77
CCononffrronontto o ttrara ii mmeettododii ddii vvaallututaazzioionnee ddeeii ppaarraammeettrrii ddii bbrreecccciiaa ee ddeellllaa ppoorrttaattaa eefffflluueennttee
7.1. APPLICAZIONE DELLE FORMULE EMPIRICHE AL CASO STUDIO
La normativa italiana (con riferimento alla circolare del 13/12/1995) prevede che l'idrogramma delle portate effluenti sia determinato utilizzando modelli matematico-numerici che permettono di riprodurre l'interazione tra la corrente defluente attraverso la breccia ed il materiale solido costituente il rilevato. E' raccomandato, comunque, il confronto tra i risultati forniti dai modelli matematico-numerici con le formule empiriche basate su analisi statistiche dei dati relativi ai casi storici di collasso.
7.1.1. Scelta dei parametri per l’applicazione delle formule
Poiché l’ipotesi di collasso della diga de L’Eau d’Heure prevede il sormonto generato dall’onda di piena proveniente dalla diga a monte non si può prescindere da individuare diversi scenari per la rottura a “cascata”:
x Scenario 1: è quello che considera il solo serbatoio della diga dell’Eau d’Heure ai fini del calcolo del volume d’invaso Vr e della quota d’invaso al momento del collasso, scenario considerato poco verosimile ai fini della valutazione dell’idrogramma di collasso.
x Scenario 2: anche questo è valutato dai ricercatori del laboratorio HACH e considera come volume d’invaso quello totale dato dalla somma dell’invaso dell’Eau d’Heure e di quello stoccato dalla diga della Plate Taille. L’altezza della diga è quella dell’Eau d’Heure.
x Scenario 3: ritenuto più rigoroso anche dal punto di vista teorico, è quello che considera il volume complessivo dei laghi di entrambi gli sbarramenti e mette in conto l’energia potenziale della massa d’acqua per la valutazione della quota d’invaso alla rottura.
L’altezza liquida che si considera entrare in gioco nelle formule empiriche è la media ponderata dei livelli liquidi dei due invasi separati, dove i pesi sono costituiti dai volumi liquidi stoccati.
99
Figura 7. 1 – Schema per la valutazione della quota d’invaso con riferimento all’energia potenziale
Sulla base del terzo scenario descritto, il valore della quota d’invaso al momento della rottura diventa:
m 53 V Z
V Z V V V Z V
H Fond,EH
PT EH PT EH PT EH
EH EH ⎟⎟− =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
+ +
= +
Dove sono stati usati i seguenti valori:
Altitudine della superficie liquida de L’Eau d’Heure ZEH=208.5m
Altitudine della superficie liquida della Plate Taille ZPT=250.5m
Altitudine della diga de L’eau d’Heure alla fondazione ZFond, EH= 190m
Volume dell’invaso de L’Eau d’Heure VEH=14750000m3
Volume dell’invaso de L’Eau d’Heure VPT=67800000m3 - In generale, si suppone che l’altezza della breccia finale sia pari all’altezza della diga.
- In base al terzo scenario descritto sopra, l’altezza della diga, la quota d’invaso e l’altezza finale della breccia saranno considerati pari a 53m.
- Per tutti gli scenari, si suppone che il volume che fuoriesce dall’invaso, calcolato rispetto al fondo della breccia, sia uguale al volume d’invaso complessivo.
I parametri necessari per l’applicazione delle formule empiriche si riducono a:
Altezza della diga dell’Eau d’Heure hd.1 = 18.5 m Livello liquido d’invaso al momento della rottura hw.1 = 18.5 m Altezza ponderata della diga dell’Eau d’Heure hd.2 = 53 m Livello liquido ponderato (al momento della rottura) hw.2 = 53 m Volume d'invaso complessivo Vw = 8.25*107 m3
Tabella 7. 1 – Parametri geometrici della diga dell’Eau d’Heure utili per l’applicazione delle formule empiriche
100 7.1.2. Previsione dei parametri di breccia
Con le formule empiriche disponibili in letteratura è possibile ottenere la previsione della larghezza media della breccia, del volume di materiale solido asportato e del tempo di formazione della breccia. Nella tabella 7.2 sono riportate le formule empiriche che saranno messe al confronto e i parametri da cui dipendono.
