

- -??? Cgggkgθg

- 1 bg+Jgs

6 6

ωg - R1 C1r

- R1-˙x1 1/s- -??? Frgrkrx - R2- C2r

R2˙x2 - 1 br+Jrs

6 6 -

ωr Ce VIa

1 2LI

2 a

RI

2 a

EIa //

Cmωm 1 2J
ω^{2 m}

b
ω

2 m

Cgωm fg(θg,gg,kg)

/

Cgωr 1 2Jgω^{2 r}

bgω

Cωer 2 r/ /

Fr˙x1 fr(x,gr,kr)

/

Fr˙x2 //

Cr2ωr 1 2Jrω^{2 r}

brω Cωer 2 r

POG: caso multi-dimensionale

• Le variabili scalari x e y vengono sostituite da vettori x e y.

x₁

y

- 

G(s)

?

?

 -

x₂

y

12y^TM y y^TR y x^T₁y x^T₂y

x₁

y₁

- K ^-

K^T 



x₂

y₂

0 0

x^T₁y₁ x^T₂y₂ G^-1(s) = M s + R

Energia accumulata (E_s) : potenza dissipata (P_d) : Potenza che fluisce (P_f) :

• Il prodotto scalare x^Ty deve avere il significato fisico di una potenza.

• La matrice G(s) `e sempre una matrice quadrata e simmetrica.

• La matrice K pu`o anche essere una matrice rettangolare.

• Il blocco di connessione non dissipa n´e accumula energia, semplicemente

“trasforma” le variabili di potenza del sistema da un campo energetico all’altro:

x^T₁y₁ = (x1, y₁) = (x1, K^Ty₂) = (Kx1, y₂) = (x2, y₂) = x^T₂y₂.

• Il blocco di elaborazione immagazzina energia e dissipa potenza.

• Per sistemi lineari, energia accumulata E^s e la potenza dissipata P_d sono forme quadratiche, rispettivamente, delle matrici M ed R.

• Energia accumulata:

E_s = 1

2y^TM y

• Potenza dissipata:

P_d = y^TR y.

Descrizione nello spazio degli stati

• Equazioni dinamiche di un sistema:

L˙x = Ax + Bu y = B^Tx

• Rappresentazione POG:

u

y ^B^T

- B ^{- - }

L^-1

1 s

?

?

?

 x -



A

6

6 -

• La tipica forma dei sistemi descritti nello spazio degli stati `e la seguente:

˙x = L^-1Ax + L^-1Bu y = B^Tx.

• La matrice A pu`o sempre essere espressa come somma di una matrice simmetrica e di una matrice emisimmetrica:

A = A^s + A^w. u

y ^B^T

-B^{- - }

L^-1

1 s

?

?

?

 x -

  6

A_s

6 - -



A_w

6

6 -

• Teorema: se la parte simmetrica A^s della matrice di sistema A `e definita negativa, allora il moto libero (u = 0) del sistema `e asintoticamente stabile.

Trasformazioni di congruenza nello spazio degli stati

• Cambio di coordinate:

x = Tz ˙x = T˙z

• Sistema trasformato:

T^TLT˙z = T^TATz+ T^TBu y = B^TTz

• Rappresentazione POG:

u

y ^B^T

-B^-

T -T^T-

T^-1

 

-T^{-T- - }

L^-1

1 s

?

?

?

 x -



A

6

6 -

u

y ^B^T

-B^-

T -T^T-

(T^TLT)^-1

1 s

- 

-

 ?

?

?

z ^-T^- T^T

 

A

6

6 -

u

y ^B^T

-B^{- - }

L^-1

1 s

?

?

?

 z -



A

6

6 -

Dinamica nel piano di un punto di massa m

• Il sistema

-

6 I

m V

R_r L

0 ρ θ

r

• La rappresentazione POG:

lF

lV

- 

?

 ₁

m s 0

0 _{m s}¹



?

˙x, ˙y

 -

1 0 0 ¹_r



[e^−jθ]

- -

[e^jθ]

 1 0 0 ¹_r



 

lR

˙r, ˙θ

 -

6

 k_r(_s^˙r-L) 0 0 ^k_s^θ



6

pR

-  pV₀

dove

[e^jθ] =

 cos θ − sin θ sin θ cos θ



= R^θ.

• La matrice

pT_l =

 1 0 0 ¹_r



[e^−jθ].

`e la matrice di trasformazione dello spazio delle velocit`a lineari (˙x, ˙y) nello spazio delle velocit`a polari (˙r, ˙θ).

