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Appendice B
Analisi ad Elementi Finiti mediante
COMSOL Multiphysics®
Il metodo ad elementi finiti (Finite Element Method, FEM), è una tecnica generale per la soluzione approssimata di equazioni differenziali alle derivate parziali nella Scienza dell'Ingegneria. Tale metodo si basa sui seguenti passaggi fondamentali:
1. dividere l'intero dominio in parti più piccole dette celle; 2. su ciascun elemento descrivere le relazioni tra le variabili;
3. assemblare gli elementi per ottenere le relazioni tra le variabili su tutto il dominio.
Per la risoluzione delle simulazioni agli elementi finiti (risoluzione delle equazioni alle derivate parziali con il metodo ad elementi finiti) è necessario, a causa dell'elevata complessità computazionale, affidarsi alla potenza di calcolo di personal computer, ed in particolare di software per la risoluzione dei sistemi di equazioni parziali differenziali, che possono essere d'uso generale oppure specializzati. COMSOL Multiphysics® è un software di simulazione specializzato che ha il compito di facilitare la compilazione e l'implementazione di modelli, attraverso l'utilizzo di interfacce grafiche, e permette la configurazione del sistema, la preparazione degli esperimenti e la loro successiva visualizzazione. La componente principale di tale software è il solver che usa un tipo di formulazione ed un metodo di integrazione ben definito. In Figura 1 è illustrato uno schema a blocchi che è utile per capire il concetto di simulazione e le motivazioni del suo utilizzo.
Grazie alle modalità di analisi preimpostate che COMSOL Multiphysics® mette a disposizione è possibile trasformare modelli convenzionali relativi a numerose aree (acustica, elettromagnetismo, fluidodinamica, chimica, fenomeni di trasporto, ecc.), definendo le quantità fisiche fondamentali, quali, ad esempio, proprietà dei materiali, vincoli e flussi, piuttosto che definendo le equazioni che governano il processo oggetto di studio. È possibile, inoltre, effettuare analisi allo stato stazionario o transitorio, lineari o non lineari. La risoluzione dei sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali avviene, come già evidenziato, utilizzando i metodi degli elementi finiti. Il software esegue l'analisi degli elementi finiti insieme a delle procedure di costruzione (anche adattive) della griglia (mesh) rappresentativa del dominio di riferimento, e di controllo degli errori, con l'ausilio di una varietà di solutori numerici. Una mesh è una partizione della struttura geometrica che caratterizza il modello in piccole unità di forma semplice.
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Figura 1. Diagramma a blocchi di come si effettua una simulazione. Dopo l’analisi matematica bisogna verificare
se la soluzione ha un senso fisico (verifica) e se il risultato ottenuto è conforme alla realtà (validazione), infatti è importante che ci sia un legame tra il problema fisico e la soluzione discreta per poi procedere nella progettazione.
Lo sviluppo e la fruizione di un modello mediante COMSOL Multiphysics® hanno previsto i seguenti passaggi:
1. scelta dello spazio dimensionale in cui lavorare; 2. scelta del modulo fisico ;
3. scelta del tipo di studio (stazionario, tempo dipendente, dominio in frequenza, ecc,);
4. creazione della geometria: il software dispone di un’interfaccia grafica interna, stile CAD, per la creazione di geometrie 1D, 2D e 3D; inoltre può importare geometrie create da strumenti di design esterni. Operatori booleani sono disponibili per la composizione delle geometrie. Le geometrie 3D possono essere ricavate da quelle 2D per estrusione o rotazione attorno ad un asse di simmetria. Gli assi cartesiani e la griglia dell’interfaccia grafica possono essere modificati a piacimento, aumentando o diminuendo la spaziatura;
5. impostazione di parametri ed equazioni: all’interno del software sono presenti due sezioni (“Material” e “Selected Physics”) di cui in una è possibile specificare i parametri o le proprietà dei materiali, nell’altra è possibile impostare i parametri e le equazioni che governano la fisica. Il software permette di inserire valori costanti o espressioni scalari. Inoltre vengono accettati valori
107 numerici, valori vettoriali e funzioni logiche e/o matematiche, e possono essere inseriti su tutto il dominio, sui sottodomini, sui contorni, sui punti o sugli spigoli della geometria;
6. specifica delle condizioni al contorno: nel programma si possono inserire condizioni su contorni interni ed esterni; esattamente come per i parametri è possibile inserire valori numerici o funzioni logiche e/o matematiche;
7. creazione della mesh: il programma è in grado di creare mesh libere (free mesh), che possono essere usate su oggetti di qualsiasi geometria, in quanto si tratta di
mesh che non hanno restrizioni in termine di distribuzione degli elementi. È
inoltre possibile creare mesh mappate, estruse, ruotate, spaziate. I lati degli elementi sono detti spigoli (edges) della mesh, mentre i loro angoli vertici della
mesh; uno spigolo della mesh non contiene al suo interno vertici. In geometrie
3D gli elementi in cui vengono suddivisi i sottodomini sono tetraedri, esaedri o prismi, le cui facce, spigoli e vertici sono detti rispettivamente facce, spigoli e vertici della mesh;
8. implementazione del solver: il software mette a disposizione vari tipi di solver in base al numero di gradi di libertà del sistema;
9. analisi e rappresentazione dei risultati: nella sezione “Results” del software è possibile visualizzare i risultati ottenuti sottoforma di matrici numeriche (tabelle) o rappresentazioni grafiche (arrow, colormap, streamline, ecc.).
