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trovare gli autovalori e la forma normale diagonale di A

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Academic year: 2021

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(1)

Esercizi di Geometria 1, foglio 10 (dicembre 2018)

1. i) Per la matrice simmetrica reale

A =

1 1 0 1 1 1 0 1 1

,

trovare gli autovalori e la forma normale diagonale di A. Poi trovare una matrice ortogonale S tale che S−1AS `e una matrice diagonale.

iii) Per la matrice simmetrica reale

A=

0 0 a 0 a 0 a 0 0

,

trovare gli autovalori e basi degli autospazi. Poi trovare una matrice ortogonale S tale che S−1AS `e diagonale.

2. Sia V uno spazio vettoriale unitario di dimensione finita e f : V → V un endomor- fismo anti-autoaggiunto, cio`e

< v, f(w) >= − < f (v), w >, per tutti v, w ∈ V . Dimostrare che:

i) ogni autovalore di f `e in iR (un numero puramente immaginario o 0);

ii) autovettori di autovalori distinti sono ortogonali;

iii) la matrice di f rispetto a una base ortonormale di V `e anti-hermitiana (A = −tA);¯ iv) esiste una base ortonormale di autovettori di f .

3. i) Per la matrice simmetrica reale

A =

2 0 3

0 −1 0

3 0 2

,

trovare una base ortonormale B di R3 di autovalori di A e una matrice ortogonale S tale che S−1AS `e una matrice diagonale.

ii) Trovare la forma diagonale, in coordinate rispetto alla base ortonormale B di R3 (assi principali), della forma quadratica

q : R3 → R, q(x) = 2x21− x22+ 2x23+ 6x1x3 =txAx.

(2)

Trovare una base B ortogonale di Sylvester per la forma quadratica q: qual’`e la forma diagonale di q in coordiate rispetto a questa base? Poi fare un disegno della quadrica Q= {x ∈ R3 : q(x) = 1} in queste coordinate.

4. Data la forma quadratica reale q : R3 → R,

q(x) = x21+ x22+ x23+ 2x1x2+ 2x2x3,

scrivere q nella forma q(x) = txAx, con una matrice simmetrica A e trovare una base ortonormale B di autovalori di A (assi principali per q). Qual’`e la forma diagonale di q in coordinate rispetto a questa base? Poi trovare una base ortogonale B di Sylvester per q e la forma diagonale di q rispetto a questa base; fare un disegno della quadrica Q= {x ∈ R3 : q(x) = 1} in queste coordinate.

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