Esempio: sistema di trasmissione a pulegge

• Modello POG del sistema:

ω_m

τ_m ^ r^T₁ ^

- r₁ ^-v_1i

- 

1 g₁₂+K^-1₁₂s

?

?

f₁₂

 - -R₂^- τ_2e R^T₂

 

v_2e

 -

1 b₂ + J2s

6

6

ω₂

-  ^ r^T₂ ^ τ_2i

- r₂ ^-v_2i

- 

1 g₂₃+K^-1₂₃s

?

?

f₂₃

 - -R₃^- R^T₃

 

v_3e

ω_p

τ_p

• Rappresentazione del sistema nello spazio degli stati:

⎡

⎣K^-1₁₂ 0 0 0 J2 0 0 0 K^-1₂₃

⎤

⎦

⎡

⎣ ˙f₁₂

˙ω2

˙f₂₃

⎤

⎦ =

⎡

⎣−g12 −R^T₂ 0 R₂ −b2 −r^T₂

0 r₂ −g23

⎤

⎦

⎡

⎣f₁₂ ω₂ f₂₃

⎤

⎦ +

⎡

⎣r₁ 0 0 00 −R^T₃

⎤

⎦ ω_m

ω_p



L˙x = Ax + Bu.

• Quando il momento di inerzia J2 della puleggia centrale tende a zero (J₂ → 0) si ottiene il seguente legame algebrico tra le variabili di stato:

R₂f₁₂ − b2ω₂ − r^T₂f₂₃ = 0

• Se b2 `e invertibile, `e possibile esplicitare ω₂ in funzioni delle altre variabili di stato:

ω₂ = b^-1₂(R2f₁₂ − r^T₂f₂₃).

Calcolo del sistema ridotto quando J₂ → 0 e |b2| = 0

• Si consideri la seguente trasformazione di “congruenza”:

x =

⎡

⎣ f₁₂ ω₂ f₂₃

⎤

⎦ =

⎡

⎣ 1 0

b^-1₂R₂ −b^-1₂r^T₂

0 1

⎤

⎦ f₁₂ f₂₃



= Tz

• Il sistema ridotto che si ottiene quando J2 → 0 e |b2| = 0 `e il seguente:

T^TLT˙z = T^TATz + T^TBu → ¯L = ¯Az + ¯Bu cio`e:

K^-1₁₂ 0 0 K^-1₂₃

 ˙f₁₂

˙f₂₃



=

−g12 − R^T₂b^-1₂R₂ R^T₂b^-1₂r^T₂ r₂b^-1₂R₂ −g23 − r2b^-1₂r^T₂

 f₁₂ f₂₃

 +

r₁ 0 0 −R^T₃

 ω_m ω_p



• Modelli POG equivalenti:

v_2e

f₁₂ ^-R₂ ^- τ_2e R^T₂

   -

b^-1₂

6

6

ω₂

-  ^ r^T₂ ^ τ_2i

- r₂ ^- v_2i

f₂₃

=⇒

v_2e

f₁₂

 

6

R^T₂b^-1₂R₂

6

- -- -

 

r₂b^-1₂R₂

R^T₂b^-1₂r^T₂ ^{ }

?

r₂b^-1₂r^T₂

- ? -

f₂₃

v_2i

• Modello POG del sistema ridotto:

ω_m

τ_m ^ r^T₁ ^

- r₁ ^-v_1i

- 

1 ˆg12+K^-1₁₂s

?

?

z₁

 - - -

 

r₂b^-1₂R₂

R^T₂b^-1₂r^T₂ ^{ -}

1 ˆg23+K^-1₂₃s

6

6

z₂

-  ^ R^T₃^ v_2i

-R₃ ^- τ_p

ω_p

dove si `e posto ˆg12 = g12 + R^T₂b^-1₂R^T₂ e ˆg23 = g23 + r^T₂b^-1₂r^T₂.

Calcolo del sistema ridotto quando J₂ → 0 e b2 → 0

• Si consideri di nuovo il sistema originario:

⎡

⎣K^-1₁₂ 0 0 0 J2 0 0 0 K^-1₂₃

⎤

⎦

⎡

⎣ ˙f₁₂

˙ω2

˙f₂₃

⎤

⎦ =

⎡

⎣−g12 −R^T₂ 0 R₂ −b2 −r^T₂

0 r₂ −g23

⎤

⎦

⎡

⎣f₁₂ ω₂ f₂₃

⎤

⎦ +

⎡

⎣r₁ 0 0 00 −R^T₃

⎤

⎦ ω_m

ω_p



L˙x = Ax + Bu.

• Quando J2 → 0 e b2 → 0, si ottiene il seguente vincolo algebrico:

R₂f₁₂ − r^T₂f₂₃ = 0.