Autore formula Risultato Parametri
MacDonald e
Langridge-Monopolis (1984)
( w w)0.852
er 0.00348V h
V = ⋅ V
er = 232500 m3 Fattore di breccia
Singh e Snorrason(1984) 2⋅Hd ≤B≤5⋅Hd 106m≤B≤265m Altezza diga US Bureau of Reclamation
(1988) B=3⋅hw B=160m Altezza invaso
Von Thune e Gillette (1990) B=2.5⋅hw +Cb B=187m Altezza e volume invaso
Froehlich (1995b)
19 . 0 b 32 . 0 w
0 V h
K 1803 . 0
B= ⋅ ⋅ ⋅
m 183
B= Volume invaso,
altezza breccia, tipo di rottura
Tabella 7. 2 – Formule empiriche per stimare la larghezza media della breccia (unità metriche: m, m3);
sono stati usati i valori hd.2 e hw.2 determinati con lo scenario di rottura 3
I simboli presenti nella tabella 7.2 e non definiti prima sono:
B = larghezza media di breccia
Cb = 54.9 , coefficiente che dipende dal volume d’invaso (tabella a pagina 34) K0 = 1.4 , nel caso di rottura per sormonto
hb = altezza della breccia finale (si ipotizza hb=Hd)
Previsione Larghezza di Breccia B[m]
0 50 100 150 200 250
300 Singh e Snorrason M IN
Singh e Snorrason M AX Reclamation
Von Thun et Gillette Froehlich
Grafico 7. 1 – Stima della larghezza di breccia della diga de L’Eau d’Heure con formule empiriche
101 In base alla formula di Froehlich, che è ritenuta da molti la più affidabile, la larghezza della breccia è circa 180m. Con buona approssimazione si vede che la larghezza media della breccia si colloca nell’intervallo 150-200m; per la stima del picco di portata, comunque, può essere utile considerare che la breccia possa raggiungere la sua dimensione massima possibile Bmax=250m, pari alla larghezza della diga.
La tabella 7.3 mostra le formule empiriche che saranno messe al confronto per la valutazione del tempo di formazione della breccia e i parametri da cui dipendono.
Autore Formula Risultato Parametri
MacDonald e Langridge-Monopolis (1984)
( )er 0.364
f 0.0179V
T = Tf = 1h40min Volume
materiale eroso
US Bureau of Reclamation
(1988) Tf =0.011⋅B Tf = 1h45min Larghezza
media breccia
w
f B 4 h
T = ⋅ poco erodibile Tf = 52min Von Thune e Gillette (1990)
(4 h 61)
B
Tf = ⋅ w + molto erodibile Tf = 40min
Larghezza media breccia, altezza liquida
Froehlich (1995b) Tf =0.00254( )Vw 0.53⋅hb−0.9 Tf = 1h7min Volume liquido, altezza breccia
Tabella 7. 3 – formule empiriche per stimare il tempo di formazione della breccia (il risultato è in ore)
Previsione tempo di formazione Tf [h]
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00
MacDonald et Langridge-Monopolis Reclamation
Von Thun et Gillette (poco erodibile) Von Thun et Gillette (molto erodibile) Froehlich
Grafico 7. 2 – Stima del tempo di formazione della breccia per la diga dell’Eau d’Heure
102 L’incertezza legata al tempo di formazione della breccia appare molto più marcata rispetto a quanto osservato per la larghezza di breccia. I valori estremi passano da 40min a più di 2 ore. I risultati più prossimi sono quelli forniti da Froehlich e Von Thune e Gillette che si aggirano attorno a Tf=1h. Si tratta di valori nettamente superiori a quelli stimati con il rapporto di similitudine applicato al modello sperimentale; non ci stupiamo di queste differenze poiché l’analisi temporale del fenomeno è sicuramente molto influenzata dalla reale conformazione tridimensionale del manufatto, mentre nel canale di laboratorio si è potuto solo ricreare una porzione di struttura (circa 20m di larghezza dato che il canale è largo 40cm). Nonostante questo, vale la pena di sottolineare che anche un tempo di formazione della breccia pari ad 1h o 1.5h non concedono grandi margini d’intervento e quindi si ribadisce la necessità di una corretta gestione delle diverse fasi dell’allerta al fine di gestire la sicurezza della aree inondabili.
