La derivata

Laboratorio di Analisi Matematica

La derivata

Docente:

Prof. F. Spagnolo

Specializzandi:

Dott.

Dott.

Dott.

Destinatari

Alunni frequentanti il quinto anno del liceo scientifico.

Argomento

Derivata di una funzione reale di variabile reale.

Prerequisiti

¾ Concetto di funzione

¾ Concetto di limite

¾ Concetto di continuità

¾ Concetto di velocità media e istantanea

¾ Concetti di retta secante e tangente ad una curva.

Metodologie didattiche

L’approccio che vogliamo seguire è il seguente:

¾ In una prima fase brainstorming si procede all’indagine dei concetti che hanno i ragazzi di intervallo infinitesimale, variazione infinitesima di una funzione, ecc.

¾ Si propongono alla classe dei problemi presi dalla vita reale (es. Fisica, Economia ecc.). In questa fase, i singoli allievi sono invitati a confrontarsi con un problema, la cui soluzione ha bisogno dell’uso della nozione di derivata, che ancora non possiedono. In tal modo l’alunno sarà portato, prima a formulare ipotesi di soluzione, poi a ricercare il procedimento risolutivo, mediante il ricorso alle conoscenze già acquisite. In questa fase

di sperimentazione e risoluzione del problema può essere importante l’uso dell’elaboratore elettronico.

¾ Dopo aver fatto nascere negli alunni l’esigenza di costruire il concetto di derivata, si procede alla sua formalizzazione facendo ricorso anche a controesempi.

Contenuti

S

Nel gennaio del 1638, subito dopo la pubblicazione della Géométrie di Descartes, Pierre Fermat scrive una lettera a Mersenne, corrispondente di molti scienziati dell'epoca e tramite fondamentale per la diffusione di nuovi risultati, in cui espone un suo metodo per trovare i massimi e i minimi. Osservando che la differenza tra una curva e la sua tangente ha nel punto di tangenza un minimo (o un massimo), di tale metodo egli si serve per la determinazione delle tangenti ad una curva. Il metodo di Fermat diventa complicato e inservibile nel caso in cui nell’equazione di partenza compaiono irrazionali. Proprio annunciando il superamento del problema della manipolazione di quantità più complesse come quelle irrazionali, Leibniz pubblicherà nel 1684 la sua Nova methodus, che segna l'inizio del calcolo differenziale.

Questo viene tradizionalmente considerato l'atto di nascita del calcolo infinitesimale. Nella breve memoria Leibniz introduce direttamente le regole di differenziazione e, potendo così di fatto scindere le difficoltà derivanti dalla complessità dell'equazione fino ad allora considerata nella sua globalità, riesce a superare il limite dei metodi precedenti.

Quasi venti anni prima della pubblicazione della Nova Methodus di Leibniz, nel 1665-1666, Newton aveva già elaborato un suo calcolo. A differenza di Leibniz

che considera in un certo senso le grandezze come composte da parti infinitesime, Newton, più attento alle questioni di dinamica e in genere del moto, le considera variabili in funzione del tempo: grandezze ``fluenti'' che ad ogni istante avranno una determinata velocità o ``flussione''.

Grande merito di Leibniz sta nell’introduzione della notazione per le derivate che da lui prende il nome: dy/dx; la notazione di Leibnitz presenta il difetto di far apparire la derivata come quoziente di due differenziali; tale locuzione è priva di senso, ma i primi studiosi, non essendo in possesso di una esatta cognizione del limite, non erano in grado di rendersene conto, ed attribuivano al differenziale un senso alquanto misterioso, quasi mistico, estraneo alla tecnica matematica.

Si deve attendere fino al 1872 per distinguere tra continuità e derivabilità; di tale epoca è una comunicazione di Weierstrass sull’argomento.

Il teorema dell’invertibilità nell’ordine delle derivazioni fu dimostrato una prima volta da Euler (1734) ma senza restrizioni; la dimostrazione rigorosa è assai più recente (Peano, 1890).

P

¾ Pendenza di una funzione in un suo punto (significato geometrico della derivata; vedi Leibnitz).

