Lezione 1 Relatività ristretta

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

Lezione 1

Relatività ristretta

Corso di Fisica nucleare e subnucleare Paolo Maestro

a.a. 2016/17

•  Un evento è individuato dalla posizione in cui si verifica e dal tempo t in cui avviene

Un evento fisico è indipendente dal sistema di riferimento utilizzato per descriverlo.

•  Sistemi di Riferimento Inerziali (SRI)

- in essi, vale il primo principio della dinamica. Una particella libera (F=0) si muove di moto rettilineo uniforme

- I SRI si muovono l’uno rispetto all’altro di moto rettilineo uniforme.

•  Le coordinate di un evento descritto in due diversi sistemi di riferimento inerziali sono legate dalla trasformazioni di Galileo

•  Nella Fisica Classica il tempo è assoluto t=t’

Relatività Galileiana

x y

z z' y'

O O' x' S S'

x ' = x − u

_x

t y' = y − u

_y

t z' = z − u

_z

t

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

r = x, y, z ! ( )

r ' = ! ! r − !

ut

u

1

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

Invarianza galileiana della Meccanica

In una trasformazione Galileiana:

•  La lunghezza di un oggetto è invariante

•  Le accelerazioni sono invarianti

•  Se la forza rimane la stessa nei due sistemi di riferimento (F = F') anche la seconda legge di Newton (ma = F) rimane la stessa nei due sistemi

•  Le leggi della meccanica sono invarianti (cioè hanno la stessa forma) nei sistemi di riferimento inerziali

–  Non è possibile stabilire lo stato di moto di un SRI con esperimenti condotti nel sistema stesso. Si può solo dedurre la velocità relativa di due SRI confrontando i risultati dello stesso esperimento condotto in ciascuno di essi.

–  Non esiste un sistema di riferimento assoluto.

Vediamo due esempi di invarianza delle leggi della dinamica:

v ' =

!

d

!

r '

dt

=

d(

!

r −

!

ut)

dt

=

d

!

r dt

− !

u =

!

v −

!

u a ' =

!

d

!

v '

dt

=

d(

!

v −

!

u)

dt

=

d

!

v dt

= !

a

L ' =

!

r_B

'− !

r_A

' = !

r_B

− !

ut −

!

r_A

+ !

ut =

!

r_B

− !

r_A

= L

2

•  Massa m attaccata ad una molla disposta su di una piano orizzontale senza attrito.

L’equazione della dinamica è la stessa se determinata in due sistemi di riferimento inerziali S e S’ (per semplicità S’ sia in moto rettilineo uniforme lungo x)

•  Forza centrale derivante da un potenziale U agente fra due corpi Osservando che:

si deduce che md²x

dt² = −k(x − x₀) md²x

dt² = md²x '

dt² = −k(x − x₀) = −k(x '+ ut − x₀^' − ut) = −k(x '− x₀^' ) md²x '

dt² = −k(x '− x₀^' ) L’equazione è invariante per trasformazioni galileiane

m

_i

d

²

! r

_i

dt

²

= − !

∇U(r

_ij

) in S

m

_i

d

²

! r

_i

'

dt

²

= − !

∇U(r

_ij

') in S'

m_i d²

!

r_i

'

dt²

= m

_i d²

!

r_i dt² r

!

_ij

' = !

r_i^'

− !

r_j^'

= (

x_i^'

− x

^'_j

)

²

^{+ y} (

^i'

^{− y}

^'j

)

²

^{+ z} (

^i'

^{− z}

^'j

)

²

⁼

^r

^!

ⁱ

⁻

^r

^!

^j

⁼

^r

^!

^ij

^{⇒ U(r}

^ij

^{) = U(r}

^ij

^')

dU(r_ij

)

dx_i

=

dU(r_ij

')

dx_i^'

dU(r_ij

)

dy_i

=

dU(r_ij

')

dy_i^'

dU(r_ij

)

dz_i

=

dU(r_ij

')

dz_i^'

L’equazione è invariante per trasformazioni galileiane

3

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

Data l’equazione dell’onda meccanica (es. corda vibrante) in S

dove φ(x,y,z,t) è il profilo dell’onda e v la sua velocità, determiniamo come l’equazione si trasforma in un sistema S’ in moto con velocità u rispetto a S, cioè se φ(x’,y’,z’,t’) soddisfa anch’essa l’equazione di d’Alembert.

