DEFINIZIONE. Un evento (E) si dice casuale, o aleatorio, quando il suo verificarsi dipende unicamente dal caso.
1 La probabilità matematica
In generale parliamo di eventi probabili o improbabili quando non siamo sicuri se si verificheranno.
DEFINIZIONE. Un evento si dice:
• certo quando è possibile stabilire con assoluta certezza il suo verificarsi;
• impossibile quando non potrà mai realizzarsi;
• incerto negli altri casi.
1 La probabilità matematica
Definiamo in termini matematici la probabilità dell’evento E: << esce il numero 5 >>.
! Consideriamo il lancio di un dado. Poiché i possibili esiti del lancio sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, e uno solo è il caso favorevole diremo che la probabilità dell’evento è .
1 6
! Se consideriamo lo stesso evento nell’estrazione di un numero della tombola, dobbiamo considerare 90 possibili esiti e uno solo favorevole; in questo caso la probabilità è .
1 90
! Calcoliamo la probabilità dello stesso evento nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte. Il numero complessivo di esiti è 40, mentre quello di esiti favorevoli è 4 (uno per ogni seme) quindi la probabilità dell’evento è oppure, semplificando la frazione, .
4
40
1 10
ESEMPI
1 La probabilità matematica
DEFINIZIONE. La probabilità p(E
)
di un evento E è data dal rapporto fra il numerof
di casi favorevoli all’evento e il numero complessivo n dei casi possibili. In simboli:p E ( ) = f
n
PROPRIETÀ. La probabilità di un evento certo è sempre uguale a 1.
PROPRIETÀ. La probabilità di un evento impossibile è sempre uguale a 0.
PROPRIETÀ. La probabilità di un evento casuale è sempre un numero compreso fra 0 e 1. In simboli:
0 ≤ p E ( ) ≤ 1
In generale:
DEFINIZIONE. Due eventi E1 e E2 si dicono incompatibili quando il verificarsi del primo esclude il verificarsi del secondo ovvero i due eventi non si possono verificare contemporaneamente.
2 Il teorema della probabilità totale
ESEMPIO
Mettiamo in un sacchetto una pallina rossa, tre palline nere e due palline verdi e calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa o una pallina nera.
p
r= 1
Probabilità di estrarre
6
una pallina rossa
p
n= 3
6 = 1
Probabilità di estrarre
2
una pallina nera
p
t= p
r+ p
n= 1
6 + 1
2 = 4
6 = 2 3
TEOREMA. La probabilità di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento. In simboli:
p
t= p
1+ p
2+ ... + p
nDEFINIZIONE. Due eventi E1 e E2 si dicono compatibili quando il verificarsi del primo non esclude il verificarsi del secondo ovvero è possibile che i due eventi si verifichino contemporaneamente.
2 Il teorema della probabilità totale
ESEMPIO
Calcoliamo la probabilità che nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte essa sia una figura (Ef) oppure una carta di denari (Ed) .
p
c= 3 40
I casi favorevoli ai singoli eventi sono:
12 per
E
f (3 per ogni segno), pertantoIn questo caso i due eventi sono compatibili perché bisogna conteggiare anche l’evento che la carta estratta sia una figura di denari
Continua 10 per
E
d (le dieci carte di denari nel mazzo), pertantop
f= 12
40 = 3 10
p
d= 10
40 = 1
4
2 Il teorema della probabilità totale
I casi favorevoli all’evento totale
(E
t <<esce una figura o una carta di denari>>)
sono19
(le dodici figure + le altre sette carte di denari), quindi:TEOREMA. La probabilità di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento diminuita della probabilità dell’evento comune ai due eventi. In simboli:
p
t= p
1+ p
2− p
cp
t= 19
40
p
t= p
f+ p
d− p
c= 3
10 + 1
4 − 3
40 = 19 40
In questo caso la probabilità totale
p
t è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi(p
f+ p
d)
diminuita della probabilità dell’evento comune ai due eventi
(p
c).
cioè:
In generale:
DEFINIZIONE. Due eventi E1 e E2 si dicono complementari quando il verificarsi del primo esclude il verificarsi del secondo ma sicuramente uno dei due si verificherà.
2 Il teorema della probabilità totale
ESEMPIO
Vogliamo calcolare la relazione tra la probabilità con cui, da un mazzo di 40 carte, venga estratta una figura (Ef) e la probabilità con cui venga estratta una carta contrassegnata da un numero (En).
p E ( )f = 12 40 = 10 3
p E ( )n = 28 40 = 10 7
p E ( )f + p E ( )n = 10 3 + 10 7 = 1
La loro somma è
= 10 3 + 10 7 = 1
La loro somma è2 Il teorema della probabilità totale
TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ CONTRARIA). Se p è la probabilità di un evento E1, allora la probabilità del suo evento complementare E2 è data dalla formula
p E ( )2 = 1− p E ( )1
Dalla regola precedentemente definita è facile dedurre il seguente:
REGOLA. La somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale a 1. In simboli:
