1 Analisi modale
L’analisi modale è una metodologia impiegata per descrivere il comportamento dinamico di una struttura in termini di frequenze naturali, smorzamenti e forme modali, assumendo l’ipotesi di comportamento lineare e caratteristiche dinamiche costanti nel tempo.
Le caratteristiche dinamiche di una struttura possono essere stimate attraverso modelli discreti o, in casi particolarmente semplici, con modelli continui.
Lo studio del comportamento dinamico di un organo o di un insieme di organi di macchina risulta molto importante nei casi in cui sono proprio i moti vibratori a svolgere determinati compiti (ad esempio magazzini vibranti) o quando i loro effetti condizionano pesantemente la durata degli organi meccanici (per esempio se sono causa di usure o sollecitazioni affaticanti).
Gli organi delle macchine sono sistemi continui caratterizzati da massa, elasticità e smorzamenti variamente distribuiti. Poiché la modellazione di sistemi continui è possibile in via rigorosa solo in pochi casi di geometria estremamente semplice, è praticamente sempre necessario ricorrere ad uno studio approssimato, che prevede di sostituire il continuo (ad infiniti gradi di libertà) con un sistema avente un numero finito di gradi di libertà. Tale sostituzione è ampiamente giustificabile nelle quasi totalità dei casi in quanto i modi di vibrare che hanno un reale interesse pratico sono quelli costituiti da deformate semplici della struttura vibrante, corrispondenti ai modi propri delle frequenze più basse.
1.1 Cenni sull’analisi modale
Nel presente paragrafo sono riassunti i fondamenti teorici necessari alla comprensione del fenomeno vibratorio e sono presentati la simbologia ed i termini che saranno utilizzati nei capitoli successivi.
1.1.1 Sistema ad un grado di libertà
In alcuni casi estremamente semplici di sistemi costituiti da organi molto rigidi ed altri molto deformabili, la schematizzazione con un modello a pochi gradi libertà può essere fatta semplicemente sostituendo delle masse (ossia elementi infinitamente rigidi) ai membri di grande rigidezza e sostituendo delle molle (ossia elementi deformabili privi di massa, quindi incapaci di dare luogo a fenomeni vibratori propri) ai membri più elastici. Considerazioni analoghe possono essere fatte in presenza di coppie cinematiche.
Per il caso semplice di un sistema ad un grado di libertà il problema dinamico assume la forma:
t F x k x c x
m Dove:
m = massa x
= accelerazioni
c = smorzamento viscoso x= velocità
k = matrice di rigidezza x = spostamenti
t
F = forzanti
Per l’analisi modale il problema dinamico nella formulazione precedente si riduce al seguente:
0
xk x m
Le radici dell’equazione caratteristica associata all’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti precedente sono:
i z Dove:
m
k
È detta pulsazione propria o pulsazione naturale.
1.1.2 Sistema a due o più gradi di libertà
Il problema dinamico a più gradi di libertà si ottiene generalizzando il caso ad un grado di libertà. La formulazione del problema assume quindi la forma:
M uC u K u P t Dove:
M = matrice di massa
u= accelerazioni
C = matrice di smorzamento viscoso
u= velocità
K = matrice di rigidezza
u = spostamenti
P t = forzanti
Per l’analisi modale il problema dinamico nella formulazione precedente si riduce al seguente:
M uK u 0
Ossia in assenza di forzanti esterne e di smorzamenti (solitamente trascurabili per un continuo di materiale metallico).
Poiché come già visto le soluzioni attese sono del tipo:
u sini i t
Da cui, derivando rispetto al tempo:
ui i cosi t
ui2 i sin i t
Il problema diventa:
2 sin sin 0
M i i i t K i i i t
Quindi:
K M i2 i 0
che ha soluzioni non banali se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo:
0
det K M i2
La precedente è una equazione di grado n in ωi2 che possiede quindi n radici (in matematica noto come problema della ricerca degli autovaloriωi2). Le frequenze:
2
i
fi
sono le frequenze proprie del sistema dinamico. Per ciascuna frequenza propria:
K M i2 i 0
È un sistema di n-1 equazioni in n incognite (in matematica noto come problema degli autovettori). I vettori sono le forme modali (deformate) note a meno dii una costante.
Tutte le restanti considerazioni fatte per il sistema ad un solo grado di libertà possono essere generalizzate al caso di più gradi di libertà.
1.1.3 Analisi modale e risposta in frequenza utilizzando il metodo FEM.
Il metodo della discretizzazione del continuo tramite elementi finiti può essere applicato anche al caso dinamico. La partizione del continuo in elementi di dimensioni finite permette di ridurre il problema dinamico reale ad infiniti gradi di libertà ad un numero finito di gradi di libertà analogo a quello riportato alpar.1.1.2 quindi:
M uC u K u P t
In questo caso le matrici di massa, smorzamento e rigidezza sono calcolate a partire dalle funzioni forma[N] :
V
T N dv
N
K
V
T N dv
N
C
V
T N dv
N
M
Le accelerazioni, velocità e spostamenti sono riferite ai nodi degli elementi.
Per l’analogia del problema (sia per l’analisi modale che per la risposta in frequenza) rispetto al caso precedente i metodi di soluzione numerica sono gli stessi.
Utilizzando una schematizzazione con n gradi di libertà è possibile calcolare solamente le prime n frequenze e forme modali proprie. La riduzione del numero di gradi di libertà comporta una approssimazione del problema ed in particolare della capacità di rappresentare deformate complesse: è per questo motivo che l’approssimazione delle frequenze e forme modali proprie del modello rispetto al caso reale peggiora all’aumentare dell’ordine della pulsazione propria (forme sempre più rigide) di deformate dello stesso tipo. Lo studio di convergenza è l’unico metodo numerico per valutare la qualità dell’approssimazione. Nel caso di analisi della risposta ad una forzante periodica generica di periodo T, quest’ultima può essere scomposta inserie di Fourier (ved. par.2.1.1.1).
1
0 sin
k
k F
k k t
A A
t
F
dove:
F T
2
è detta armonica fondamentale.
Poiché il modelloFEM in virtù del suo limitato numero di gradi di libertà e quindi di modi propri si comporta, rispetto al corpo reale, come un filtro passa basso, pertanto solo le armoniche della forzante che hanno frequenza inferiore all’ultima frequenza propria del modello hanno un effetto rilevante; inoltre all’aumentare della frequenza dell’armonica peggiora l’approssimazione della risposta dinamica in frequenza. Sian il numero di gradi di libertà del modello,ΩF la frequenza fondamentale dello sviluppo in serie ednAl’ordine al quale viene troncato lo sviluppo in serie di Fourier, deve valere:
n T nA F A
n
2
Anche in questo caso l’ordine al quale può essere troncato lo sviluppo in serie deve essere valutato con uno studio di convergenza.
