Equazioni differenziali
Esercizio 10 Dato il problema di Cauchy
y0 = arctan(y) y(0) = α
Dimostare che la soluzione y
(1) `e definita su tutto R;
(2) `e strettamente monotona per α 6= 0;
(3) `e convessa se α > 0, concava se α < 0;
(4) nel caso α ≥ 0, calcolare
t→−∞lim y(t) e lim
t→+∞y(t).
Esistenza e unicit`a locale: si ha che f (t, y) = arctan(y)
`e di classe C1 in R2. Quindi (teor. ∃! locale) esiste ed `e unica la soluz. loc. y : [−δ, δ] → R. Esistenza globale: poich´e
|f (t, y)| = | arctan(y)| ≤ π
2 ∀ (y, t) ∈ R2 , grazie al teor. di ∃ globale si ha che
intervallo massimale di esistenza `e [Tmin, Tmax] = R Soluzioni stazionarie:
arctan(y) = 0 ⇔ y = 0.
Allora
⇒ unica soluzione stazionaria: ¯y(t) ≡ 0 ∀ t ∈ R. Quindi, ragionando per confronto
(a) α = 0 ⇒ y(t) ≡ 0 ∀ t ∈ R; (b) α > 0 ⇒ y(t) > 0 ∀ t ∈ R; (c) α < 0 ⇒ y(t) < 0 ∀ t ∈ R.
Osservazione: per α 6= 0,
♣ y non `e dispari, in quanto y(0) = α 6= 0 e y
`e continua in 0;
♣ y non `e pari: la funzione z(t) = y(−t) infatti risolve
z0(t) = −y0(−t) = − arctan(y(−t)) = − arctan(z(t)) cio`e una diversa equazione!
Segno della derivata: si ha
arctan y > 0 ⇔ y > 0.
Poich`e
y0(t) = arctan(y(t)) e
( y(t) > 0 ∀ t ∈ R se α > 0, y(t) < 0 ∀ t ∈ R se α < 0, concludiamo
( y0(t) > 0 ∀ t ∈ R ⇒ y strett. cresc. se α > 0, y0(t) < 0 ∀ t ∈ R ⇒ y strett. decresc. se α < 0.
Segno della derivata seconda: per studiare conca- vit`a e convessit`a di y, dobbiamo calcolare la derivata seconda di y.
Dall’equazione e dalla formula per la derivata della funzione composta segue
y00(t) = (y0(t))0 = (arctan(y(t)))0 = 1
1 + y2(t)y0(t)
= arctan(y(t)) 1 + y2(t) . Dunque
y00(t) > 0 ⇔ arctan(y(t)) > 0 ⇔ y(t) > 0
(a) se α > 0, si ha y(t) > 0 su R e perci`o y00(t) > 0 su R: quindi y `e convessa su R;
(b) se α < 0, si ha y(t) < 0 su R e perci`o y00(t) < 0 su R: dunque y `e concava su R.
Limiti agli estremi per α ≥ 0.
Se α = 0, y(t) ≡ 0 e
t→+∞lim y(t) = lim
t→−∞y(t) = 0.
Sia α > 0. Sappiamo che y `e strettamente crescente, quindi
∃ lim
t→−∞y(t) = a e ∃ lim
t→+∞ y(t) = b, con 0 ≤ a < b ≤ +∞.
• Proviamo che a = 0. Infatti, si ha
t→−∞lim y0(t) = lim
t→−∞arctan(y(t)) = arctan(a).
Per il teorema dell’asintoto, deve essere arctan(a) = 0 ⇒ a = 0.
• Proviamo che b = +∞. Se per assurdo fosse 0 < b < +∞ si avrebbe
t→+∞lim y0(t) = lim
t→+∞ arctan(y(t)) = arctan(b) con arctan b > 0,
in contraddizione con il teorema dell’asintoto.
Assurdo!