Utilizziamo le trasformazioni di Galileo

Calcoliamo come trasformano le derivate parziali nei due sistemi.

Non invarianza galileiana dell’equazione di un onda

∂

²

φ

∂x

²

+ ∂

²

φ

∂y

²

+ ∂

²

φ

∂z

²

− 1

v²

∂

²

φ

∂t

²

= 0

x ' = x − ut y' = y

z' = z t ' = t

J =

∂x '

∂x

∂x '

∂y

∂x '

∂z

∂x '

∂t

∂y'

∂x

∂y'

∂y

∂y'

∂z

∂y'

∂t

∂z'

∂x

∂z'

∂y

∂z'

∂z

∂z'

∂t

∂t '

∂x

∂t '

∂y

∂t '

∂z

∂t '

∂t

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

=

1 0 0 −u

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

4

∂ φ

∂x = ∂ φ

∂x '

∂x '

∂x + ∂ φ

∂y'

∂y'

∂x + ∂ φ

∂z'

∂z'

∂x + ∂ φ

∂t '

∂t '

∂x = ∂ φ

∂x '

∂

²

φ

∂x

²

= ∂

∂x

∂ φ

∂x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ∂x '

∂x

∂

∂x ' d φ dx

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + ∂t '

∂x

∂

∂t '

∂ φ

∂x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ∂

∂x '

∂ φ

∂x '

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ∂

²

φ

∂x '

²

Analogamente si dimostrano le relazioni per y e z

∂ φ

∂t = ∂ φ

∂x '

∂x '

∂t + ∂ φ

∂y'

∂y'

∂t + ∂ φ

∂z'

∂z'

∂t + ∂ φ

∂t '

∂t '

∂t = −u ∂ φ

∂x ' + ∂ φ

∂t '

∂

²

φ

∂t

²

= ∂

∂t

∂ φ

∂t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ∂t '

∂t

∂

∂t '

∂ φ

∂t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + ∂x '

∂t

∂

∂x '

∂ φ

∂t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ∂

∂t '

∂ φ

∂t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ − u ∂

∂x '

∂ φ

∂t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

∂

∂t ' −u ∂ φ

∂x ' + ∂ φ

∂t '

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ − u ∂

∂x ' −u ∂ φ

∂x ' + ∂ φ

∂t '

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = −2u ∂

²

φ

∂x '∂t ' + ∂

²

φ

∂t '

²

+ u

²

∂

²

φ

∂x '

²

5

∂

²

φ

∂y

²

= ∂

²

φ

∂y'

²

∂

²

φ

∂z

²

= ∂

²

φ

∂z'

²

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

∂

²

φ

∂x

²

+ ∂

²

φ

∂y

²

+ ∂

²

φ

∂z

²

− 1

v²

∂

²

φ

∂t

²

= 0

∂

²

φ

∂x '

²

+ ∂

²

φ

∂y'

²

+ ∂

²

φ

∂z'

²

− 1

v²

−2u ∂

²

φ

∂x '∂t ' + ∂

²

φ

∂t '

²

+ u

²

∂

²

φ

∂x '

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 0

∂

²

φ

∂x '

²

+ ∂

²

φ

∂y'

²

+ ∂

²

φ

∂z'

²

− 1

c²

∂

²

φ

∂t '

²

− 1

c²

−2u ∂

²

φ

∂x '∂t ' + u

²

∂

²

φ

∂x '

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 0

Sostituendo le relazioni fra derivate parziali nei due sistemi nell’equazione dell’onda

L’equazione non è invariante per trasformazioni di Galileo.

Nel caso di un’onda meccanica esiste un sistema di riferimento privilegiato.

È il sistema in cui il mezzo in cui si propaga l’onda è a riposo.

6

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

Elettromagnetismo e relatività galileiana

Dal 1867 i fenomeni e.m. e l’ottica vennero interpretati con successo dalle equazioni di Maxwell, le cui soluzioni sono onde e.m. (scoperte da Hertz nel 1887) che si propagano con la velocità della luce

In quale sistema di riferimento ?

In base alla meccanica, le onde hanno bisogno di un mezzo in cui propagarsi.

Qual è nel caso delle onde e.m.?

Le equazioni di Maxwell non sono invarianti per trasformazioni di Galileo.

c = 1 ε₀µ₀

a)  Ipotesi dell’esistenza dell’Etere che permea tutto lo spazio, nel quale la luce si propaga con velocità c.

