- Apprendere strategie di risoluzione più efficaci.
- Leggere bene il quesito, capire l’argomento di cui si sta parlando e prestare attenzione alla richiesta.
- Presentare un metodo utile per semplificare alcuni calcoli.
No, una volta compreso il metodo di risoluzione, sarà possibile risolvere anche esercizi simili.
Le (dette anche ) sono curve piane che siano il luogo dei punti ottenibili dall’intersezione tra un piano e la superficie di un cono circolare.
circonferenza, ellisse, parabola, iperbole.
punto, retta, due rette.
L’equazione generale della parabola con è:
E’ il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta ( ) e da un punto fisso ( ).
V ( - b
2a ; - ∆
4a ) F ( - b
2a ; 1 − ∆ 4a )
Asse di simmetria: x = - b Direttrice: y = - 1 + ∆ 2a
4a
L’equazione generale della parabola con è:
V ( - ∆
4a ; - b
2a ) F ( 1 − ∆
4a ; - b 2a ) Asse di simmetria: y = - b
2a Direttrice : x = - 1 + ∆ 4a
A. L’equazione dell’asse è pari a x = 1 B. Ha concavità verso il basso
C. Le coordinate del vertice sono V ( -4 ; 1)
D. Passa per l’origine degli assi cartesiani
E. Le coordinate del fuoco sono (3/2 ; 1)
Il quiz chiede di individuare la risposta «vera», quindi procediamo escludendo quelle false.
Analizziamo tutte le opzioni osservando che la parabola proposta ( ha l’asse di simmetria parallelo all’asse x:
- L’equazione dell’asse è: y = - b
2a = -2 / 2(-1) = -2 / -2 = 1 → y = 1 ; - Se a > 0 la concavità è verso destra, se a < 0 verso sinistra ;
- Verifichiamo che la parabola passi per O (0;0) sostituendo y = 0:
x = 0 + 0 – 5 → x = 5 ; - F ( 1 − ∆
4a ; - b
2a ) con yF = 1, e sapendo che ∆ = 2² - 4 (-1)(-5) = 4 - 20 = -16:
xF = (1 + 16) / 4(-1) = - 17/4 .
L’unica opzione corretta è la . Sapendo che V (- ∆
4a ; - b
2a ), abbiamo yV = 1, mentre per xV basta sostituire la coordinata y del vertice nell’equazione della parabola:
x = - y² + 2y – 5 → x = -(1)² + 2(1) – 5 = -1 + 2 - 5 = -4.
Perciò xV = -4 e yV = 1 .
A. L’equazione dell’asse è pari a x = 1 B. Ha concavità verso il basso
D. Passa per l’origine degli assi cartesiani
E. Le coordinate del fuoco sono (3/2 ; 1)
Una circonferenza è il luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto .
La sua equazione generale è:
Conoscendo le coordinate del centro C ( - a
2 ; - b 2 )
e la misura del raggio r = (− a
2 ) + (− b 2 )
possiamo determinare l’equazione di una circonferenza utilizzando l’equazione:
A. E’ il luogo geometrico dei punti nel piano equidistanti dal centro B. Passa per (√3 ; 1)
C. Non passa per l’origine degli assi D. Ha centro sull’asse x
E. Ha raggio uguale a √7
Il quiz chiede di individuare la risposta «errata», quindi procediamo escludendo quelle vere.
Analizziamo tutte le opzioni:
- L’opzione A propone la corretta definizione di circonferenza, perciò è vera ; - Verifichiamo che la circonferenza passi per (√3 ; 1) sostituendo y = 1:
x² + (1)² -6(1) + 2 = 0 → x² + 1 – 6 + 2 = 0 → x² - 3 → x² = 3 → x = ± √3 ; - Verifichiamo che la circonferenza passi per O (0;0) sostituendo y = 0:
x² + 0 + 0 +2 = 0 → x² = -2 → x non appartiene ai numeri reali (sempre falsa);
poiché non abbiamo ottenuto x = 0, la circonferenza non passa per l’origine e dunque: ; - r = (− a
2 ) + (− b
2 ) = = = √7 .
L’unica affermazione falsa (e dunque la risposta del quesito) è la Verifichiamo ciò: C ( - a
2 ; - b 2 )
= 0 e = - (-6)/2 = 3 → perciò C (0 ; 3).
Dalle coordinate del centro capiamo che esso si trova sull’asse y e su quello
delle x.
A. E’ il luogo geometrico dei punti nel piano equidistanti dal centro B. Passa per (√3 ; 1)
C. Non passa per l’origine degli assi
E. Ha raggio uguale a √7
E’ il luogo geometrico dei punti nel piano per cui è costante la delle distanze da due punti fissi detti .
L’equazione canonica è: x
a + y
b .
= 2 a (asse maggiore)
= 2 b (asse minore)
= 2 c (distanza focale)
E’ il luogo geometrico dei punti nel piano
per cui è costante la delle
distanze da due punti fissi detti . L’equazione canonica è: x
a
y
b .
= 2c (distanza focale)
Asintoti: e
x y x y .
A. Una parabola
B. Una coppia di rette C. Una circonferenza D. Un’iperbole
E. Un’ellisse
A. passa per l'origine del sistema di assi cartesiani B. ha centro sull'asse y
C. ha raggio uguale a 4
D. ha centro nell'origine del sistema di assi cartesiani
E. passa per il punto (0; 2)
Per risolvere il quesito possiamo procedere per esclusione ricordando le equazioni generali delle curve proposte:
Parabola (opzione A errata);
Circonferenza (opzione C errata);
Iperbole (opzione D errata).
Ellisse (opzione E errata);
L’equazione è una coppia di rette, si tratta di un prodotto notevole (differenza di quadrati) che può essere scomposto come: (2x+y)(2x-y) = 0; ponendo i due fattori uguali a zero ottengo: 2x + y = 0 —> y = -2x e 2x - y = 0 —> y = 2x.
Esse corrispondono alle equazioni di due rette (coppia di rette, ).
A. Una parabola
C. Una circonferenza D. Un’iperbole
E. Un’ellisse
- Calcoliamo le coordinate del centro C ( - a2; - b 2 ):
= - (-4) / 2 = 2 e = 0 → perciò C (2 ; 0) ( .
Da ciò ci rendiamo anche conto che il centro si trova sull’asse x e su quello delle y .
- r = (− a
2 ) + (−
b 2 )
− = = = 2 ;
- Verifichiamo ora che la circonferenza passi per (0 ; 2) sostituendo x = 0:
0 + y² - 0 = 0 → y² = 0 → y = 0.
Dai risultati ottenuti capiamo che la circonferenza proposta passa per il punto (0 ; 2) ma per O (0 ; 0), quindi la risposta corretta è la