• Si consideri la seguente trasformazione di congruenza:

x =

⎡

⎣ f₁₂ ω₂ f₂₃

⎤

⎦ =

⎡

⎣ R^-1₂ 0 r^-T₂

⎤

⎦ z = T z,

• La nuova variabile di stato `e:

z = R2f₁₂ = r^T₂f₂₃

• Il sistema ridotto `e il seguente:

T^TLT˙z = T^TATz+ T^TBu cio`e:

 ¯K^-1₁₂ + ¯K^-1₂₃

˙z = −[¯g12 + ¯g23] z + 

R^-T₂r₁ −r^-1₂R^T₃  ωm

ω_p



dove si `e posto

K¯^-1₁₂ = R^-T₂K^-1₁₂R^-1₂ K¯^-1₂₃ = r^-1₂K^-1₂₃r^-T₂

¯g12 = R^-T₂g₁₂R^-1₂ ¯g23 = r^-1₂g₂₃r^-T₂.

Trasformazione grafica: il caso J₂ → 0 e |b2| → 0.

• Modello POG del sistema originario:

ω_m

τ_m ^ r^T₁ ^

- r₁ ^-v_1i

- 

1 g₁₂+K^-1₁₂s

?

?

f₁₂

 - -R₂^- τ_2e R^T₂

 

v_2e

 -

1 b₂ + J2s

6

6

ω₂

-  ^ r^T₂ ^ τ_2i

- r₂ ^-v_2i

- 

1 g₂₃+K^-1₂₃s

?

?

f₂₃

 - -R₃^- R^T₃

 

v_3e

ω_p

τ_p

• Quando J2 → 0 and |b2| → 0 si ha:

ω_m

τ_m ^ r^T₁ ^

- r₁ ^-

R^-1₂

 

-R^-T₂^{- - } 1

¯g12+ ¯K^-1₁₂s

?

?

 z -

 -

∞

6

6

ω₂

- 

- 

1

¯g23+ ¯K^-1₂₃s

?

?

 z - - r^-T₂ ^- r^-1₂

 

-R₃^- R^T₃

  ω_p

τ_p

• Riducendo graficamente lo schema a blocchi si ottiene il seguente modello ridotto:

ω_m

τ_m ^ r^T₁ ^

- r₁ ^-

R^-1₂

 

-R^-T₂ ^{- - }

1

¯g13+ ¯K^-1₁₃s

?

?

 z - - r^-T₂ ^- r^-1₂

 

-R₃ ^- R^T₃

  ω_p

τ_p

Dinamica di un corpo rigido nello spazio

• Rispetto ad un sistema inerziale “^u”, le leggi di moto di Newton posso essere espresse nel seguente modo:

uF = d^uD

dt = d

dt(M^uv)

uτ = d^uE

dt = d

dt(^uI^uω_b,u)

dove D = M^uv ed E = ^uI^uω_b,u rappresentano (in modo vettoriale) le quantit`a di moto “traslazionale”e “rotazionale” del corpo rigido in oggetto.

• Rappresentazione grafica POG delle leggi di moto di Newton:

uτ ^{- }_?

1 s?

uI^-1

uω?_b,u

 -

0 ^uF ^{- }_?

1 s?

M^-1

uv?

 -

0

• I vettori di velocit`a e forza sono legato tra di loro dalle seguenti equazioni:

uτ = ^uR_b^bτ ^uω_b,u = ^uR_b ^bω_b,u

uF = ^uR_b^bF ^uv = ^uR_b ^bv.

• La rappresentazione POG corrispondente al cambiamento di sistema di riferimento dei vettori forza e velocit`a la seguente:

uτ

uω_b,u ^uR_b ^

-uR^T_b^{- b}τ

bω_b,u

uF

uv ^uR_b ^

-uR^T_b^{- b}F

bv

dove ^uR_b `e la matrice di trasformazione di coordinate dal body-frame “b”

Dinamica rotazionale

• Equazione dinamica delle coppie rispetto al sistema inerziale Σ^u:

uτ = _dt^d(^uI^uω_b,u)

= _dt^d(^uR_b ^bI^bR_u^uω_b,u)

= _dt^d(^uR_b ^bI^bω_b,u)

= _dt^d(^uR_b)^bI^bω_b,u + ^uR_bdt^d(^bI^bω_b,u)

= ^uR_b[^uω_b,u×]^bI^bω_b,u + ^uR_bdt^d(^bI^bω_b,u)

