FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2

FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2

Commissione V. Casarino, P. Mannucci Ingegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 10-02-2011

TEMA

1

Esercizio 1 (9 punti). Data la forma differenziale ω =

 2x

(x²+ y²)² + y

 dx +

 2y

(x²+ y²)² + 2ax + y³

 dy a) determinare il dominio di ω, per ogni a ∈ R.

b) Determinare i valori di a ∈ R per i quali la forma risulta chiusa nel suo dominio.

c) Verificare che per i valori di a trovati nel punto precedente la forma `e esatta nell’insieme A = {(x, y) ∈ R²: x > 0} e calcolarne le funzioni potenziale.

d) Per i valori di a trovati nel punto b) calcolare R

γω, dove γ `e la curva parametrizzata da γ(t) = (t⁴+ 1, −t³), t ∈ [0, 1].

e) CalcolareR

ϕω dove ϕ `e la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1, percorsa in senso antiorario.

Esercizio 2 (7 punti) Si consideri l’equazione

f (x, y, z) = 2x²y + 3y²+ 6y⁴+ 2(z −π

2)²+ cos z = 0.

a) Dimostrare che tale equazione definisce implicitamente una funzione z = h(x, y) in un intorno del punto (0, 0,^π₂).

b) Dimostrare poi che il punto (0, 0) `e un punto critico per h.

c) Determinare il piano tangente e il versore normale alla superficie definita da z = h(x, y) in (0, 0).

Esercizio 3 (8 punti) Si consideri il solido Ω intersezione dei due solidi S e C: S = {(x, y, z) ∈ R³: z ≥ 0, x²+ y²+ z² ≤ 4} e C = {(x, y, z) ∈ R³ : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ −x + 2}. Si calcoli

Z Z Z

Ω

2z dxdydz.

Facoltativo: Calcolare il flusso del campoF (x, y, z) = (zy², 2yz, y²)uscente daΩ. Esercizio 4 (8 punti) Data l’equazione differenziale

y⁰(x) = x

(4 − x²)(y − 4), a) determinare l’integrale generale;

b) calcolare la soluzione che soddisfa il dato iniziale y(0) = 2.

Tempo:due ore e mezza. Motivare tutte le risposte

N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.

N.B. Chi `e sorpreso a parlare o copiare non solo verr`a allontanato dall’aula ma non potr`a sostenere l’ appello successivo a questo.

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Commissione V. Casarino, P. Mannucci Ingegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 10-02-2011

TEMA

2

Esercizio 1 (9 punti). Data la forma differenziale ω =

 2x

(x²+ y²)² + 3by + x²

 dx +

 2y

(x²+ y²)² + x

 dy a) determinare il dominio di ω, per ogni b ∈ R.

b) Determinare i valori di b ∈ R per i quali la forma risulta chiusa nel suo dominio.

c) Verificare che per i valori di b trovati nel punto precedente la forma `e esatta nell’insieme A = {(x, y) ∈ R²: y > 0} e calcolarne le funzioni potenziale.

d) Per i valori di b trovati nei punti precedenti calcolare R

ϕω, dove ϕ `e la curva parametrizzata da ϕ(t) = (−t³, t⁴+ 1), t ∈ [0, 1].

e) CalcolareR

γω dove γ `e la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1, percorsa in senso antiorario.

Esercizio 2 (7 punti) Si consideri l’equazione

f (x, y, z) = 3x²y + 4y²+ 6y⁴+ 4(z −3

2π)²+ 2 cos z = 0.

a) Dimostrare che tale equazione definisce implicitamente una funzione z = h(x, y) in un intorno del punto (0, 0,³₂π).

b) Dimostrare poi che il punto (0, 0) `e un punto critico per h.

c) Determinare il piano tangente e il versore normale alla superficie definita da z = h(x, y) in (0, 0).

Esercizio 3 (8 punti) Si consideri il solido Ω intersezione dei due solidi S e C: S = {(x, y, z) ∈ R³: z ≥ 0, x²+ y²+ z² ≤ 9} e C = {(x, y, z) ∈ R³ : x ≥ 0, y ≤ 0, y ≥ x − 1}. Si calcoli

Z Z Z

Ω

3z dxdydz.

Facoltativo: Calcolare il flusso del campoF (x, y, z) = (zy², 3yz, y²)uscente daΩ. Esercizio 4 (8 punti) Data l’equazione differenziale

y⁰(x) = x

(3 − x²)(y − 3), a) determinare l’integrale generale;

b) calcolare la soluzione che soddisfa il dato iniziale y(0) = 2.

Tempo:due ore e mezza. Motivare tutte le risposte

N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.

N.B. Chi `e sorpreso a parlare o copiare non solo verr`a allontanato dall’aula ma non potr`a sostenere l’ appello successivo a questo.