In un riferimento S’ (es. Terra) in moto con velocità v rispetto all’Etere c’= c±v a seconda della direzione di moto di S’ rispetto ad esso.

b) solo nel sistema di riferimento solidale all’Etere, la velocità della luce è c e valgono le equazioni di Maxwell.

è Esisterebbe quindi un sistema privilegiato (assoluto)

è Il principio di relatività sarebbe valido per la meccanica ma non per l’e.m.

7

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

Poiché la Terra è in moto rispetto al sole, dovrebbe esserlo anche rispetto all’etere.

Supponiamo che l’interferometro si disposto in modo tale che la velocità V (~30 km/s) rispetto all’etere sia diretta lungo un braccio.

Secondo la relatività di Galileo, la luce impiega tempi differenti a percorrere i bracci dell’interferometro

e quindi i due fasci di luce non sono più in fase in O’ e si dovrebbero osservare frange di interferenza

Esperimento di Michelson-Morley (1887)

Δ φ = ν ( ^T

₁

− T

₂

) ^{= 2 ν}

c L

₁

1− V

²

c

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

−1

− L

₂

1− V

²

c

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

−1/2

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

L₂

L₁

T₁ = L₁

c −V + L₁

c +V = 2 L₁

c 1−V² c²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−1

T₂ = 2 L₂

c² −V² = 2 L₂

c 1−V² c²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−1/2

8

Lo sfasamento potrebbe essere dovuto ad una differenza fra L₁ e L₂. Per eliminare questo effetto l’interferometro era ruotato di 90^° scambiando il ruolo di L₁ e L₂

Quindi se V≠0, tra le due configurazioni si dovrebbe osservare uno spostamento delle frange di interferenza pari a

Δφ ' = 2ν

c L

₂

1− V

²

c

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

−1

− L

₁

1− V

²

c

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

−1/2

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

Δ φ − Δ φ ' = 2 ν (

L₁

+ L

₂

)

c

1−

V² c²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

−1

− 1−

V² c²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

−1/2

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ≈ ν (

L₁

+ L

₂

)

c

V c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= (

L₁

+ L

₂

)

λ

V c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

Nell’esperimento L₁=L₂=11 m λ=5.9 ×10^-7 m

Δ φ − Δ φ ' = (

L₁

+ L

2

)

λ

V c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= 2 ×11 5.9 ×10

⁻⁷

3×10

⁴

3×10

⁸

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= 0.37

Michelson-Morley non videro nessuno spostamento di frange, anche se l’apparato era in grado di rivelare uno sfasamento 100 volte minore di quello atteso.

9

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

•  Einstein ipotizzò che la Relatività Galileiana non fosse adeguata per i fenomeni e.m.

•  Il Principio di Relatività Ristretta si basa su due postulati

1) Tutte le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali.

Non esiste un sistema di riferimento privilegiato

2) La velocità della luce nello spazio vuoto ha lo stesso valore c in tutti i SRI

Conseguenze:

–  Il tempo non è più assoluto come nella Relatività Galileiana

–  La simultaneità non è un concetto assoluto e dipende dallo stato di moto dell’osservatore

–  La velocità della luce è finita e la trasmissione dei segnali non è istantanea

Quali sono le trasformazioni che ci permettono di passare da S a S’ (inerziali) sfruttando il principio di relatività e la costanza della velocita della luce?

La Teoria della Relatività

10

•  Le leggi di trasformazione dello spazio tempo che soddisfano il principio di relatività di Einstein sono state ricavate nel 1890 da Lorentz per assicurare l’invarianza delle leggi dell’e.m.

•  Consideriamo due sistemi inerziali S e S’ con le origini coincidenti al tempo t=t’=0.

Un evento è descritto in S da (x,y,z,t) e in S’ da (x’,y’,z’,t’)

•  Le leggi di trasformazione devono essere lineari nelle 4 coordinate (isotropia dello spazio tempo: equivalenza di tutti i SR inerziali).

•  Assumendo il moto relativo dei due SRI lungo x, le equazioni si riducono a

x ' = a

₁₁

x + a

₁₂

y + a

₁₃

z + a

₁₄

t y' = a

₂₁

x + a

₂₂

y + a

₂₃

z + a

₂₄

t z' = a

₃₁

x + a

₃₂

y + a

₃₃

z + a

₃₄

t t ' = a

₄₁

x + a

₄₂

y + a

₄₃

z + a

₄₄

t

y’

x’

x

z’

y

z

O O’

v

x ' = a

₁₁

x + a

₁₄

t y' = y

z' = z

t ' = a

₄₁

x + a

₄₄

t

Trasformazioni di Lorentz

Il piano y=0 si trasforma in y’=0;

z=0 si trasforma in z’=0

11

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

•  Supponiamo che quando O e O’ coincidono, sia emesso un raggio di luce. La distanza percorsa dal raggio di luce ad un istante successivo è data nei due SR dalle equazioni

dove in accordo al postulato di Einstein si assume la costanza della velocità della luce indipendentemente dal moto della sorgente emettitrice.

