Unità di misura dell’energia usate negli acceleratori:

Evoluzione degli acceleratori

Elettrostatici Lineari Circolari

Diagramma dell’energia degli acceleratori dal 1930 al 2010

(Livingston Chart)

Lo sviluppo degli acceleratori è stato determinato dalla ricerca fondamentale:

Il raggiungimento di energie sempre maggiori per indagare la struttura della materia nei componenti più ultimi ha portato con sé l’evoluzione di tecnologie e di conoscenze

che si usano per applicazioni in moltissimi campi

L’albero del tempo delle applicazioni degli acceleratori

Un electron volt è una misura di energia: è l’energia cinetica guadagnata da un elettrone passando in una differenza di potenziale di un Volt.

Un Volt non è una misura di energia.

Un electron volt è una misura di energia.

Un eV è un’energia molto piccola.

Unità di misura dell’energia usate negli acceleratori:

10

eV = 1 KeV 10

eV = 1 MeV 10

eV = 1 GeV 10

eV = 1 TeV

un eV = 1.602 x 10

joules

Gli acceleratori circolari

E.O.Lawrence (1930) ebbe la brillante idea di curvare le particelle su una traiettoria

circolare, facendole ripassare molte volte nello stessa cavità a

radiofrequenza.

Negli acceleratori circolari un campo magnetico B è diretto verticalmente; se una particella relativistica di momento p viaggia nel campo magnetico

perpendicolare la variazione di momento è

dp/dt=e v x B

il raggio di curvatura della

traiettoria dipende dalla carica e dall’energia della particella

Quali sono i componenti di un sistema di acceleratori ?

Booster - piccolo anello che prepara il fascio del linac per una migliore efficienza di iniezione

Electron Gun Linac Anello di accumulazione

Descrizione di un anello d’accumulazione

ELEMENTI

Magneti Camera da vuoto

Cavità rf

Sistemi di diagnostica -Posizione

-Corrente

Sistema di raffreddamento (+ criogenico se SC)

Pompe da vuoto Sistema di controllo

Cavi (km…)

Protezione dalle radiazioni DAΦNE: collider e+ e- all’energia della particella Φ …

usato anche come sorgente di luce di sincrotrone

Principali magneti di un anello

DIPOLI –

QUADRUPOLI –

SESTUPOLI

Equazione fondamentale

per descrivere il movimento di una particella in un acceleratore

( ^{E v B} )

dt q p

d r r r r

× +

=

carica q

velocità v

massa m

m

momento v

m p

o

=

=

=

=

=

= r

r r

γ

magnetico campo

B

elettrico campo

E

= r = r

ct s

c v

c v

≈

≈

≈

= 1

β

Il moto di una particella carica è modificato dai campi elettromagnetici

Æ particella relativistica

Campi elettrici

Accelerazione:

aumento di velocità + aumento di energia

con le cavità a radiofrequenza (come nei linacs)

E a

F r r r

q m

=

=

Accelerazione = aumento di energia

Velocità delle particelle normalizzata alla velocità della luce in funzione dell’energia

La variazione di velocità è trascurabile al di sopra di una certa

energia

β ^{= v/c}

Energia cinetica

Campi magnetici

Una particella carica in un campo magnetico uniforme B descrive un cerchio di raggio ρ

Dalla forza di Lorentz:

Rigidità magnetica

v m

B

q ρ = _o γ

) (

3 . 3 )

( )

( T m E GeV

B ρ =

I campi magnetici sono usati negli acceleratori per guidare le particelle cariche nelle loro traiettorie all’interno della camera da vuoto

In ogni acceleratore esiste una traiettoria di riferimento, sulla quale viaggia la particella nominale

(energia nominale, momenti trasversali nulli).

In un acceleratore circolare tale traiettoria è un’orbita chiusa

formata da archi di cerchio e tratti dritti

Siccome le particelle fanno traiettorie deviate rispetto a quest’orbita

servono anche forze focheggianti che le mantengano

vicine ad essa

Frequenza di rivoluzione

o o

o

f T

v T C

c v

= 1

=

≈

m C = 100

sec 10

3 .

