Un modello semplice per l’analisi statica e dinamica delle antenne strallate

CAPITOLO V

Un modello semplice per l’analisi statica e dinamica

delle antenne strallate

Tramite l’uguaglianza energetica fra la deformazione di un pannello con diagonali a croce di S. Andrea e quella dello stesso pannello, ma costituito da una lastra continua, si ricavano le proprietà di una “colonna equivalente” al traliccio reticolare per ottenere un modello che sia allo stesso tempo più snello

5.1 Il modello tridimensionale completo e il modello a “colonna equivalente”

Le antenne strallate possono essere studiate con la tecnica degli elementi finiti secondo due approcci:

- il primo prevede di creare il modello tridimensionale della struttura (traliccio e complesso stralli) considerando, per ogni nodo, tre gradi di libertà;

- il secondo, che qui proponiamo, considera invece un modello ancora tridimensionale ma al traliccio viene sostituita una “colonna equivalente” con notevole diminuzione del numero dei nodi e dei gradi di libertà.

Appare evidente che, con il secondo modello, il tempo da spendere per l’immissione dei dati di progetto e per l’analisi con codice di calcolo risulta molto ridotto. Si tratta di vedere con quale criterio ottenere la “colonna equivalente”: nel presente studio si è scelto di utilizzare il criterio energetico. In entrambi i modelli gli stralli vengono schematizzati con elementi cable tridimensionali ai quali è assegnata una certa pre-tensione.

In letteratura, il secondo approccio è stato investigato da alcuni Autori i quali hanno proposto vari metodi per ricavare le proprietà geometriche e meccaniche della colonna equivalente:

- un modo è stato proposto da Kahla nel 1993: usando il metodo del carico unitario si determina lo spostamento di un punto caratteristico della struttura effettiva sotto l’azione assiale, flettente, tagliante e torcente uguagliandolo al corrispondente spostamento, sotto le stesse azioni, del modello a colonna equivalente; da questa uguaglianza si ricavano le proprietà equivalenti;

- un altro modo è stato proposto da Teughels e De Roeck (nel 2000): si considera l’energia di deformazione di una singola cella della struttura reticolare (fra due calastrelli successivi) determinata applicando una forza in un nodo; si fa lo stesso per la colonna equivalente avente le dimensioni e i vincoli della cella; si eguagliano le due espressioni ricavando le rigidezze equivalenti.

Nonostante la logica di questi procedimenti sia fondata, essi risultano di difficile applicazione se la struttura reticolare è conformata in una certa maniera, richiedendo un esteso sviluppo di equazioni matematiche.

Nel procedimento discusso nel seguito, io ed i miei relatori, ci siamo ispirati al metodo di Kollbrunner e Basler che nel 1969 lo applicarono, con successo, alle sezioni dei ponti a travata con controvento inferiore reticolare.

Queste sezioni mostravano una certa rigidezza nei riguardi della torsione quindi somigliavano, in un certo senso, alle sezioni dei ponti a cassone. Imponendo l’ugluaglianza della deformazione angolare dovuta alla torsione fra una cella con controvento e la stessa cella, questa volta costituita da una parete continua a spessore costante, si ricavava proprio lo spessore della parete che rendeva equivalenti i due schemi.

La rigidezza equivalente a taglio, torsione, flessione ed estensionale si ricava sostituendo al complesso delle aste di parete (discrete) una lastra equivalente (continua) della quale si era determinato lo spessore.

5.2 La ricerca dello spessore della piastra equivalente

Come detto, per semplificare l’analisi globale di una antenna strallata reticolare, si può adottare un modello che preveda, al posto delle numerose aste di parete, una piastra a spessore costante avente le stesse proprietà.

La sezione del traliccio risulta quindi tubolare e le sue caratteristiche possono essere ridotte al baricentro: nel modello su codice di calcolo si passa da uno schema reticolare con molte aste ad un semplice elemento frame verticale. Affinchè i due sistemi siano in qualche modo equivalenti, si sono ricavate le caratteristiche della colonna singola basandosi sull’uguaglianza, nei due sistemi, dell’energia di deformazione dovuta al taglio, riferita ad una sola cella del traliccio (fig. 1).

