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Corso di Laurea in Fisica Programma del corso di ANALISI MATEMATICA II

A.A. 2007-2008 Prof. Edi Rosset

 Calcolo differenziale per funzioni di piu’ variabili. Derivate direzionali e derivate parziali.

Funzioni differenziabili, differenziale di una funzione. Gradiente suo significato geometrico. Piano tangente al grafico di una funzione differenziabile di due variabili. Il teorema del differenziale totale. Derivate successive. Il teorema di Schwarz sull'inversione dell'ordine di derivazione. Spazio vettoriale delle funzioni di classe Ck. Formula di Taylor. Teorema della media. Aperti connessi e teorema sull’annullamento delle derivate parziali prime su un aperto connesso. Differenziale di funzioni vettoriali. Differenziale di funzioni composte. Massimi e minimi locali per funzioni di pi\`u variabili, condizione necessaria. Matrici reali simmetriche e forme quadratiche associate. Forme quadratiche definite positive, negative, indefinite. Caratterizzazione delle forme definite positive (negative). Criterio della matrice hessiana. Funzioni definite implicitamente. Teorema del Dini (con dimostrazione solo in due variabili). Diffeomorfismi e teorema di inversione locale (senza dimostrazione). Estremi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Determinazione di massimi e minimi assoluti, sup e inf su sottinsiemi compatti e non compatti.

 Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni e sistemi di equazioni differenziali: riduzione ai sistemi del primo ordine. Problema di Cauchy: teorema di esistenza di Peano (senza dim.), teorema di esistenza e unicita’ locale, teorema di unicita’ globale. Soluzioni massimali. Teorema di uscita delle soluzioni dal compatto (senza dim.). Lemma di Gronwall. Teorema di esistenza globale.

Teorema di dipendenza continua dai dati iniziali. Metodi di integrazione per equazioni differenziali del primo ordine: equazioni lineari, di Bernoulli, a variabili separabili e omogenee. Equazioni differenziali lineari e in particolare a coefficienti costanti. Equazioni lineari nonomogenee con termine noto di tipo particolare e metodo di variazione delle costanti.

 Calcolo integrale per funzioni di piu’ variabili. Funzioni L-integrabili e proprieta’ dell’integrale.

Teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale (senza dim.). Insiemi misurabili e proprieta’

della misura. Insiemi trascurabili e loro caratterizzazione (senza dim.). Integrabilita’ delle funzioni continue sui compatti (senza dim.) Teorema di Fubini (senza dim.). Domini normali. Teorema di cambiamento di variabili (senza dim.). Calcolo di integrali mediante l’uso di coordinate polari nel piano e di coordinate sferiche e cilindriche nello spazio. Applicazioni: calcolo di baricentri e momenti di inerzia. Integrali estesi a solidi di rotazione. Teorema di Guldino. Integrali generalizzati.

Testi consigliati:

 Enrico Giusti - Analisi Matematica 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, 1989.

 Enrico Giusti - Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume II, Bollati Boringhieri, 1989.

 W. Rudin - Principi di analisi matematica, Ed. MacGraw-Hill, Milano, 1990.

 Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa - Analisi Matematica, Volume II, Masson, 1992.

 Alessandro Fonda - Lezioni sulla teoria dell’integrale, Ed. Goliardiche, Trieste, 2001.

 P. Marcellini, C. Sbordone – Esercitazioni di Matematica, Volume II, parte prima, Liguori editore, Napoli, 1989.

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 P. Marcellini, C. Sbordone – Esercitazioni di Matematica, Volume II, parte seconda, Liguori editore, Napoli, 1989.

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