7.1.3. Previsione del picco di efflusso
Sulla base dell’idrogramma unitario dell’efflusso in corrispondenza della breccia, calcolato dal programma WOLF2D e rappresentato nel grafico 6.6 dalla curva verde scuro, possiamo provare a stimare il picco di portata uscente dalla breccia. Con il rapporto di scala relativo alla portata unitaria abbiamo valutato il picco di portata unitaria per la diga dell’Eau d’Heure pari a qp=33.9 m3/sec/m. Facendo delle ipotesi sulla larghezza della breccia è possibile avere una stima del picco di portata da poter confrontare con i risultati offerti dalle formule empiriche.
B [m] 110 160 183 187 250
Qp [m3/s] con qp di WOLF2D 3730 5420 6200 6340 8480
Tabella 7. 4 – Picco di portata previsto dal modello numerico WOLF2D in finzione della larghezza di breccia
Nella tabella 7.4 sono riportati tutti i valori della larghezza di breccia previsti con le formule empiriche ed il valore massimo possibile, B=250m, pari alla larghezza della diga. Ad ogni valore della larghezza di breccia corrisponde la portata di picco .
La tabella 7.5 raggruppa le formule empiriche usate per la stima del picco di portata.
Poiché il risultato dipende moltissimo dai valori di livello liquido e altezza della diga legati allo scenario di rottura
103 Risultato
Autore Formula
Scenario 2 Scenario 3
Kirkpatrick (1977) Qp =1.268(hw +0.3)2.5 Qp = 2700 m3/s Qp = 26300 m3/s Soil Conservation
Service(1981) Qp =16.6( )hw 1.85 Qp = 4650 m3/s Qp = 25700 m3/s US Bureau of
Reclamation (1982)
85 . 1 w p 19.1 h
Q = ⋅ Qp = 5350 m3/s Qp = 29600 m3/s
( )d 1.89
p 13.4h
Q = Qp = 3350 m3/s Qp = 24300 m3/s Singh e
Snorrason(1982)
47 . w0 p 1.776 V
Q = ⋅ Qp = 9350 m3/s Qp = 9350 m3/s MacDonald e
Langridge-Monopolis (1984)
( w w)0.412
p 1.154V h
Q = ⋅ Qp = 7400 m3/s Qp = 10800 m3/s
Costa (1985) Qp =0.981(Vw⋅hd)0.42 Qp = 7100 m3/s Qp = 11000 m3/s Evans (1986) Qp =0.72⋅Vw0.53 Qp = 11300 m3/s Qp = 11300 m3/s
Froehlich (1995b) Qp =0.607(Vw0.295⋅h1w.24) Q
p = 5750 m3/s Qp = 18000 m3/s
Tabella 7. 5 - Formule empiriche per stimare il picco di portata effluente (il risultato è m3/s)
Con riferimento allo scenario di collasso 2, per il quale entra in gioco l’altezza effettiva della diga dell’Eau d’Heure, si ottengono valori del picco di portata che si collocano nell’intervallo 3000-11000 m3/s.
Scenario 2 - Previsione del Picco di portata Qp[m3/s]
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
12000 Kirkpatrick
SCS Reclamation
Singh et Snorrason, f(hd) Singh et Snorrason, f(Vw) MacDonald et Langridge- Monopolis
Costa, f(Vw*hd) Evans
Froehlich
Grafico 7. 3 – Stima del picco della portata effluente dall’ipotetica breccia della diga de L’Eau d’Heure
104 La maggior parte dei risultati si addensano, comunque, in un intervallo più ristretto (circa 5000-7000 m3/s). Si nota che i picchi di portata stimati grazie alla modellazione numerica eseguita con WOLF2D sono molto prossimi a quelli forniti dalle formule empiriche se si considerano le larghezze di breccia corrispondenti. Ad esempio, Froehlich stima una larghezza di breccia pari a B=180 m circa e un picco di portata pari a Qp=5750 m3/s; la portata stimata da WOLF2D per una larghezza di breccia pari 180m è Qp=6200 m3/s.