¾ Rapidità di variazione di una funzione in un suo punto (tipico esempio definizione velocità istantanea; vedi Newton).

P

Sia y=f (x) una funzione reale di variabile reale definita nell’intervallo (a, b) e siano x₀ (punto non isolato) e x₀ +h due punti del dominio della funzione.

Chiamiamo:

¾ incremento della variabile x la differenza tra le ascisse dei punti P(x0,f(x0)) e Q(x0 +h,f(x0 +h)):

∆x = (x0 +h)- x₀ = h

¾ incremento della funzione f, la differenza tra le ordinate dei punti ))

( , (x₀ f x₀

P e Q(x₀ +h,f(x₀ +h)).

∆y =∆f = f(x0 +h)-f(x₀)

¾ rapporto incrementale il rapporto:

x x f x x f x y

∆

−

∆

= +

∆

∆ ( ₀ ) ( ₀) con ∆x ≠0

Una funzione f si dice derivabile nel punto di ascissa x0 se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale, cioè se: ( ) ( ) '( )

lim ^{0 0} ₀

0 f x

x x f x x f

x =

∆

−

∆ +

→

∆

La funzione f è derivabile nell’intervallo (a, b) se essa è derivabile in ogni punto dell’intervallo.

Affinché una funzione f ammetta derivata f’ in un punto x0 è necessario che la funzione f esista in x0 e che esistano finite e uguali la derivata destra e sinistra in x₀.

Dalla definizione di derivata è facilmente intuibile che f'(x₀) sia la pendenza della retta tangente in x₀; infatti la derivata è il limite del rapporto incrementale di f, cioè della pendenza del segmento congiungente i punti P(x₀,f(x₀)) e

)) (

,

(x₀ h f x₀ h

Q + + .

Il rapporto incrementale

x x f x x f x y

∆

−

∆

= +

∆

∆ ( ₀ ) ( ₀) si dice anche tasso di variazione

media della f rispetto alla variabile x. Perciò la derivata di f si dice velocità o tasso di variazione istantaneo di f rispetto alla variabile x.

La derivata è, infatti, lo strumento per eccellenza per quantificare il cambiamento (istantaneo) di una funzione f(x) rispetto ad x, e perciò è di importanza fondamentale sia nella matematica che nelle scienze applicate.

Ostacoli ed errori

La classificazione dei possibili errori generati dall’introduzione del concetto di derivata può essere utile strumento di orientamento metodologico per l’insegnante.

Per quel che riguarda il concetto di derivata gli errori più frequenti, sono:

¾ di tipo tecnico;

¾ di tipo semantico.

Quelli di tipo tecnico si devono alla poca manualità con i limiti ed i relativi metodi di risoluzione.

Data, ad esempio, la funzione y= x−4, il calcolo della derivata utilizzando la definizione di limite del rapporto incrementale porta a considerare il limite

h x h

x

h

4 lim 4

0

−

−

− +

→ che può generare delle difficoltà di calcolo, in quanto esso si presenta nella forma indeterminata

0

0; e può essere calcolato moltiplicando numeratore e denominatore per la quantità x+h−4+ x−4.

Un altro errore comune, commesso dagli studenti che affrontano l’argomento derivata, è quello di applicare in modo meccanico le regole di derivazione, senza valutare preliminarmente l’intervallo di definizione della derivata. Ciò può portare ad affermare che la derivata di una funzione esiste sempre, quando vi sono dei punti in cui essa non è definita.

Gli errori semantici, invece, sono legati all’errata interpretazione del significato di derivata.

Ad esempio, spesso c’è confusione tra il concetto di continuità e derivabilità.

L’allievo potrebbe pensare che se una funzione è continua, allora è derivabile.

I due limiti destro e sinistro del rapporto incrementale potrebbero esistere ma essere diversi tra loro. L’allievo potrebbe erroneamente prendere come valore della derivata nel punto uno dei due valori trovati.

Classico controesempio in tal caso è lo studio della funzione f(x)=| x | nel punto di ascissa x = 0. I limiti destro e sinistro del rapporto incrementale valgono rispettivamente +1 e -1, dunque la deriva non esiste.

