Programma dettagliato del corso di MECCANICA HAMILTONIANA
Corso di Laurea Magistrale in Fisica
Anno Accademico 2016-2017
A. Ponno
(aggiornato al 30 maggio 2017)
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Marzo 2017
1/3/17 Benvenuto, presentazione del corso, dei suoi contenuti e delle motivazioni sottostanti agli argomenti trattati. Descrizione del materiale didattico e delle modalit`a di esame.
Richiami di meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana: equazioni del moto e loro deduzione;
formulazione variazionale (principio di azione).
3/3/17 Generalit`a sui sistemi dinamici e sulle equazioni differenziali. Due esempi: equazione di Eulero del fluido ideale ed equazione di Korteweg-de Vries. Definizione assiomatica di parentesi di Poisson, algebra di Poisson e sistema Hamiltoniano. Caratterizzazione delle parentesi di Poisson in termini del tensore di Poisson e delle sue propriet`a: enunciato della proposizione base.
8/3/17 Dimostrazione della proposizione base. Forma generale dei campi vettoriali Hamiltoniani.
Significato dell’identit`a di Jacobi. Invarianti di Casimir. Esempio: Equazione di Eulero del corpo rigido e sua struttura di Poisson.
10/3/17 Cenni sulla stabilit`a degli equilibri delle equazioni di Eulero: approccio geometrico e idea del metodo Energia-Casimir. Esempi di strutture di Poisson. Meccanica Hamiltoniana standard (struttura simplettica). Oscillatore armonico: variabili di Birkhoff complesse e variabili angolo-azione. Equazione della corda vibrante e sua struttura Hamiltoniana in coordinate di Fourier: equivalenza con un sistema di infiniti oscillatori armonici e soluzione generale.
15/3/17 Disuguaglianza di Poincar´e per funzioni sul segmento con condizioni di Dirichlet. Introdu- zione alla meccanica quantistica. Quantizzazione canonica ed equazione di Schr¨odinger.
Conservazione della norma e significato probabilistico della funzione d’onda. Problema spettrale per l’operatore Hamiltoniano.
17/3/17 Soluzione formale dell’equazione di Schr¨odinger: operatore di evoluzione temporale. Caso di operatore Hamiltoniano con spettro discreto: coefficienti di Fourier come variabili di Birkhoff di oscillatore armonico. Conservazione dell’energia totale (aspettazione quanti- stica dell’operatore) e suo ruolo di Hamiltoniana “classica” del problema in variabili di Birkhoff. Analogia tra l’equazione delle onde e l’equazione di Schr¨odinger: ruolo della teoria spettrale. Assegnazione di alcuni esercizi. Cambi di coordinate per sistemi Hamil- toniani. Indipendenza delle strutture di Poisson dalle coordinate. Esempio: passaggio alle coordinate di Birkhoff complesse, trasformazione del tensore di Poisson e della relativa parentesi.
22/3/17 Struttura di Poisson-Birkhoff della meccanica quantistica. Identit`a tra la parentesi di due forme Hermitiane e la forma associata al commutatore dei relativi operatori diviso per ı~. Forma canonica dei tensori costanti in dimensione arbitraria (passo zero del teorema di Darboux).
24/3/17 Trasformazioni canoniche. Definizione ed esempi: meccanica Hamiltoniana standard (ten- sore simplettico); variabili angolo-azione per l’oscillatore armonico; corpo rigido (Eulero).
Flussi Hamiltoniani come gruppi a un parametro di trasformazioni canoniche.
3 29/3/17 Simmetrie e leggi di conservazione: una formulazione Hamiltoniana del teorema di N¨other.
Generatore del gruppo a un parametro come campo vettoriale. Esempio: particella sogget- ta a forza conservativa; simmetria per traslazione e rotazione. Trasformazioni canoniche in senso esteso. Esempi: riscalamenti non strettamente canonici ed equazione di Eulero sulla sfera unitaria.
31/3/17 Teoria Hamiltoniana delle perturbazioni. Impostazione e scopo del problema. Definizione di Hamiltoniana in forma normale a un dato ordine rispetto ad una data Hamiltoniana
“integrabile”. Metodo della media: proposizione sulla costruzione della forma normale.
Soluzione dell’equazione omologica: termine di forma normale a ordine arbitrario come media sul flusso imperturbato della perturbazione trasformata.
Aprile 2017
5/4/17 Dimostrazione della proposizione sul metodo della media. Forma normale e generatrici.
Discussione del ruolo dei termini di nucleo. Dimostrazione dell’invarianza della media sul flusso Hamiltoniano rispetto a quest’ultimo.
7/4/17 Discussione generale sulla struttura degli integrali di media e di generatrice per flussi multi-periodici. Esercizio: forma normale al secondo ordine dell’oscillatore anarmonico classico.
