La probabilità

La probabilità

Spiegazione di alcuni concetti

Alcune definizioni

• In probabilità abbiamo a che fare con eventi, ovvero accadimenti che possono avvenire oppure no, a caso. Si indicano con E; sono eventi diversi E

ed E

• Un evento è descritto da un enunciato, che può essere vero o falso.

– “È uscita la pallina rossa alla roulette”

– “È uscito il 3 nel lancio di un dato”

• Gli eventi possono essere composti, così come gli enunciati.

– “È uscito il 3 oppure il 5 nel lancio di un dato”, dove i due enunciati che descrivono i due eventi sono: E₁ = “è uscito il 3…”; E₂ = “è uscito il 5…”.

• Due eventi possono essere tra loro incompatibili quando l’accadere dell’uno esclude l’accadere dell’altro; altrimenti sono compatibili.

– L’evento che esca alla roulette un numero pari è incompatibile con l’evento che esca un numero dispari (ovviamente nello stesso lancio).

– Al totocalcio che risulti 1 è incompatibile coll’evento che risulti anche X (oppure 2)

– Alle carte il fatto che esca il 7 è compatibile col fatto che esca un seme di colore rosso.

• Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi dell’uno non influenza il

verificarsi dell’altro. In caso contrario sono dipendenti.

Alcuni importanti teoremi

• Probabilità contraria: la somma delle probabilità di un evento E e del suo contrario E è eguale a 1.

– Se la probabilità che esca un 3 a dadi è di 1/6, allora la probabilità che escano i rimanenti numeri è di 5/6. Per cui si ha che

€

1 6 +5

6 = 1

• Probabilità totale di eventi incompatibili: la probabilità di due o più eventi incompatibili è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi. Ovvero, in formule:

p(E

E

) = p(E

) + p(E

)

• Probabilità totale di eventi compatibili: la probabilità di due o più eventi compatibili è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità dell’evento intersezione. In formule:

p(E

E

) = p(E

) + p(E

) - p(E

E

)

Probabilità condizionata

Si ha la probabilità condizionata quando la probabilità che accada un certo evento E

è condizionata dal fatto che avvenga un altro evento E

, il che si scrive: p(E

/E

).

Ad esempio vogliamo sapere la probabilità che al lancio di due dadi esca la somma di 6 quando su uno dei due dadi esce il numero 2. In questo caso la probabilità di ottenere 6 è condizionata dal fatto che uno dei due dadi dia un due. Per cui si hanno solo due casi:

Primo dado 2, secondo dado 4 Primo dado 4, secondo dado 2

La formula che permette di calcolare la probabilità condizionata è la seguente:

€

p(E₁

/ E

) =

∩ E

)

)

Ritornando all’esempio di prima, sia E₁ l’evento “la somma sulle due facce è 6” ed E₂ l’evento

“uscita della faccia con numero 2”. Abbiamo così:

- la p(E₂), cioè che esca almeno un due lanciando i due dadi, è data (per un semplice calcolo combinatorio) da 11/36;

- la p(E₁  E₂), cioè la possibilità che esca una coppia con almeno un numero 2 e che dia per somma il numero 6, è data da 2/36. Per cui, applicando la formula si avrà:

p(E₁/ E₂) = 2/ 36 11/ 36 = 2

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Probabilità composta

Dalla formula della probabilità condizionata si ricava la probabilità composta, ovvero la probabilità che due eventi accadano insieme, cioè la probabilità di

p(E

E

)

Questa si chiama probabilità composta ed è data dalla formula:

p(E

E

) = p(E

)  p(E

/E

) (eventi compatibili)

p(E

E

) = p(E

)  p(E

) (eventi incompatibili)

Teorema di Bayes

Il teorema (o formula) di Bayes nasce da un quesito: se si è verificato

l’evento E

, qual è la probabilità che il suo accadere sia stato causato da un altro evento E

? Detto in altri termini, voglio sapere quale sia la probabilità che un certo evento sia stata la causa C di un altro evento E che si è

verificato, ovvero voglio conoscere la probabilità di C per l’evento E. Il che si scrive:

p(C/E) Il teorema dice che:

€

p(C / E) = p(C) × p(E /C) p(E)

Nel caso in cui le cause fossero più di una (mettiamo C

, C

e C

), allora la probabilità che a causare E sia stata ad esempio la causa C

è data dalla formula più generale:

p(C₂

/ E) =

) × p(E /C

)

) × p(E /C

)

[ ] + p(C [

) × p(E /C

) ]+ p(C [

) × p(E /C

) ]

Tenendo presente le formule prima date, facciamo un esempio. Abbiamo due scatole; in quella A ci sono 30 biglie rosse e 15 nere; nella B ci sono 20 biglie rosse e 30 nere. Mi viene consegnata una biglia rossa senza che mi sia detto da quale scatola essa è stata estratta. Io mi domando allora: che probabilità v’è che essa sia stata estratta dalla scatola A? Ovvero, che la causa dell’evento E = “biglia rossa” sia la “scatola A”? I dati sono i seguenti:

• Visto che le scatole hanno la stessa probabilità di essere quelle da cui è stata estratta la biglia rossa, allora avremo che:

p(C_A) = p(C_B) = 1/2.

• La probabilità che la biglia rossa sia stata estratta dalla scatola A è data da:

p(E/C_A) = 30/45 = 2/3

• La probabilità che la biglia rossa sia stata estratta dalla scatola B è data da:

p(E/C_B) = 20/50 = 2/5 Ora possiamo applicare la formula di Bayes e avremo:

Un esempio del teorema di Bayes

€

p(C_A

/ E) =

) × p(E /C

)

× p(E /C

)

[ ] + p(C [

) × p(E /C

) ]

Ed effettuando le opportune sostituzioni:

€

p(C

/E) =

1 2 × 2 1 3

2 × 2 3

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟+ 1 2 × 2

5

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

= 5

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Come si calcola tale probabilità?

Il valore così trovato non è altro che l’applicazione di quella che si definisce la

“probabilità classica”, che è data dal numero dei casi favorevoli su quelli possibili. Ad esempio, nel caso del lancio dei dati la probabilità che esca il 6 è di 1/6, in quanto è un caso favorevole su sei possibili:

€

p

= m n = 1

6

Dove m indica i casi favorevoli e n quelli possibili. Nel caso delle biglie della scatola A i casi favorevoli sono 30 (il numero delle biglie rosse), mentre i casi possibili sono dati dalla somma delle palline rosse e nere, cioè 30+15=45. E così si ha:

p(biglie rosse) = m

n

= 30 45 = 2

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Combinazioni

Per comprendere quanto detto prima in merito alla probabilità condizionata, è necessari sapere come si fa un semplice calcolo combinatorio.

Prendiamo ad esempio l’insieme A che contiene tre elementi:

A = {a, b, c}