3

o

= T

3 milioni di giri/sec

DAΦNE (Frascati) LEP (CERN, Ginevra) km

C = 27

sec 10

9

o

= T

11000 giri/sec

Sistema di riferimento

x y

s

x – orizzontale y – verticale

s – longitudinale sulla traiettoria di riferimento

Campo magnetico verticale:

DIPOLI

Curvano la traiettoria

0 0

=

=

=

s

o y

x

B

B B

B [ ] _[ ^{[ ]} _]

GeV E

T m 0 . 3 B

1

−

= ρ

componenti nel nostro sistema di riferimento

QUADRUPOLI

focheggiano le traiettorie fuori asse

campo magnetico forze sulle particelle

y

F_y

= 0

⋅

−

=

⋅

−

=

s x y

B

y g B

x g B

[ ]

[ ] ^{" "}

/

2

forza del quadrupolo B

m g k

magnetico campo

del gradiente

cte m

T g

=

=

=

=

−

ρ

Componenti del campo magnetico nel nostro sistema di riferimento:

Quadrupoli

k k

y ds k

y d

k k

x ds k

x d

y y

x x

−

=

= +

+

=

= +

; 0

; 0

2 2

2 2

qcgy F

qcgx F

y x

−

=

=

Forza di Lorentz:

^{F r = q} ( ^{v r × B r} )

la forza di focheggiamento è lineare in x e y

Un quadrupolo focheggia in x e defocheggia in y

Sequenza FODO

Una sequenza alternata di lenti focheggianti e defocheggianti ha un effetto totale focheggiante se le distanze tra le lenti non sono troppo lunghe

Il quadrupolo che focheggia nel piano orizzontale, defocheggia in quello verticale e viceversa

La sequenza FODO focheggia nei due piani

Esempi di magneti in un anello

Si può variare l’intensità del campo magnetico modificando dal sistema di controllo la corrente nelle spire

dipolo quadrupolo

Magneti permanenti

i

per alcune applicazioni si usano i materiali a magneti permanenti:

il campo magnetico è fisso, non può essere variato con l’energia;

non consumano corrente

usati spesso negli ondulatori delle sorgenti di luce di sincrotrone

Quadrupoli usati nelle zone di interazione di DAFNE

Wigglers e ondulatori

Negli anelli di luce di sincrotrone per aumentare l’emissione di radiazione si usano i Wigglers e gli Ondulatori:

serie di dipoli a campi alternati in cui le particelle compiono un’oscillazione ed emettono luce la cui lunghezza d’onda dipende dal campo del wiggler

Oscillazioni di betatrone

Una particella con l’energia nominale e con segue la traiettoria nominale

e passa al centro dei quadrupoli dove il campo magnetico è nullo

Se la sua posizione cambia per qualche motivo, passa fuori asse nei quadrupoli

e oscilla intorno alla traiettoria nominale:

Oscillazione di betatrone

0 ' ' = = =

= x y y x

x

Traiettoria nominale

Q Q

ρ

ρ ρ

B s s g

k

s B

s s g

k

y x

y s

k y

x s

k x

y x

) ) (

(

) (

1 )

) (

(

0 )

( '

'

0 )

( '

'

−

=

+

=

⎩ ⎨

⎧

= +

= +

Equazioni di Hill:

Oscillatore pseudoarmonico Termine forzante periodico

nza circonfere

lunghezza L

periodica funzione

L s

k s

k

=

= +

= ( )

) (

Q

'

' s

x ∂

= ∂

D

Soluzione

A, δ

β

φ

( )

( ) ( )

[ φ δ α φ δ ]

β

δ φ

β

+ +

+

−

=

+

=

) ( cos ) ( )

( ) sin

) ( ( '

) ( cos )

( )

(

s s

s s s A

y

s s

A s

y

) (

) ( ) 1

(

) ( 2

) 1 (

) (

2

s s s

s s s

s

β γ α

α β β

= +

∂

− ∂

=

∫

= ( ) )

( s

s ds

φ β

Funzioni di Twiss

y : coordinata trasversa (x o y) Posizione

Angolo (divergenza)

Piano orizzontale : particelle con energia diversa da quella nominale

o

x

E

x E s k

x Δ

=

+ ρ

) 1 ( '

L’equazione del moto

'

è non omogenea nel piano orizzontale:

Una particella con l’energia diversa da quella nominale, al passaggio in un dipolo segue una traiettoria diversa da quella nominale

La soluzione è la somma della soluzione all’equazione omogenea, x_β(s) e di un termine proporzionale alla deviazione di energia

E

s E D s

x s

x Δ

+

= ( ) ( ) )

(

D(s)

Se

x

(s)

esiste un’orbita chiusa,

intorno alla quale oscillano di betatrone le particelle con energia E_k

o o k

o

k

E

E s E

D s

x s

x −

+

= ( ) ( ) )

(

Negli anelli in cui i dipoli curvano soltanto sul piano orizzontale esiste solo la funzione D_x(s), dispersione orizzontale

Spazio delle fasi di una particella

Area dell’ellisse =

invariante del moto a energia costante

ellisse dell

area const

y y

y

y² + 2α '+β '² = = ' γ

α, β, γ

EMITTANZA

ellisse dell

area const

y y

y

y

+ 2 α ' + β '

= = ε = ' γ

L’area dell’ellisse che contiene tutte le particelle del fascio è

l’emittanza

Dimensione trasversa Momento trasverso

I parametri di Twiss definiscono la forma e l’inclinazione

dell’ellisse nello spazio delle fasi,

l’emittanza la sua

area.

L’emittanza si conserva qualunque sia la forza magnetica che agisce sulla particella:

Teorema di Liouville

“Nelle vicinanze di una particella, la densità delle particelle nello spazio delle fasi è costante se le particelle si muovono in un campo magnetico esterno o in qualunque campo in cui le forze siano conservative”

Le unità di misura dell’emittanza sono m rad

(dimensione * divergenza)

Spazio delle fasi in diversi punti dell’acceleratore

Caratterizzazione del fascio

Le particelle di un fascio in un acceleratore non hanno tutte la stessa energia e posizione L’energia, la posizione e il momento trasverso hanno distribuzioni gaussiane

Il pacchetto di particelle è un ellissoide a 6 dimensioni:

Posizione - momento orizzontale Posizione - momento verticale Energia - posizione longitudinale

s y

x

coordinata distribuzione

Caratterizzazione di una particella

x y

y’

x’

Δl ΔE/E

Ogni particella ha il suo invariante nei 3

“spazi delle fasi”:

orizzontale, verticale e longitudinale

Dimensione del fascio

) ( )

( s εβ s

σ =

La dimensione trasversa del fascio è

Quanto misura il pacchetto di elettroni o positroni all’interno della camera da vuoto?

Negli anelli di collisione e⁺ e^- nel piano orizzontale la σ è tipicamente dell’ordine dei mm mentre nel piano verticale è circa 100 volte minore (rms della gaussiana) emittanza

Abbiamo visto:

Orbita chiusa

Oscillazioni di betatrone intorno ad essa Diverse orbite chiuse per diverse energie

Equazioni del moto

Parametri di Twiss e dispersione periodici

…

Trattamento matematico: MATRICI

Ogni particella è caratterizzata da 6 coordinate Due orizzontali: x, x’

Due verticali: y, y’

Due longitudinali: s, Δ E/E

VETTORE

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

Δ Δ

E E

s y

y x

x

/

'

'

Il modo in cui il vettore di una particella si trasforma quando passa per un elemento dell’anello

viene descritto dalla matrice dell’elemento

Tratto dritto:

Quadrupolo

Dipolo

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 1

0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

l l

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

− −

−

−

1 0 0

0 0

0

0 1 0

0 0

0

0 0 cosh

sinh 0

0

0 0 1 sinh

cosh 0

0

0 0 0

0 cos

sin

0 0 0

0 1 sin

cos

l k l

k k

l k k

l k l

k l

k k

l k k

l k

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

1 0

0 0 0 0

0 1

0 0 0 0

0 0

1 0 0 0

0 0

1 0 0

sin 0

0 0 cos 1sin

) cos 1 ( 0 0 0 sin cos

ρθ

θ θ

ρ θ

θ ρ

θ ρ θ

Conoscendo le caratteristiche di un elemento La sua matrice di trasporto è definita

, … , …

L’anello è descritto matematicamente da una serie di matrici.

Sia per la progettazione che per la simulazione della dinamica del fascio vengono usati codici di calcolo

Esempio di simulazione di una regione di anello:

funzioni β di Twiss (nera e rossa) e Dispersione (verde)

Frequenze di betatrone

∫

= s ds

Q

( ) 2

1

,

,

φ

π

Il numero di oscillazioni di betatrone in un giro è chiamato

‘numero di betatrone’ o ‘tuno’

(dall’inglese ‘tune’) Siccome le oscillazioni vengono guidate dai quadrupoli,

il tuno dell’anello viene determinato dai campi quadrupolari:

più forti sono i quadrupoli, più rapide sono le oscillazioni, maggiori sono i tuni

Risonanze

ci sono quindi zone ‘proibite’

nel diagramma dei tuni:

le risonanze

interi ,

,

, n m p p

mQ nQ

+

=

La frequenza di betatrone non è un numero intero: se così fosse, qualunque perturbazione ci fosse in un punto dell’anello sarebbe vista sempre

con la stessa fase, e il suo effetto cumulativo potrebbe essere distruttivo per la particella

Errori di posizionamento o campo

… quanto detto finora si riferisce a un acceleratore ‘ideale’

Nella realtà è impossibile costruire una macchina perfetta:

gli errori di posizionamento dei magneti o di intensità del campo magnetico costituiscono un elemento della macchina.