12/4/17 Esercizio: forma normale al primo ordine del modello di Henon-Heiles; dipendenza della forma normale dal rapporto tra le frequenze degli oscillatori imperturbati. Perturbazioni di sistemi anisocroni. Esempio: forma normale al primo ordine del modello a tre rotatori;
piani di risonanza nello spazio delle azioni e struttura locale della forma normale. Ap- plicazione della teoria perturbativa al caso dela meccanica quantistica. Primo approccio:
variabili di Birkhoff e trattazione del problema come perturbazione di oscillatori armonici (caso di spettro puramente discreto). Forma normale al primo ordine nel caso di spettro semplice. Formula per lospostamento dei livelli al primo ordine.
19/4/17 Cenno al caso di spettro degenere: rappresentazione di Dirac (in variabili di Birkhoff) e diagonalizzazione della matrice di perturbazione mediata. Secondo approccio: gruppi a un parametro di trasformazioni canoniche (dell’equazione di Schr¨odinger) come flussi unitari. Forma quantistica della derivata di Lie. Riformulazione del problema quantistico via sostituzione della parentesi di Poisson con il commutatore diviso per i~. Formule del teorema (quantistico) della media al primo ordine.
21/4/17 Sistemi di Lie-Poisson (tensori di Poisson lineari affini nell’argomento). Identit`a di Jacobi.
Connessione con la teoria dei gruppi di Lie e delle relative algebre. Introduzione ai gruppi di Lie: definizione ed esempi. Funzione di struttura del gruppo e sue propriet`a indotte dagli assiomi di gruppo. Esempi di gruppi classici di matrici. Gruppi classici come gruppi di simmetria (invarianza) di forme quadratiche.
26/4/17 Sviluppo locale (vicino all’identit`a) della funzione di struttura di un gruppo di Lie di dimensione n. Struttura naturale di algebra di Lie dello spazio tangente al gruppo nell’i- dentit`a. Calcolo del gap di commutativit`a del gruppo nell’identit`a. Costanti di struttura dell’algebra.
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28/4/17 Curve su un gruppo di Lie, mappa esponenziale. Gruppi classici, loro struttura e relative algebre. Algebre di Lie dotate di 2-cocicli e loro estensione centrale. Caso dei gruppi classici e delle relative algebre.
Maggio 2017
3/5/17 Algebra del gruppo delle rotazioni (matrici antisimmetriche). Generalizzazioni. Cenni di idrodinamica del fluido ideale (Eulero) e sua struttura Hamiltoniana. Equazione di Korteweg-de Vries e sua struttura bi-Hamiltoniana. Analisi del secondo tensore di Poisson (Lax-Magri) in coordinate di Fourier e legame con l’algebra di Virasoro.
5/5/17 Costruzione di Lagrange della corda vibrante come limite di una catena di masse e molle.
Lagrangiana, equazioni di Eulero-Lagrange e principio di azione per il sistema discreto e limite per il sistema continuo (corda vibrante). Gradiente in senso L2.
10/5/17 Cenni di calcolo differenziale per applicazioni su spazi lineari. Notazione “delta” e deri- vata funzionale. Formulazione Hamiltoniana del problema. Equazione di Klein-Gordon, sua deduzione tramite quantizzazione e formulazione Lagrangiana e Hamiltoniana del problema (assegnata per esercizio).
12/5/17 Equazione delle onde (corda vibrante 1D); strutture Hamiltoniane e soluzione dell’equa- zione. Esercizi sulle equazioni delle onde (assegnati con indicazioni). Esistenza di onde solitarie per l’equazione delle onde non lineare (tipo KG con termine locale generico).
17/5/17 Esercizi su simmetrie e teorema di N¨other per equazione delle onde in una e tre dimensioni (simmetria di traslazione del campo scalare e di traslazione e rotazione della variabile spa- ziale). Equazione di Eulero-Bernoulli e sua corrispondenza con l’equazione di Schr¨odinger di particella libera.
19/5/17 Esercizi di teoria delle perturbazioni su PDE Hamiltoniane: deduzione dell’equazione di Gross-Pitaevskii da un modello di tipo Klein-Gordon non lineare e deduzione dell’equa- zione di Korteweg-de Vries dall’equazione di Boussinesq (principio della media al primo ordine).
24/5/17 Conclusione della deduzione perturbativa delle equazioni di Korteweg - de Vries. Meccani- ca quantistica. Formulazione Lagrangiana e Hamiltoniana dell’equazione di Schr¨odinger.
Hamiltoniana come forma quadratica associata all’operatore Hamiltoniano di Schr¨odinger.
Algebra di Poisson nella rappresentazione di Schr¨odinger.
26/5/17 Rappresentazione di Heisenberg e relativa algebra di Poisson. Isomorfismo tra l’algebra di Schr¨odinger e quella di Heisenberg. Simmetrie e integrali primi per l’equazione di Schr¨odinger (esercizio assegnato).
31/5/17 Quantizzazzione canonica: inquadramento algebrico. Teorema di non esistenza di Groe- newold - Van Hove.