Il grafico a fianco ci mostra i valori del picco di portata calcolati da Singh e Snorrason (min. e max.), dal Bureau of Reclamation e da Froehlich in funzione dei medesimi valori stimati con WOLF2D per le larghezze di breccia calcolate dai relativi autori. L’accordo dei risultati è evidente. Una prima conclusione che possiamo fare è che sia le formule empiriche in questione che il modello numerico sono in grado di offrire una buona rappresentazione della realtà del collasso pensando però all’intero volume d’invaso stoccato dietro la diga dell’Eau d’Heure, senza cioè delineare chiaramente il collasso “a cascata” di sbarramenti a quote molto diverse tra loro e con altezze altrettanto diverse.
Considerando invece i valori ponderati dell’altezza della diga e del livello d’invaso come descritto nello scenario 3 otteniamo dei picchi di portata nettamente superiori.
Il grafico 7.5 mette in evidenza due tendenze di stima nettamente separate. Le quattro formule che forniscono i valori di picco più elevati (dai 25000 m3/s ai 30000 m3/s) si basano solamente sul valore ipotetico dell’altezza della diga e dell’altezza d’invaso al momento del collasso. Nel grafico 7.3 le medesime formule forniscono i valori di stima più bassi delle altre.
Queste osservazioni ci possono portare a concludere che le formule che fanno esclusivo ricorso ai valori di hd e hw mal si adattano alla previsione del picco di portata effluente nel caso di collasso “a cascata”. L’altra tendenza di previsione fornisce risultati attorno al valore Qp=11000 m3/s. Le quattro formule in questione si basano o sul solo volume liquido d’invaso o sul fattore di breccia (già definito come Vw⋅hw).
0 2000 4000 6000 8000 10000
0 2000 4000 6000 8000 10000
Grafico 7. 4 – Picco di portata calcolato con le formule empiriche e con WOLF2D per le medesime larghezze di breccia.
105 Scenario 3 - Previsione del Picco di portata Qp[m3/s]
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
35000 Kirkpatrick
SCS Reclamation
Singh et Snorrason, f(hd) Singh et Snorrason, f(Vw) M acDonald et Langridge- M onopolis
Costa, f(Vw*hd) Evans
Froehlich
Grafico 7. 5 - Stima del picco della portata effluente dall’ipotetica breccia della diga de L’Eau d’Heure
Un valore superiore è fornito dalla formula di froehlich, anch’essa costruita sul prodotto Vw e hw aventi però un diverso esponente. Il picco Qp=18000 m3/s calcolato con quest’ultima formula è quello che maggiormente si avvicina al valore stimato dall’equipe del laboratorio d’idraulica della facoltà di Liegi quando hanno eseguito una simulazione numerica tridimensionale del collasso a cascata della diga della Plate taille e di quella, più a valle, dell’Eau d’Heure. Facciamo quindi due ultime osservazioni: la prima è quella che ci porta a confermare che le formule empiriche di Froehlich sono quelle dotate della migliore capacità di stima del parametri di breccia e del picco di portata. La seconda, ci spinge a sottolineare che per mettere in conto l’energia posseduta dalla massa liquida in uno scenario di collasso a cascata è preferibile stimare i picchi di portata con formule che si basano sul cosiddetto fattore di breccia. Tale fattore, lo ricordiamo, è stato in effetti definito per quantificare una sorta di energia potenziale idraulica durante il collasso degli sbarramenti.
Tendenza alla sovrastima
Tendenza alla stima più corretta
106 7.2. APPLICAZIONE DI UN MODELLO PARAMETRICO ALLA DIGA DE L’EAU D’HEURE
7.2.1. Applicazione del modello di F. Macchione
Il modello parametrico scelto è quello elaborato da Francesco Macchione , docente al dipartimento di difesa del suolo dell’università della Calabria. Le peculiarità di questo modello sono già state descritte con accuratezza nel capitolo 3. Si rimanda il lettore al paragrafo 3.3.3 per quanto riguarda la formulazione matematica generale. In questo contesto ci limitiamo a ricordare le ipotesi fondamentali fatte dall’autore:
A. Ipotesi sulla forma della breccia : inizialmente triangolare e poi trapezoidale, quando il vertice del triangolo raggiunge il fondo.