Figura 1 - Cella elementare della struttura reticolare (a) e modello a piastra equivalente (b).

Seguendo questo principio, Kollbrunner e Basler furono in grado di determinare lo spessore della piastra equivalente per una serie di pareti tralicciate, alcune elencate di seguito (fig. 2):

Figura 2 – Varie disposizioni delle aste di parete.

- per lo schema (a):

t e E_G a b⋅ d3 A d a3 3 2 A m      ⋅ + ⋅ := (1)

- per lo schema (b): t e E_G a b⋅ 2 d⋅ 3 A d b3 4 A t⋅ + a 3 12 2 A m      ⋅ + ⋅ := (2) - per lo schema (c): t e E_G a b⋅ 4 d⋅ 3 A d a3 12 2 A m      + ⋅ := (3) - per lo schema (d): t e E_G a b⋅ d3 2 A d⋅ a3 12 2 A m      ⋅ + ⋅ := (4) nelle quali:

te è lo spessore della piastra equivalente; E il modulo di elasticità del materiale;

G il modulo di resistenza a taglio del materiale; a è l’altezza della cella (fig. 1);

b è la larghezza della cella (fig. 1); d è la lunghezza dell’asta diagonale; Ad l’area della sezione dell’asta diagonale; At l’area della sezione dei traversi orizzontali; Am l’area della sezione delle aste montanti.

Per spiegare come si giunge alle equazioni precedenti si illustra il procedimento per l’asta tralicciata a croce di S. Andrea (fig. 3, equazione 4). Se l’azione di taglio Q è applicata alla cella con diagonali a croce di S. Andrea, assumendo che questi incassino tutta l’azione tagliante, lo sforzo nel singolo diagonale è:

F d:= _{2 sin⋅} Q

_{( )}

Figura 3 - Schema della cella con diagonali a croce di S. Andrea. Se in quest’ultima sostituiamo: sin(α) = b/d q = Q/b si ottiene: F d:= q d₂⋅ (7)

L’energia di deformazione nei due diagonali, dovuta allo sforzo Fd, è data da:

U d 2⋅1₂ q d⋅ 2    2 ⋅ d E A d⋅ ⋅ q 2 d3 ⋅ 4 E_{⋅ A d}⋅ := (8)

Il massimo sforzo assiale nelle aste montanti è:

F m _{2 sin⋅} Q

_{( )}

( )

nella quale cos(α) = a/d .

L’andamento dello sforzo assiale in questi elementi è riportato nella figura seguente:

Figura 4 - Andamento dello sforzo assiale nei montanti. F x( ) F m x⋅ a 2 q x⋅ :=

L’energia di deformazione nei due montanti verticali della cella è:

U o 4 0 a 2 x q x⋅ 2 E A m⋅ ⌠    ⌡ d ⋅ q 2 a3 ⋅ 12 E_{⋅ A m}⋅ := (9)

In totale, l’energia di deformazione accumulata nella cella è:

U cella q 2 d3 ⋅ 4_{⋅ A d}E⋅ q2⋅a3 12_{⋅ A m}E⋅ + (10)

Riferiamoci adesso alla stessa cella costituita però da una lastra continua (fig. 4a): la tensione all’interno della lastra è costante e vale σ (fig. 4b); lo scorrimento angolare vale:

γ = σ / G

L’energia di deformazione U della piastra avente spessore te è data da:

U piastra 1 2 σ G ⋅ ⋅

(

)

(a) (b) Figura 5 – Cella della figura 3 costituita da una piastra continua con spessore costante (a); stato tensionale all’interno della piastra (b).

U piastra q 2 a ⋅ b⋅ 2_{⋅ t e}G⋅ (11)

Lo spessore equivalente si ottiene uguagliando l’energia di deformazione della piastra 5 con quella della cella reticolare 10:

q2⋅ ab⋅ 2 G_{⋅ t e}⋅ q2⋅d3 4 E_{⋅ A d}⋅ q2⋅a3 12 E_{⋅ A m}⋅ + (12)

dalla quale, per te, si ricava l’espressione 4.