L’interpretazione geometrica della derivata consentirebbe di parlare di tangenti verticali in un punto della funzione (vedi ad esempio figura sotto), ma l’allievo deve rendersi conto che se il limite del rapporto incrementale fosse infinito la funzione derivata in tale punto non sarebbe definita.

Per mettere in evidenza alcuni di questi ostacoli potremmo proporre alla classe problemi del tipo seguente.

Problemi

Convenienza di acquisti

Presentando questo problema si vuole far riflettere l’allievo:

¾ sul concetto di retta secante ad una curva in due suoi punti,

¾ sul concetto di pendenza,

¾ sulla necessità che il punto dove vogliamo calcolare la tangente ad una funzione sia un punto non isolato per il dominio della funzione stessa.

Una

¾ il costo unitario di un fumetto è di 10 euro se l’acquirente acquista fino a fino a 9 fumetti;

¾ per acquisti di entità compresa tra 10 e 15 unità, il costo è pari a 19 euro diminuito del numero di fumetti acquistatati;

¾ il costo unitario è pari a 4 euro per ordini superiori a 15 fumetti.

Il grafico della funzione dei costi è dato in figura.

Costi in funzione delle unità acquistate

0 2 4 6 8 10 12

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28

Unità acquistate

Costo unitario

Costo

Si chiede allo studente:

1. Quanto è il risparmio unitario per chi ordina 2 fumetti rispetto a chi ne ordina 3?

È possibile che qualche alunno non si accorga che la funzione dei costi non è variata e risponda 1, dandoci la variazione della variabile indipendente.

2. Quanto è il risparmio unitario per chi ordina 2 fumetti rispetto a chi ne ordina 13?

3. Quanto è il risparmio unitario per chi ordina 13 fumetti rispetto a chi ne ordina 2?

L’alunno con riga e squadra dovrà misurare le variazioni della funzione e della variabile indipendente per poi farne il rapporto e dare il risultato numerico cambiato di segno. Il risparmio unitario è quindi l’opposto della pendenza.

È possibile un risparmio negativo. Ci aspettiamo inoltre che qualcuno degli studenti proponga come elemento significativo il rapporto incrementale tra i punti di ascissa data.

4. Quanto è il risparmio unitario per chi ordina n fumetti rispetto a chi ne ordina k?

Si richiede di generalizzare. Errori in questa fase possono riguardare la scelta delle strategie da adottare. Il test mette in evidenza il concetto di retta secante una curva in due punti suoi punti distinti.

5. Produci una tabella in excel che descriva il risparmio unitario al variare del numero di fumetti acquistati (massimo 30) rispetto a chi acquista 1 solo fumetto. Per quale ordine si ha uno sconto unitario maggiore? Fai un grafico relativo alla tabella che hai creato.

L’allievo, anche in piccoli gruppi, dovrà scoprire che questa tabella elenca l’opposto dei coefficienti angolari delle rette secanti il grafico proposto tra 1 fumetto ed n fumetti acquistati.

6. Produci una tabella in excel che descriva il risparmio unitario tra chi acquista k+1 fumetti rispetto a chi ne acquista k Ottenerne un grafico.

Battezziamo questa funzione del risparmio unitario.

Qui la retta seca due punti le cui ascisse sono consecutive. L’alunno è invitato a scoprire che non possiamo andare oltre nello studiare localmente la pendenza di una funzione discreta.

7. Trova l’espressione analitica che descrive la funzione dei costi e quella che descrive il risparmio unitario. Esistono relazioni tra le due leggi che hai trovato?

Richiediamo all’allievo di mettere in atto delle capacità di formalizzazione quali il saper scrivere una funzione a partire da un grafico ed a legare le proprietà del grafico della funzione derivata al grafico della funzione.

8. È possibile in questo problema parlare di variazioni infinitesime dei prezzi (o del numero di fumetti acquistati)? O di risparmio unitario ad un dato prezzo?

Qui l’allievo dovrà scoprire che il punto nel quale noi cerchiamo la

tangente ad una funzione deve essere non isolato nel dominio della funzione stessa. Da qui la necessità di passare oltre lo studio di funzioni discrete.