B. Ipotesi sul deflusso : stato critico per il deflusso sulla cresta in corrispondenza della breccia.
Per il modello in scala disponiamo delle misure dei livelli liquidi delle sonde. Tali valori si sono dimostrati utili per calibrare il modello.
Al posto delle equazioni 26 e 28 (§ 3.3.3) noi facciamo uso della ben nota legge generale dei serbatoi ci dice che:
dt ) dW t ( Q ) t (
Qi − u = [54]
Dove
Qi(t) = portata entrante nel serbatoio Qu(t) = portata uscente dalla breccia W = Volume d’invaso
La condizione iniziale è quella di invaso completamente riempito. Inoltre, nel nostro caso, la portata entrante è costante e pari a Qi=0.007 m3/s. La portata Qu(t) è la portata defluente data dal modello numerico WOLF2D. La variazione di volume è data da:
dt L dH dt B
dW = ⋅ ⋅ w [55]
dove B=0.4 m (larghezza del canale) e L=8.9 m (lunghezza del canale a monte della diga).
Si ha quindi :
L B
) t ( Q Q dt
dHw i u
⋅
= − [56]
107 N Per innescare il fenomeno erosivo si pensa che si verifichi una piccola incisione sulla cresta Æ si dà un valore iniziale Y0 = Hd - 0.01m dove Hd è l’altezza del modello in scala.
N Il livello liquido d’invaso iniziale è uguale all’altezza della diga Æ Hw,0=Hd. N Il passo temporale usato è ∆t=0.05 sec.
Per applicare il modello occorre stabilire la pendenza dei fianchi della breccia, β, e ciò sarà fatto tramite l'analisi dei filmati a disposizione. Occorre anche fissare il fattore K2 K3che dipende dall’attrito. Per esempio, è stato valutato sperimentalmente 32 9 10 8
K
K −
⋅
= per la diga di Teton.
E’ proprio questo fattore che può essere considerato un vero e proprio mezzo per tarare il modello da caso a caso.
Analizziamo la Sequenza delle operazioni seguita per applicare il modello al caso studio:
1) Si stabiliscono i valori di β (dai filmati) e di K2 K3(primo tentativo 32 9 10 8 K
K −
⋅
= );
2) utilizzando Y0 si calcola il valore di Yi per ogni passo temporale tramite la formula:
( ) ( ) ( )
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
− β −
⎟ γ
⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅ ⎛
∆
−
+ =
i d
2 i i, 2 w 2 3
3 3
2 2
i 1
i H Y
Y sin H
k g K 5 4 2 t 1 Y
Y [57]
Che deriva dalla relazione
t Y Y t Y dt
dY i 1 i
∆
= −
∆
≅ ∆ + con i=0...n.
Osservazione. Il calcolo procede fino a che Yi resta maggiore di zero. Dunque si avrà Yn=0 3) Per ogni valore di Yi si calcola la portata corrispondente grazie a:
( ) β
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛ H Y tg
5 4 2
Q g 2
5
i i , w 12
i ( Yi > 0 ) [58]
4) Conoscendo Yi a ciascun passo temporale si può anche calcolare il livello liquido corrispondente al passo successivo:
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ ⎥⎦⎤ β
⎢⎣⎡ −
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⋅ ⋅ + ∆
+ = H Y tg
5 4 2 007 g . 9 0 4 . 0 H t
H 2
5
i i, w 12
i, w 1 i,
w [59]
Che deriva dalla relazione
t H H
t H dt
dHw w wi, 1 wi,
∆
= −
∆
≅ ∆ + con i=0...n.
108 5) Quando Yi diviene minore di zero cominciamo ad usare la formula per la breccia trapezoidale :
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ + + + −
= wi, i i2 2wi, wi, 12
i,
c 2H 3Y 9Y 4H 8YH
5
h 1 (i = n...N) [60]
6) Quindi si valuta il l’entità di Qi per ogni valore di hc,i e Yi:
( )
[ − ] ( − ) β
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛ h h 2Y h Y − tg
2
Q g 2 ci, ci, i 32 ci, i 12
1
i (i = n...N) [61]
7) Si determina il valore di Yi seguente :
( ) ( ) ( )
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
− β β −
γ
⋅
∆
−
= −
+ 2
c 12 c
32 c d
2 1 c
32 3
2 i
1
i Y h
sin h Y
h H 2
Y 2 sin h
k g K 2 t 1 Y
Y [62]
Che è l’equivalente della relazione 57 per la breccia triangolare ma con i = n...N.