5.3 Le proprietà della colonna equivalente

Una volta determinato lo spessore della piastra, si procede alla ricerca delle caratteristiche meccaniche della colonna equivalente al traliccio dell’antenna. A titolo di esempio si espone il calcolo per un’antenna strallata avente sezione triangolare equilatera con montanti a sezione tubolare (fig. 6); nel prossimo capitolo verranno utilizzati i risultati ottenuti. Le proprietà della colonna possono essere ricavate come segue.

Figura 6 - Sezione trasversale della colonna equivalente per l'antenna strallata di esempio.

5.3.1 Rigidezza assiale equivalente EAeq

Si determina in modo diretto sommando la rigidezza assiale per unità di lunghezza dei montanti, EAm, con la rigidezza assiale delle piastre equivalenti, EApiastre, quindi:

E Aeq⋅ _{E Apiastre Am}⋅

(

)

5.3.2 Rigidezza equivalente a flessione EJeq

Riferendosi agli assi di figura 6, è necessario sommare i momenti di inerzia, una volta rispetto all’asse x e una volta rispetto ad y, delle piastre e dei montanti, cioè:

E Jxeq⋅ _{E Jxpiastre}⋅ +_{E Jxm}⋅ ₍₁₄₎ E Jyeq⋅ _{E Jypiastre}⋅ + _{E Jym}⋅

(15)

dove Jpiastre e Jm sono rispettivamente i momenti di inerzia delle piastre e dei montanti rispetto ad x ed y. Di solito, per le piastre, si mette in conto il solo contributo dei momenti di inerzia di trasporto di gran lunga superiore rispetto a

5.3.3 Rigidezza torsionale equivalente GJteq

La rigidezza torsionale equivalente, sotto lo stesso angolo di rotazione e per unità di lunghezza, fra la struttura reale e la colonna del modello semplificato può essere così calcolata:

G Jt eq⋅ b

2

G

⋅ A piastra⋅

4 ₍₁₆₎

dove b è la larghezza del pannello e Jteq è il momento di inerzia polare della colonna equivalente.

L’espressione 16 è stata ottenuta uguagliando la rotazione per unità di lunghezza di un’asta a sezione circolare piena:

zθ d d

M z G J eq⋅

con la corrispondente per l’asta equivalente rappresentata in figura 6 (trascurando la presenza dei montanti):

zθ d d M z 4 G⋅ Ω⋅ 2 c 1 t ⌠   ⌡ d ⋅

5.3.4 Rigidezza a taglio equivalente GAeq

Questa caratteristica si determina facilmente considerando lo schema di trave incastrata, al cui estremo libero è applicato un carico P (fig. 7).

Si ricerca l’abbassamento dell’estremo caricato dovuto alla sola sollecitazione tagliante (un metodo veloce è il teorema di Castigliano).

Per un’asta a sezione circolare piena si ottiene: δ 10 9 P L⋅ G A eq⋅ ⋅ :=

dove P è il carico applicato, L la luce della mensola.

Per l’asta con sezione triangolare equilatera (fig. 6), trascurando la presenza dei montanti:

δ 3 P⋅ L⋅ G A piastra⋅ :=

Imponendo l’uguaglianza, nei due casi, degli abbassamenti δ in sommità, si ottiene: G A eq⋅ 10 9 G A piastra⋅ 3 ⋅ (17)

Dunque, una volta determinato lo spessore della piastra equivalente, si procede al calcolo delle proprietà della colonna da utilizzare nel modello impiegando le espressioni dalla 13 alla 17.

Il metodo della colonna equivalente è stato testato dal punto di vista teorico con un esempio applicativo illustrato nel successivo capitolo VI. E’ stata svolta l’analisi statica non lineare, dinamica alle oscillazioni libere e sotto vibrazione forzata su due modelli di antenna strallata: l’uno dettagliato, con le aste del traliccio reticolare, l’altro con un’unica asta verticale dalle caratteristiche equivalenti.

Si sono ottenuti ottimi risultati fra i due modelli e ciò può giustificare l’adozione del modello a colonna equivalente per indagare il comportamento dinamico, dopo che è stata svolta un’analisi statica non lineare per dimensionare le membrature.