Legge oraria

Presentando questo problema si vuole far riflettere l’allievo:

¾ sugli stessi concetti del problema precedente;

¾ sulle proprietà che legano i grafici relativi ad una funzione e alla sua derivata;

¾ sul concetto di derivata inteso come limite del rapporto incrementale;

¾ sui significati di derivata: come tangente geometrica e velocità istantanea.

Un corpo si muove secondo la legge oraria:

) cos(

) 6 sin(

4 )

( t t t

x =

Il grafico della funzione nell’intervallo [0, 8] è il seguente:

Legge oraria

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 5 10

tempo (s)

spazio (m)

posizione

Se si dispone di laboratorio informatico, forniamo allo studente la tabella in excel contenente gli istanti di tempo e i relativi valori della funzione considerata.

Proponiamo allo studente.

Calcola:

1. la velocità media del corpo nell’intervallo di tempo considerato;

L'allievo può usare riga e squadra.

2. la velocità istantanea in tutti gli istanti di tempo dell’intervallo oppure al tempo t =2s.

L’allievo può rispondere alla prima domanda ove disponga di PC.

Per rispondere alla seconda domanda l’allievo dovrà tracciare con la riga secanti con secondo estremo via via più vicino al punto considerato, costruire una tabella con gli intervalli considerati, le variazioni della funzione in tali intervalli e le relative pendenze.

L’allievo noterà che considerando intervalli sempre più piccoli il valore della pendenza si avvicinerà ad un certo valore…(la derivata nel punto).

3. Disegna i grafici della velocità e dell’accelerazione in funzione del tempo.

Se l’allievo dispone di PC dovrà costruire una colonna da affiancare alle due fornite contenente le pendenze nei vari punti e tracciarne il grafico.

Con carta e penna, invece, l’allievo dovrà rendersi conto che derivata maggiore di zero in un punto implica funzione crescente, minore di zero funzione decrescente, uguale a zero funzione costante ed applicare queste conoscenze al caso in questione.

Rispondi:

Se il corpo ha velocità nulla la tangente alla legge oraria deve essere orizzontale perché …

2. La velocità istantanea coincide in tutti gli istanti con la velocità media dell’intervallo?

In questo caso no, esistono casi in cui si? L’alunno deve trovare almeno un esempio.

3. La velocità istantanea non coincide con la velocità media in nessun istante dell’intervallo?

Una domanda di questo tipo è provocatoria per introdurre successivamente teoremi sulle funzioni derivabili.

4. La tangente ad una legge oraria può essere verticale?

Vogliamo far riflettere lo studente sui fatti che:

9 geometricamente una funzione può avere tangente verticale in un suo punto, ciò implicherebbe il limite del rapporto incrementale infinito, ipotesi scartata nella definizione.

9 fisicamente non ha senso la tangente verticale perché ciò implicherebbe che il corpo copre una distanza finita in un tempo nullo.

Situazione a-didattica

Proponiamo due diverse situazioni a-didattiche. Una S1 realizzabile in classe con lavagna, gessetti e cancellino; l’altra S2 da realizzare in laboratorio di Fisica.

S1

Dal secondo problema proposto si può prendere spunto per creare una situazione-gioco del tipo seguente. Dividiamo la classe in due squadre e proponiamo una gara nella quale ogni squadra dà all’avversaria un grafico che rappresenti una legge oraria x(t). Il grafico deve essere corredato preferibilmente dalle funzioni analitiche relative. Scopo del gioco è ricavare delle tabelle dal grafico, costruire tabelle di pendenze relative ad intervalli ∆x via via minori, ed ottenere i corretti grafici della velocità v(t) e dell’accelerazione a(t) nel più breve tempo possibile. Ogni squadra sarà tenuta ad illustrare le procedure e le strategie adottate per assolvere il compito assegnato.