Il loro trattamento matematico fa parte della fisica degli acceleratori tanto quanto ne fa parte l’elettromagnetismo Orbita chiusa ideale

Orbita chiusa dovuta a un errore

Caso più semplice:

errore di posizionamento di un quadrupolo

crea un’orbita chiusa che si discosta da quella ideale lungo tutta la macchina

y

F_y

posizione della traiettoria: δx

Il quadrupolo agisce come un dipolo B_y = g x e dà alla traiettoria un angolo δα proporzionale a gx

L’orbita chiusa che ne deriva è data da

) ( cos )

) ( (

sin 2 ) 1

( s s

B Bl s Q

x

x

k

β β φ

ρ δ

= π

Se Q_x fosse intero l’orbita sarebbe infinita -> instabile

Cromatismo

L’effetto focheggiante o defocheggiante di un quadrupolo dipende dall’energia della particella

E = EE = E_oo

E >

E > EE_oo

Il tuno della particella con energia nominale

è diverso dal tuno di una particella con energia diversa

σσ_EE ^o

y x y

x

E E

C Q

∂

= ∂

, = cromatismo= cromatismo

Sestupoli

Frascati)

Per correggerlo si usano i sestupoli

) (

2

2

2

y

x S B

Sxy B

y x

−

=

=

Il sestupolo si comporta come un quadrupolo

con un gradiente proporzionale allo spostamento trasversale

I sestupoli introducono i campi non lineari nell’acceleratore

Apertura dinamica:

zona stabile all’interno dell’anello

La presenza di campi non lineari implica La presenza di campi non lineari implica

che il moto della particella che il moto della particella

non è più un’ellisse nello spazio delle fasi non è più un’ellisse nello spazio delle fasi

(non basta l’equazione di

(non basta l’equazione di HillHill).).

Il moto diventa più disordinato e può portare a Il moto diventa più disordinato e può portare a

Instabilità Instabilità.. L’attraversamento delle risonanze

L’attraversamento delle risonanze può portare a perdita della particella può portare a perdita della particella

Solo campi lineari

Dipoli e quadrupoli Sestupoli Ottupoli …..…..

simulazione dello spazio delle fasi con forti campi non lineari

Piano

longitudinale

Cavità Cavità rfrf Il fascio di particelle viene iniettato

nell’anello con l’energia acquistata nel LINAC.

Durante il passaggio attraverso i dipoli perde energia emettendo

“luce di sincrotrone”.

Quando passa nella cavità rf , ri-guadagna energia.

V q dt

E q

E

gap

∫ ⁼

=

Δ r

) ( ˆ sin

' ˆ sin

0

t V

dt V

V

t

rf

φ

ω =

= ∫

Durante l’accelerazione tutti i campi magnetici vengono aumentati per seguire l’aumento di energia

Quando l’energia del fascio arriva al valore nominale dell’anello, la cavità rf restituisce alle particelle solo l’energia che esse perdono

per luce di sincrotrone durante il giro.

La

particella sincrona

per il guadagno nominale di energia

o rf

rf

h f

f = 2 π ω =

La frequenza rf del campo elettrico della cavità, f_rf , è un multiplo intero della

frequenza di rivoluzione, f_o

armonico numero

h =

Le altre particelle del fascio, oscillano intorno alla particella sincrona, con lo stesso principio della

stabilità di fase

Analogamente ai piani trasversali, si possono scrivere le equazioni delle oscillazioni longitudinali,

dove le coordinate della particella sono

E E E energia fase

s s

−

= Δ

−

=

Δ φ φ φ

Oscillazioni di sincrotrone ( ^{sin sin} ) ⁰

cos

2

− =

+ Ω

s

s

φ φ

φ ^&& φ

Zone stabili

Radiazione di sincrotrone

Una particella carica che viaggia in una traiettoria curva emette fotoni, la cui energia dipende dalla massa e dall’energia della particella e dal raggio di curvatura della traiettoria

Una particella carica che viaggia in una traiettoria curva perde energia.

In un anello di accumulazione l’energia persa viene compensata dalle cavità a radiofrequenza

U = 4 π

3

r

mc

( )

^E

4

ρ Energia emessa per giro

Le particelle più leggere emettono più energia.