= ^uR_b _d

dt(^bI^bω_b,u) − [^uω_b,u×]^bI^bω_b,u

• La stessa dinamica espressa rispetto ad un sistema di riferimento Σ^b solidale con il corpo rigido assume la forma seguente:

bτ = d

dt(^bI^bω_b,u) − [^bω_b,u×]^bI ^bω_b,u

• Le due corrispondenti rappresentazioni POG:

uτ ^{- }

1?

s

?

uI^-1

uω?_b,u

 -

0 ^uτ

uω_b,u ^{ u}R_b ^

- uR^T_b ^-

bτ _{- }

1?

s

?

bI^-1

?

bω_b,u

 - -6

bI

6

[^bω_b,u×]

 6

• La matrice emisimmetrica [ ω×], funzione delle componenti ω^x, ω_y ed ω_z del vettore ω = 

ω_x ω_y ω_z

, `e definita nel modo seguente:

[ ω×] =

⎡

⎣ 0 − ω^z ω_y ω_z 0 − ω^x

− ω^y ω_x 0

⎤

⎦

Dinamica traslazionale

• Equazioni dinamiche rispetto ai sistemi di riferimento Σ^u e Σ^b:

uF = d

dt(M^uv)

= ^uR_b

 d

dt(M^bv) − [^bω_b,u×]M^bv

 .

• Le corrispondenti rappresentazioni POG:

uF ^{- }

1?

s

?

M^-1

u?v

 -

0 ^uF

uv ^{ u}R_b ^

- uR^T_b ^-

bF _{- }

1?

s

?

M^-1

?

bv

 - -6

M

6

[^bω_b,u×]

 6

• Rappresentazione POG “congiunta” della dinamiche rotazionale e trasla- zionale:

_u F

uτ



 _u v

uω_b,u





_u R_b

uR_b 

 -

uR^T_b

uR^T_b 

-

_b F

bτ



- 

?

1 s

?

M^-1

bI^-1



 _b?

v

bω_b,u

  - -

6

M

bI



6

[^bω_b,u×]

[^bω_b,u×]

 6

Notazioni

• Per matrici arbitrarie A e per vettori a ∈ R³ vengono utilizzate le seguenti notazioni:

A• =

 A 0 0 A



e

|[a]| =

 I₃ 0 [a×] I3

 , dove

[a×] =

⎡

⎣ 0 −a^z a_y a_z 0 −a^x

−a^y a_x 0

⎤

⎦ .

• Valgono le seguenti propriet`a:

a) (A•)^-1 = (A^-1)•

b) (A1•) + (A2•) = (A1 + A2)•

c) (A1•) (A2•) = (A1A₂)•

e anche le seguenti:

a) |[a]|^-1 = |[−a]|

b) |[a]| |[b]| = |[a + b]| = |[b]| |[a]|

c) R • |[a]| = |[Ra]| R•

• Prodotto vettoriale tra 2 vettori:

a × b = [a×]b.

Matrici unitarie

• La matrice “unitaria” ^jR_i trasforma i vettori dal sistema di riferimento Σⁱ a quello Σ^j:

jR^-1_i = ^jR^T_i = ⁱR_j

• La matrice unitaria ^jR_i pu`o sempre essere espressa come esponenziale di matrice di una opportuna matrice emisimmetrica [θ^i,j×]:

jR_i = e[θ_j,i×] = e−[θ^i,j×].

dove il vettore θ_j,i descrive la rotazione che permette di passare dal sistema di riferimento Σⁱ a quello Σ^j

• Valgono le seguenti propriet`a:

d dt

_j R_i

= ^jR_i[ⁱω_j,i×] = [^jω_j,i×]^jR_i dove

iω_j,i = ⁱR_u^uω_j,i = ⁱR_u d

dt(^uθ_j,u − ^uθ_i,u)

jω_j,i = ^jR_u^uω_j,i = ^jR_u d

dt(^uθ_j,u − ^uθ_i,u),

• Infatti, si ha che:

d dt

_j R_i

= d dt

_j

R_u^uR_i

= d dt



e^[uθj,u×] e^[uθu,i×]



= ^jR_u[^uω_j,u×]^uR_i + ^jR_u[^uω_u,i×]^uR_i

= ^jR_u[(^uω_j,u + ^uω_u,i)×]^uR_i

= ^jR_u[^uω_j,i×]^uR_i

= ^jR_i[ⁱω_j,i×]