S2

Facciamo considerare un serbatoio d’acqua destinato ad alimentare una determinata rete di utenti e rifornito a sua volta da una diversa rete di distribuzione. (Vedi figura)

Il rifornimento del serbatoio può essere comandato a piacere attraverso il posizionamento della valvola di immissione (attuatore) , che varia la portata dell’acqua entrante, mentre la domanda di acqua uscente può variare in modo non noto, in dipendenza delle diverse esigenze dell’utenza. Il galleggiante (trasduttore) permette la rilevazione diretta del livello del serbatoio.

Indichiamo con:

A = sezione del serbatoio (supposta costante);

h = livello dell’acqua nel serbatoio;

Ω_e = portata d’acqua che rifornisce il serbatoio; può essere manipolata a piacere;

Ω_u = portata d’acqua domandata dall’utenza.

Nella condizione di equilibrio iniziale (istante t =0) la portata entrante e la portata uscente coincidono, cioè è Ωe = Ωu; di conseguenza non si verifica un accumulo di acqua nel serbatoio, né una diminuzione del volume di acqua, e il livello dell’acqua nel serbatoio si mantiene costante.

Supponiamo che all’istante t = 0 si verifichi una diminuzione della portata di acqua richiesta dall’utenza; ciò comporta un aumento del livello dell’acqua nel serbatoio, in quanto inizialmente la portata d’acqua in ingresso non subisce variazioni. Dopo un intervallo di tempo ∆t la variazione del volume del fluido nel serbatoio è pari a:

( )

V = Ωe−Ωu ⋅∆t

D’altra parte tale variazione di volume può essere espressa mediante la variazione del livello dell’acqua nel serbatoio, nel modo seguente:

V = ⋅ ∆ A h

Uguagliando le due relazioni precedenti si ottiene la seguente relazione:

∆

∆h Ω Ω

t = A1^_ e− u^_

che fornisce il rapporto tra l’incremento della funzione h(t) e l’incremento della variabile t, cioè il rapporto incrementale della funzione h(t).

Passando a variazioni infinitesime, cioè considerando intervalli di tempo ∆t molto piccoli, e conseguenti variazioni di livello nel serbatoio molto contenute, si ottiene l’espressione della derivata della funzione h(t):

( )

(

)

dh

dt = h t⋅ A e t u t

= 1 Ω −Ω

Negli istanti di tempo in cui la portata in ingresso supera la portata in uscita la derivata della funzione h(t) è positiva, cioè la funzione h(t) è crescente, e quindi il livello dell’acqua nel serbatoio aumenta, come era prevedibile; invece quando la portata in uscita è maggiore della portata in ingresso, il livello dell’acqua nel serbatoio diminuisce.

La variazione del livello dell’acqua nel serbatoio provoca, mediante una leva i cui bracci hanno lunghezza b₁ e b₂, uno spostamento della valvola di immissione cui corrisponde una variazione nel rifornimento del serbatoio tendente ad annullare la variazione dell’altezza h.

E’ possibile realizzare sperimentalmente la situazione descritta, magari in laboratorio, fissando un intervallo di tempo ∆t e andando a rilevare, nel transitorio di variazione dell’altezza h, le variazioni ∆h corrispondenti ad ogni intervallo ∆t; si riportano i valori rilevati in una tabella sotto riportata:

t ∆h ∆h/∆t

∆t ∆h1

2∆t ∆h₂

3∆t ∆h3

4∆t ∆h4

5∆t ∆h₅

6∆t ∆h6

7∆t ∆h7

8∆t ∆h₈

9∆t ∆h9

Riportando in un grafico i valori del rapporto ∆h/∆t in funzione del tempo t si ottiene l’andamento della derivata della funzione h(t), tanto meno approssimato quanto più piccolo viene scelto l’intervallo di tempo ∆t.

La determinazione dell’andamento della funzione h(t) non è agevole dovendo risolvere l’equazione differenziale ^dh_dt ^{=h t⋅}( ) ^{= 1 Ω}_A

(

)

Viene proposto agli studenti di dividersi in gruppi e di compilare la tabella di cui sopra con un diverso valore di ∆t per ogni gruppo e graficare gli andamenti delle funzioni h(t) ed h⋅

( )

giustificando le procedure adottate.