Come sorgenti di radiazione vengono usati acceleratori di elettroni o positroni

Emissione di luce di sincrotrone

ρ (m)

E

(GeV)

ΔE/giro (MeV)

DAΦNE 1

ELETTRA 5.6 2 0.1

ESRF 23 6 1

3000

0.51 0.009

LEP 100 1500

Massa

Energia della particella

( ) (

)

3 4

2 3

3 4

mc B E E

mc

U = r

∝

ρ π

Raggio di curvatura della traiettoria

Campo magnetico

Anello di luce di sincrotrone:

nella camera da vuoto dove le particelle curvano si inseriscono finestre di diamante da dove la luce viene estratta e trasportata alle linee degli esperimenti

Quali sono i ‘limiti’ delle sorgenti di radiazione ?

Energia

Intensità

Aumentando l’energia di un acceleratore circolare

si aumenta la perdita di energia per luce di sincrotrone:

cavità rf dipoli

dimensioni totali dell’anello tutti i campi magnetici

devono essere dimensionati adeguatamente

Intensità: effetti collettivi

Abbiamo visto come

il moto di una singola particella in un acceleratore è determinato dai campi magnetici creati dai dipoli e quadrupoli, dal

sistema rf, dalle condizioni iniziali e dalla radiazione di sincrotrone

Tutte le particelle contenute in un fascio ad alta intensità sono

una corrente elettrica con una carica non trascurabile

Esempio:

N=5 10 ¹⁰ per bunch n = 100 Q_tot= 1.6 10 ^–19 C x 100 x 5 10 ¹⁰ = 8 10^-7 C I = Q/t = Q f_o = 3 10 ^–6 1.6 10^-7 = 2.4 A

Ciò può dare origine a una variazione delle frequenze proprie del fascio (frequenze di betatrone e sincrotrone),

può portare a:

instabilità,

o

della distribuzione del fascio, o allungamento dei pacchetti.

Questi fenomeni si chiamano effetti collettivi

e sono naturalmente collegati al numero di particelle presenti nel fascio Questi campi interagiscono

con ciò che li circonda, vengono modificati dalle

condizioni al contorno (camera da vuoto, cavità, ecc) e agiscono a loro volta

sul fascio stesso I fasci di particelle agiscono

come sorgente di campi elettromagnetici:

self fields

I sistemi che ‘controllano’ gli effetti collettivi sono diversi:

Impedenza di ogni elemento ‘visto’ dal fascio

(camera da vuoto, soffietti, cavità, elementi di diagnostica,….) Vuoto dinamico

Sistema di feedbacks

…

Camera da vuoto

esempio di elementi

soffietto

arco di DAΦNE

Diagnostica

Esempio di monitor di posizione:

il segnale elettrico del fascio viene raccolto da 4 elettrodi, La tensione indotta permette

di risalire alla posizione in x e y del centroide del fascio

Sistema di controllo

Le informazioni sullo stato di ogni elemento dell’acceleratore + le informazioni sulla posizione, intensità, stato del fascio

lette dagli elementi di diagnostica vengono trasportate alla sala di controllo

dove l’operatore controlla la situazione e agisce sugli elementi dell’accelaratore

per mantenere e ottimizzare le performance dell’insieme.

Eventuali malfunzionamenti dei vari sottosistemi vengono segnalati in tempo reale

Collisori particella-antiparticella

Particella-antiparticella circolano in versi opposti nello stesso anello (es. ADONE)

Vantaggio rispetto ad un fascio contro una targhetta fissa: stessa E nel centro di massa ma con molta meno E del fascio:

Collisore Targhetta fissa di e

Per avere 1 GeV nel centro di massa: W = 1 GeV E

= E

=.5 GeV E = 1000 GeV

Vantaggio e

e

rispetto a p anti-p: e

e

puntiformi

2

2 E

E

W ≅ W ≅ 2 E m

+ 2 m

Luminosità

• Numero di particelle prodotte nell’interazione:

• Limite principale sulla L: interazione fascio-fascio

particella di un fascio vede l’altro fascio come una lente convergente Æ oscillazioni di betatrone incontrollabili

entro un certo limite

Vantaggio dei 2 anelli separati (DAΦNE)

A N L N

−

∝

Luminosità

σ

Sezione d’urto

Numero di particelle collidenti

Sezione trasversa dei fasci all’interazione

Se volete saperne di più….

CAS: CERN Accelerator School

Proceedings : http://cas.web.cern.ch/cas/CAS_Proceedings.html

M. Sands, “The Physics of Electron Storage Rings”, SLAC Report 121 (1970)