8) Il livello liquido in corrispondenza di ogni passo temporale ∆t è:
( )
[ ] ( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ⎟ − − β
⎠
⎜ ⎞
⎝
−⎛
⋅ ⋅ + ∆
= −
+ h h 2Y h Y tg
2 007 g . 9 0 4 . 0 H t
H 2 ci, ci, i 32 ci, i 12
1
i, w 1 i,
w (i=n...N) [63]
Le equazioni che abbiamo appena concluso di scrivere ci servono a descrivere la variazione di livello liquido nel serbatoio in corrispondenza della breccia, la variazione della quota di fondo del canale di breccia e l’idrogramma effluente. Il primo di questi risultati verrà confrontato con la registrazione dei livelli liquidi della sonda resistiva posta in corrispondenza della diga; intervenendo sull’angolo β, e sul fattore K2 K3si cerca di sovrapporre con più accuratezza possibile le due curve, sperimentale e teorica. Un primo valore di tentativo per β è stato ricavato dalla vista frontale del filmato dell’esperimento numero 3. Per quanto riguarda
2 K3
K , come già detto, abbiamo inizialmente usato il valore dedotto per la diga Teton dallo stesso autore del modello.
A pagina seguente mostriamo due applicazioni del modello in esame facendo particolare attenzione a sottolineare la sensibilità dei risultati nei confronti dei parametri a scelta dell’utilizzatore.
109 Applicazione 1:
Guardando il filmato 3, sembra che l’angolo d’inclinazione del canale di breccia sia circa β1=25-30° ma per avere una somiglianza maggiore tra i livelli calcolati e quelli misurati occorre fornire il valore di β2=38°. Nel grafico 7.6 riportiamo il livello liquido registrato dalla sonda ed i livelli liquidi calcolati con il modello macchione per β1 che per β2.
Grafico 7. 6 – Confronto dei livelli liquidi forniti dal modello parametrico con i risultati sperimentali
In questa situazione, la portata specifica q [m3/s/m] uscente dalla breccia è rappresentata nel grafico sottostante assieme all’idrogramma fornito da WOLF2D :
IDROGRAMMA USCENTE DALLA BRECCIA
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
Tempi [sec]
q [m3/s/m]
q1 (triang) q1(trapez) q2 (triang) q2 (trapez) q Wolf
Grafico 7. 7 – Confronto dell’idrogramma fornito dal modello parametrico e quello fornito da WOLF β1 [deg] Fattore1 k2/k3
30 3.7⋅10−7 β2 [deg] Fattore2 k2/k3
38 3⋅10−7
LIVELI LIQUIDI
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
Tempi [sec]
Hw [m]
Hw.1 (triang) Hw.1 (trapez) Hw.2 (triang) Hw.2 (trapez) Hw (sonda)
β2, fattore2
β1, fattore1
β2, fattore2
β1, fattore1
110 Come accennato in precedenza, il modello parametrico fornisce migliori risultati nel caso in cui si inserisca β2 = 38°, maggiore dell’angolo che si può valutare dai filmati. La curva in blu scuro del livello liquido (fase in cui il modello lavora con la breccia triangolare) segue da vicino i dati sperimentali per poi allontanarsi quando si ipotizza il raggiungimento del fondo del canale da parte della breccia. Anche nel grafico della portata specifica si vede che la curva ottenuta con β2 e fattore2 descrive correttamente l’idrogramma stimato dalla modellazione numerica. Il picco di portata che si ottiene con entrambe le curve del modello Macchione è praticamente identico a quello stimato da WOLF, esso però arriva in ritardo.
Applicazione 2a:
Poiché l’angolo dei fianchi della breccia dipende moltissimo dal meccanismo di collasso che si sviluppa (ad esempio, nel filmato 5 in cui l’infiltrazione rende più rapido lo slittamento al piede della struttura l’angolo β raggiunge anche i 50°) nel prossimo grafico riportiamo alcune situazioni abbastanza diverse tra loro. Si riportano due curve in cui resta fisso il fattore K2 K3 e si fa variare l’angolo; si tracciano altre due curve dove resta fisso l’angolo e si fa variare il fattore calibrante.
