Examen ENSA : Vibrations des systèmes mécaniques page1/2
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Examen
Vibrations des systèmes mécaniques
Cursus double diplôme
Durée 2 heures, documents autorisés
Réponse dynamique d’un ponton
On veut étudier la réponse dynamique du ponton représenté sur la figure ci-contre. Le ponton est modélisé par une poutre de longueur A simplement appuyée en A (point fixe).
Il repose à son extrémité B sur un flotteur de masse M .
g G G A
x G o
y o A B
Partie A : Le ponton est supposé parfaitement rigide
Dans cette première approche du problème le ponton est supposé parfaitement rigide. Les actions dynamiques de l'eau sur le flotteur seront modélisées par amortisseur élastique : ressort de raideur k (raideur hydrostatique), et un amortisseur de caractéristique b (prise en compte de la viscosité), on néglige les effets de masse ajoutée du aux mouvements du fluide.
On note : m = ρ S A La masse du ponton ( ρ masse volumique, S section uniforme, A longueur de la poutre) 2
M = m La masse du flotteur
,
k b Les coefficients de l'amortisseur élastique (actions dynamiques de l'eau)
F STA L'effort hydrostatique appliqué au flotteur à l'équilibre
g G G A
k b
x G o y o
M
A-1 : Mise en équations
9 Effectuez un bilan des efforts agissant sur le ponton (faire une figure)
9 Nous allons écrire l'équation de moment dynamique par rapport au point A qui est un point fixe de R 0
A l’équilibre le ponton est horizontal (les actions dynamiques de l'eau sont nulles), en déduire que la poussée hydrostatique est égale à 2,5mg .
Montrer que l'équation des petits mouvements en θ par rapport à la position d'équilibre est de la forme
2 2
I A θ = − k A θ − b A θ avec 7 2
A 3
I = m A moment d'inertie du système par rapport à A En déduire l'expression de ω o 2 et ε en fonction de m , , , A b k
9 Application numérique
Caractéristiques du ponton : masse m = 1,5 Tonnes , longueur A = 5 m Caractéristiques du flotteur: Raideur k = 35 10 4 N m / , b = 700 Calculer ω o , ε et donner la valeur de T o
A-2 : Oscillations libres
On appuie en B de manière à imposer un angle de 15° (π/12) au ponton, puis on lâche le dispositif.
9 Exprimer la réponse en θ et représenter l’allure de θ ( ) t en fonction du temps.
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2/3 A-3 : Vibrations forcées
Une houle harmonique exerce un effort sinusoïdal permanent : f t ( ) = F cos ω t sur le flotteur.
9 Établir l’équation différentielle du mouvement.
En déduire la solution particulière forcée θ f en fonction de ω . 9 Tracer l'allure de θ f en décibel
Quelle est l’amplification dynamique, en décibel, si la période de la houle est T = 1,1 T o et 0, 5 T o Partie B : Le ponton est maintenant supposé élastique
Le ponton est maintenant modélisé par une poutre élastique, on posera : EI 4 k
S α m
ρ A =
Avec: EI La raideur élastique du ponton ( E Module d’Young, I moment quadratique de la section) On note v x t ( , ) Le déplacement vertical du ponton par rapport à sa position d’équilibre statique.
B-1 : Mise en équations par le PFD
9 Exprimer l’équation locale en v x t ( , ) pour le problème posé sur x = ] [ 0, A
9 Exprimer les conditions aux limites en A
9 Effectuez un bilan de tous les efforts agissant sur le flotteur
Faites une figure, n'oubliez pas la poussée hydrostatique et le poids du flotteur.
Montrer que l'équation de résultante dynamique pour le flotteur est
( , ) ( , ) ( , )
3( , )
2 mv A t = − kv A t − bv A t + EIv , x A t + mg / 2
Écrire que Le moment de flexion en B est nul (flotteur monté sur une rotule) 9 En déduire le système d'équations différentielles du problème
B-2 : Mise en équations par le PTV
L’expression du PTV pour tout déplacement virtuel cinématiquement admissible est :
2 2
