Vibrations des systèmes à N degrés de liberté

Fiche de cours du chapitre IV Vibrations des systèmes à N DDL

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Vibrations des systèmes à N degrés de liberté

Équations du mouvement

Problème à résoudre : Trouver { } ^x

solution de

[ ] ^M { } ^{ x +} [ ] ^K { } ^{x +} [ ] ^B { } { ^{x  = f t ( )} }

avec pour conditions initiales : { } ^x

 ^et { } ^x

donnés Système conservatif : On suppose que[B] = 0

Fréquences et modes propres

Les pulsations propres ω

sont solutions de : ^det ( [ ] ^{K − ω}

[ ] ^M ) ^{= 0}

Les modes propres associés { } ^Z

sont solutions de : ( [ ] ^{K − ω}

[ ] ^M ) ^{{ } { } Z}

^{= 0}

Analyse modale

On construit une base K

et M

d'où en posant { }

[ ] { } { }

1

t

t _i

n

i

i

q

Z q

Z

x ∑

=

=

=

Le système d'équations est découplé: ∀ i m q



+ k q

= ϕ

avec

{ } [ ] { } { } [ ] { }

{ } { }

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

=

es généralisé forces

f Z

es généralisé raideurs

Z K Z k

es généralisé masses

Z M Z m

T i i

i T i i

i T i i

ϕ Réponse dynamique

ω τ τ

ω τ ω ϕ

ω ω t d

t m t q

q

q

t

i i i i i i i t i

i

( ) sin( ( ))

sin cos

0 0

) 0

(

= + ^ + ∫ −

Les conditions initiales seront déterminées par { } ^q

[ ] ^Z { } { } ^{x et q} [ ] ^Z { } ^x

1

0 0

1

=

 =



En pratique on utilise une M-norme [ ] [ ][ ] [ ] ^Z

^{M Z = 1} soit [ ] [ ] [ ] ^Z

^{= Z}

^M

Solution particulière harmonique

On peut chercher directement la solution sous la forme { } { } ^x

^{= X cos}

d'où : { } ^{X =} [ [ ] ^{K − ω}

[ ] ^M ]

^{{ } F}

la matrice { } ^A

⁼ ( [ ] ^{K − ω}

[ ] ^M )

est appelée matrice admittance Système dissipatif

Amortissement proportionnel : [ ] ^{B = α} [ ] ^{M + β} [ ] ^K Hypothèse de Rayleigh

On utilise la base modale du système conservatif, les équations sont alors de la forme :

{ } { }

  ( )

q q q Z f t

i i i i i

m

i T

ii

+ ω

+ 2 εω = et on sait les résoudre.

Cas d’un amortissement quelconque Î transformation de Duncan