= [^jω_j,i×]^jR_i

Vettori spaziali

• Vettori di velocit`a e di forza che `e possibile associare ad un punto a appartenente al link i-esimo di un sistema robotico:

jF_ai =

 _j

f_ai

jτ_ai



=

 _j

f_ai

jτ_i



, ^jV_ai =

 _j

v_ai

jω_ai



=

 _j

v_ai

jω_i

 ,

• Cambiamento del punto di applicazione dei vettori:

jF_bi = |[^ja_i,bi]| ^jF_ai =

 I₃ 0

[^ja_i,bi×] I3

  _j

f_ai

jτ_i



=

jf_ai

[^ja_i,bi×]^jf_ai + ^jτ_i 

jV_ai = |[^jai,bi]|^TjV_bi =

 I₃ [^ja_i,bi×]^T 0 I₃

  _j

v_bi

jω_i



=

 _j

v_bi + [^ja_i,bi×]^Tjω_i

jω_i



• Relazioni inverse:

jF_ai = |[^ja_i,bi]|^-1jF_bi = |[^jb_i,ai]| ^jF_bi

jV_bi = |[^jai,bi]|^-TjV_ai = |[^jb_i,ai]|^TjV_ai

• Corrispondenti rappresentazioni POG:

jF_ai

jV_ai ^ |[^ja_i,bi]|^T

-|[^jai,bi]| ^{- j}F_bi

jV_bi

jF_bi

jV_bi ^-|[^ja_i,bi]|^{T -}

|[^jai,bi]| 

 jF_ai

jV_ai

Matrice di massa e inerzia nello spazio

• Matrice di massa e inerzia del link i-esimo espressa rispetto ad un sistema di riferimento Σ^i,ci parallelo al sistema Σⁱ solidale con il link e con la sua origine posta nel centro di massa c_i:

iN_ci = (Mⁱ, ⁱI_ci) =

 M_i 0 0 ⁱI_ci

 .

• La stessa matrice espressa rispetto ad un sistema di riferimento Σ^j:

jN_ci = ^jR_i • ⁱN_ciⁱR_j• =

 M_i 0

0 ^jR_iⁱI_ciⁱR_j



=

 M_i 0 0 ^jI_ci



• Matrice di massa e inezia espressa rispetto ad un punto aⁱ fisso rispetto al sistema di riferimento Σⁱ (teorema degli assi paralleli):

iN_ci,ai = |[ⁱc_i,ai]| ⁱN_ci|[ⁱc_i,ai]|^T =

M_i M_i[ⁱci,ai×]^T M_i[ⁱc_i,ai×] ⁱI_ci − Mⁱ[ⁱc_i,ai×]²

 .

• Valgono le seguenti relazioni

jN_ci,ai = ^jR_i • ⁱN_ci,aiⁱR_j•

= ^jR_i • |[ⁱc_i,ai]| ⁱN_ci|[ⁱc_i,ai]|^TiR_j•

= |[^jc_i,ai]| ^jR_i • ⁱN_ci ⁱR_j • |[^jc_i,ai]|^T

= |[^jc_i,ai]| ^jN_ci|[^jc_i,ai]|^T

• L’inversa della matrice di massa e inerzia:

jN^-1_ci,ai = 

|[^jc_i,ai]| ^jN_ci|[^jc_i,ai]|^T -1

= |[^ja_i,ci]|^TjN^-1_ci|[^ja_i,ci]|

=

M^-1_i + [^ja_i,ci×]^TjI^-1_ci[^ja_i,ci×] [^ja_i,ci×]^TjI^-1_ci

jI^-1_ci[^ja_i,ci×] ^jI^-1_ci

 .

Manipolatore a pi`u gradi di libert`a

• Dinamica del link i-esimo rispetto al sistema “inerziale” Σ^u:

uF^t_ci = d

dt(^uN_i^uV_ci)

dove ^uF^t_ci `e la forza totale che agisce sul link nel centro di gravit`a c_i.

• Corrispondente rappresentazione POG:

uF^t_ci

uV_ci

- 

1?

s

?

uN^-1_ci

?

 -

0

uV_ci

• Valgono le seguenti relazioni:

uF^t_ci = d

dt(^uN_ci^uV_ci)

= ^uR_i|[ⁱa_i,ci]|

d

dt(ⁱN_ci,aiⁱV_ai) − ⁱΩ^i,uci,ai

iN_ci,aiⁱV_ai



dove

iΩ^i,uci,ai = −|[ⁱc_i,ai]| ⁱR₀ d dt

|[ⁱc_i,ai]| ⁱR₀ -1

• La corrispondente rappresentazione POG:

uF^t_ci

uV_ci ^{ u}R_i• ^

- iR_u• ^-

|[ⁱc_i,ai]|^T



-|[ⁱci,ai]| ^-

iF_ai

- 

1?

s

?

iN^-1_ci,ai

?

iV_ai

 -

 

6

iN_ci,ai

6

iΩ^i,uci,ai

6

- -

0

iV_ai