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Commissione V. Casarino, P. Mannucci Ingegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 10-02-2011

TEMA

3

Esercizio 1 (9 punti). Data la forma differenziale ω =



2ay + x³+ 2x (x²+ y²)²

 dx +



2x + 2y

(x²+ y²)²

 dy a) determinare il dominio di ω, per ogni a ∈ R.

b) Determinare i valori di a ∈ R per i quali la forma risulta chiusa nel suo dominio.

c) Verificare che per i valori di a trovati nel punto precedente la forma `e esatta nell’insieme A = {(x, y) ∈ R²: y < 0} e calcolarne le funzioni potenziale.

d) Per i valori di a trovati nei punti precedenti calcolareR

ϕω, dove ϕ `e la curva parametrizzata da ϕ(t) = (t, −1 − t²), t ∈ [0, 1].

e) CalcolareR

γω dove γ `e la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1, percorsa in senso antiorario.

Esercizio 2 (7 punti) Si consideri l’equazione

f (x, y, z) = 2y²+ 3x²y + 6x⁴+ 2(z − π)²+ 4 sin z = 0.

a) Dimostrare che tale equazione definisce implicitamente una funzione z = h(x, y) in un intorno del punto (0, 0, π).

b) Dimostrare poi che il punto (0, 0) `e un punto critico per h.

c) Determinare il piano tangente e il versore normale alla superficie definita da z = h(x, y) in (0, 0).

Esercizio 3 (8 punti) Si consideri il solido Ω intersezione dei due solidi S e C: S = {(x, y, z) ∈ R³: z ≥ 0, x²+ y²+ z² ≤ 3} e C = {(x, y, z) ∈ R³ : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 1 − x}. Si calcoli

Z Z Z

Ω

5z dxdydz.

Facoltativo: Calcolare il flusso del campoF (x, y, z) = (zy², 5yz, y²)uscente daΩ. Esercizio 4 (8 punti) Data l’equazione differenziale

y⁰(x) = x

(5 − x²)(y − 5), a) determinare l’integrale generale;

b) calcolare la soluzione che soddisfa il dato iniziale y(0) = 3.

Tempo:due ore e mezza. Motivare tutte le risposte

N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.

N.B. Chi `e sorpreso a parlare o copiare non solo verr`a allontanato dall’aula ma non potr`a sostenere l’ appello successivo a questo.

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Vicenza, 10-02-2011

TEMA

4

Esercizio 1 (9 punti). Data la forma differenziale ω =

 2x

(x²+ y²)² + 3y

 dx +

 2y

(x²+ y²)² + 3ax + y²

 dy a) determinare il dominio di ω, per ogni a ∈ R.

b) Determinare i valori di a ∈ R per i quali la forma risulta chiusa nel suo dominio.

c) Verificare che per i valori di a trovati nel punto precedente la forma `e esatta nell’insieme A = {(x, y) ∈ R²: x < 0} e calcolarne le funzioni potenziale.

d) Per i valori di a trovati nei punti precedenti calcolare R

γω, dove γ `e la curva parametrizzata da γ(t) = (−t²− 1, t), t ∈ [0, 1].

e) CalcolareR

ϕω dove ϕ `e la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1, percorsa in senso antiorario.

Esercizio 2 (7 punti) Si consideri l’equazione

f (x, y, z) = 3y²+ 4x²y + 6x⁴+ 4(z − 2π)²+ 3 sin z = 0.

a) Dimostrare che tale equazione definisce implicitamente una funzione z = h(x, y) in un intorno del punto (0, 0, 2π).

b) Dimostrare poi che il punto (0, 0) `e un punto critico per h.

c) Determinare il piano tangente e il versore normale alla superficie definita da z = h(x, y) in (0, 0).

Esercizio 3 (8 punti) Si consideri il solido Ω intersezione dei due solidi S e C: S = {(x, y, z) ∈ R³: z ≥ 0, x²+ y²+ z² ≤ 5} e C = {(x, y, z) ∈ R³ : x ≥ 0, y ≤ 0, y ≤ x − 2}. Si calcoli

Z Z Z

Ω

2z dxdydz.

Facoltativo: Calcolare il flusso del campoF (x, y, z) = (zy², 2yz, y²)uscente daΩ. Esercizio 4 (8 punti) Data l’equazione differenziale

y⁰(x) = x

(2 − x²)(y − 2), a) determinare l’integrale generale;

b) calcolare la soluzione che soddisfa il dato iniziale y(0) = 1.

Tempo:due ore e mezza. Motivare tutte le risposte

N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.

N.B. Chi `e sorpreso a parlare o copiare non solo verr`a allontanato dall’aula ma non potr`a sostenere l’ appello successivo a questo.