Grafico 7. 8 – Confronto tra due applicazioni del modello macchione e Il livello liquido sperimentale
Raddoppiando l’angolo e mantenendo lo stesso fattore K2 K3 il modello parametrico si discosta sensibilmente dai dati sperimentali. A pagina seguente vediamo che anche i picchi di portata sono molto più elevati di quello sperimentale.
β1 [deg] Fattore1 k2/k3 24 5⋅10−7 β2 [deg] Fattore2 k2/k3
50 5⋅10−7
LIVELI LIQUIDI
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
Tempi [sec]
Hw [m]
Hw.1 (triang) Hw.1 (trapez) Hw.2 (triang) Hw.2 (trapez) Hw (sonda)
β1, fattore1
β2, fattore2
111
IDROGRAMMA USCENTE DALLA BRECCIA
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
Tempi [sec]
q [m3/s/m]
q1 (triang) q1 (trapez) q2 (triang) q2 (trapez) q Wolf
Grafico 7. 9 – Idrogramma calcolato col modello macchione per l’applicazione 2a
Nel caso delle curve q1 si vede che, nonostante il livello liquido fosse relativamente vicino a quello sperimentale, l’idrogramma in corrispondenza della breccia mostra un picco nettamente superiore ed in ritardo nel tempo. Con il parametro β2=50° Il livello liquido si abbassa troppo rapidamente e, infatti, l’idrogramma mostra un andamento molto più ripido con il picco pari al doppio di quello sperimentale e molto in anticipo.
Applicazione 2b:
Ora vediamo il comportamento del modello quando l’angolo di breccia resto fisso a 50° (dato che angoli inferiore erano già stati analizzati nell’applicazione 1) e si fa variare il fattore K2/K3.
Grafico 7. 10 - Confronto tra due applicazioni del modello macchione e Il livello liquido sperimentale; l’angolo β resta costante β1 [deg] Fattore1 k2/k3
50 2.5⋅10−7 β2 [deg] Fattore2 k2/k3
50 1.8⋅10−7
LIVELI LIQUIDI
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
Tempi [sec]
Hw [m]
Hw.1 (triang) Hw.1 (trapez) Hw.2 (triang) Hw.2 (trapez) Hw (sonda)
β1=24°, fattore1=5*10-7
β2=50°, fattore2=5*10-7
fattore2 = 1.8*10-7
fattore1=2.5*10-7
112 Per l’inclinazione dei fianchi della breccia β=50° vediamo che passando dal fattore1=5*10-7 (grafico 7.8) a fattore1=2.5*10-7 (grafico 7.10) il livello liquido si avvicina molto di più alla curva sperimentale (curva di colore blu e celeste) anche se ne resta quasi completamente al di sotto. Abbassando ulteriormente il valore di K2/K3 fino a 1.8*10-7, la curva dei livelli liquidi va a sovrapporsi perfettamente a quella sperimentale ma ci accorgiamo le breccia resta triangolare quasi alla fine (colore verde scuro). Dal grafico 7.11 vediamo infatti che l’idrogramma derivante da quest’ultima condizione dà una netta sottostima del picco di portata, evidentemente un fattore troppo basso rallenta la velocità di allargamento della breccia e, di conseguenza, l’efflusso dalla breccia.
IDROGRAMMA USCENTE DALLA BRECCIA
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
Tempi [sec]
q [m3/s/m]
q1 (triang) q1 (trapez) q2 (triang) q2 (trapez) q Wolf
Grafico 7. 11 - Idrogramma calcolato col modello macchione per l’applicazione 2b, β=cost=50°
L’idrogramma effluente che otteniamo con la coppia β=50° e K2/K3=2.5*10-7 è quello che maggiormente si avvicina all’idrogramma simulato con WOLF sulla base dei dati sperimentali. Dimezzando il fattore di calibrazione (rispetto a quello adottato per l’applicazione 2a) otteniamo un valore del picco che è la metà e uno spostamento avanti nel tempo del picco stesso. Con la variazione solo dell’angolo dei fianchi di breccia avevamo ottenuto due idrogrammi di forma differente e con il picco in anticipo (β minore) o posticipato rispetto a quello sperimentale.
