1. Si consideri una base B dello spazio delle soluzioni del seguente sistema lineare omogeneo

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Esami di profitto di Calcolo 2 - A. A. 2004-05 26 gennaio 2006

1. Si consideri una base B dello spazio delle soluzioni del seguente sistema lineare omogeneo



 



 



x + 2y + 2z + t = 0 y + z + t = 0 x + 4y + 4z + 3t = 0 x + y + z = 0.

Indicare, tra i seguenti sottoinsiemi, l’unico che completa B ad una base di R ⁴ :

(a) {(1, 0, 0, 0), (1, 0, −1, 1)}; (b) {(0, 0, 1, 0), (2, −3, 1, 2)};

(c) {(0, 0, 1, 0), (2, 0, −1, 1)}; (d) {(1, 0, 0, 0), (1, −3, 2, 1)}.

2. Determinare l’insieme delle radici quinte del numero complesso z = (1 + i) ⁻¹ .

3. Determinare il volume del solido Ω che si ottiene facendo ruotare l’insieme E = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ xe ^x } attorno all’asse x:

|Ω| =

4. Individuare, tra le seguenti funzioni definite su R ² \ {(0, 0)}, l’unica che pu` o essere estesa con continuit` a a tutto R ² :

(a) ln 

x

x

+y



; (b) e

; (c) _x

^x +y

^y

; (d) sen



x

√

x

+y

 .

5. Determinare la soluzone del seguente problema di Cauchy:



 

 



 

 



y ⁰⁰ − 2y ⁰ + y = e ^x senx y(0) = 1

y ⁰ (0) = 1 y(x) =

6. Determinare l’insieme dei punti di massimo, di minimo e di flesso della funzione

f : R ² → R, f(x, y) = senx seny.