Concludendo, il modello parametrico sembra essere in grado di offrire una buona rappresentazione del fenomeno di collasso progressivo ma la calibrazione risulta essere eccessivamente sensibile. Nel prossimo paragrafo si propone una variazione alle equazioni del modello Macchione per ricreare la situazione di collasso parziale della struttura, con il fondo della breccia che non raggiunge il fondo del canale.
fattore1=2.5*10-7
fattore2 = 1.8*10-7
113 7.2.2. Modifica delle equazioni del modello
Poiché i nostri esperimenti mostrano chiaramente che il deflusso non è in grado di asportare completamente il materiale del rilevato, ci immaginiamo che una lieve modifica al modello appena usato possa avvicinare ancora di più i dati sperimentali ai risultati analitici. Il cambiamento che apporto alle equazioni fornisce la possibilità di modellare una breccia che non raggiunge il fondo del canale. Questa ipotesi implica che il passaggio da breccia triangolare a breccia trapezoidale avvenga prima che Y abbia raggiunto il valore zero. Questa trattazione ci pare interessante anche alla luce del fatto che molti altri modelli più complessi prendono in considerazione tale ipotesi; oltre ad essere un’evidenza in molti casi studio reali e sperimentali.
La condizione geometrica studiata è la seguente:
Analizziamo i punti salienti del modello “modificato”:
- Le equazioni della breccia triangolare non cambiano.
- La condizione limite che fa passare da breccia triangolare a trapezoidale è Y=Zd
- Le formule relative alla breccia trapezoidale cambiano solo per ciò che riguarda il calcolo dell’altezza critica: alla quantità Hw occorre sottrarre proprio la quantità Zd.
Riassumiamo la nuova sequenza delle operazioni:
1)...4) I passi1-4 restano invariati;
5) Diventa il seguente: quando Yi è più piccolo di Zd si comincia a usare la formula della breccia trapezoidale :
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ − + + + − − −
= wi, i i2 wi, 2 wi, 12
i,
c 2(H Zd) 3Y 9Y 4(H Zd) 8Y(H Zd)
5
h 1 (i=n...N) [64]
6)...8) Sono nuovamente invariati.
breccia triangolare breccia trapezoidale
Hw hc β
β
Hw hc Y
Zd
-Y
114 Sono ora mostrate differenti applicazioni che risaltano la sensibilità delle curve dei livelli liquidi e dell’idrogramma di piena in funzione della variazione dei tre parametri :
• Zd= altezza della struttura che non viene asportata
• β= angolo dei fianchi della breccia
• fattore K2/K3
Applicazione 3a:
Grazie alle applicazioni eseguite al paragrafo precedente, risulta interessante osservare l’influenza della variazione della quota Zd mantenendo costante sia l’angolo che il fattore K2/K3. Per primo analizziamo il caso di un angolo β=24° (simile a quello registrato dai filmati) e di un fattore K2/K3=6.5*10-7 facendo variale la quota Zd .
Grafico 7. 12 – Differenti livelli liquidi forniti dal modello Macchione al variare di Zd
Confrontando la curva in blu e celeste del grafico 7.8 (dove erano stati usati lo stesso angolo di breccia e un valore del parametro di calibrazione leggermente inferiore) con quelle del grafico 7.12 ci accorgiamo che, in quest’ultimo, il livello liquido fornito dal modello Macchione nella situazione di breccia trapezoidale si avvicina maggiormente ai valori sperimentali. In particolare per Zd=13cm la sovrapposizione è ottima. Possiamo immediatamente concludere che la possibilità di introdurre un valore Zd ≠ 0 migliora considerevolmente le possibilità d’applicazione del modello parametrico.
LIVELLI LIQUIDI
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
Tempi [sec]
Hw [m]
Hw (triang) Zd=8cm Hw (trapez) Zd=8cm Hw (triang) Zd=10cm Hw (trapez) Zd=10cm Hw (triang) Zd=13cm Hw (trapez) Zd=13cm Hw (sonda)
all’aumentare di Zd