•  Sostituendo le leggi di trasformazione nella seconda equazione, otteniamo:

Dal confronto con la equazione del raggio di luce in S si ottengono le prime 3 equazioni del sistema:

•  Inoltre O’ soddisfa in S la legge oraria x=vt per ogni t.

Sostituendo x’=y’=z’=0 nelle leggi di trasformazione, si ottiene

x

²

+ y

²

+ z

²

= c

²

t

²

x '

²

+ y'

²

+ z'

²

= c

²

t '

²

a₁₁x + a₁₄t

( )

²

^{+ y}

²

^{+ z}

²

^{= c}

²

(

^{a41x + a44t}

)

²

a₁₁² x²

+ a

₁₄²t²

+ 2a

₁₁a₁₄xt + y²

+ z

²

= c

²a₄₁² x²

+ c

²a₄₄² t²

+ 2c

²a₄₁a₄₄xt a₁₁²

− c

²a₄₁²

( )

^x2

^{− −a} (

¹⁴²

^{+ c}

^2a442

)

^t2

^{+ 2 a} (

^11a14

^{− c}

^2a41a44

)

^{xt + y2}

^{+ z}

²

^{= 0}

a

₁₁²

− c

²

a

₄₁²

=1

−a

₁₄²

+ c

²

a

₄₄²

= c

²

a

₁₁

a

₁₄

− c

²

a

₄₁

a

₄₄

= 0 a

₁₄

= −va

₁₁

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

12

a

₁₁

= a

₄₄

= 1 1− v

c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= 1

1− β

²

⁼ γ a

₄₁

= −

v c

²

1− v

c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= − β

c 1− β

²

^{= −} β

c γ

a

₁₄

= − v 1− v

c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= − v

1− β

²

^{= −v} γ

Risolvendo il sistema di 4 equazioni:

β

= v

c

γ

= 1 1− v²

c²

x ' = γ (x − β ^ct) y' = y

z' = z

ct ' = γ (ct − β ^x)

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

Le trasformazioni di Lorentz sono quindi:

e si possono esprimere in forma matriciale

ct ' x ' y' z'

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

=

γ − βγ 0 0

− βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟⎟

ct x y z

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

•  Le trasformazioni inverse sono formalmente identiche in base al principio di relatività, e si ottengono cambiando v→ -v

•  Se v<<c è β→ 0 γ→ 1

e si ritrovano le trasformazioni di Galileo

13

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

Trasformazione relativistica delle velocità

Dalle trasformazioni di Lorentz è possibile

deteminare le componenti della velocità in S’, u’

in funzione di u e di t.

Per il principio di relatività le relazioni inverse sono simmetriche e si ottengono trasformando v→ -v

Nota che se u=(c,0,0) →u’=(c,0,0)

- Nessun segnale si può propagare a velocità >c -  c è la stessa in tutti i SRI

-  Cambiano anche le componenti perpendicolari a v

!!

!

"

!!

!

#

$

−

=

=

=

−

=

) (

' ' '

) (

'

c dx dt dt

dz dz

dy dy

cdt dx

dx

γ β

β γ

u'_x = dx '

dt ' =γ(dx −βcdt) γ(dt −β

c dx)

= dx

dt − v 1−β

c dx

dt

u'_x = u_x− v 1−β

c u_x u'_y = u_y

γ 1−β c u_x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ u'_z = u_z

γ 1−β c u_x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪

14

Due fulmini colpiscono la banchina nei punti A e B e il treno nei punti A’ e B’, al tempo 0 coincidenti.

Nel riferimento della banchina un osservatore M, e q u i d i s t a n t e d a A e B , r i c e v e contemporaneamente i bagliori dei fulmini e giudica simultanei i due eventi.

Nel riferimento del treno un osservatore in M’, equidistante da A’ e B’, come giudica i due eventi?

Per l’ossevatore M, il tempo di arrivo dei segnali è t_A=t_B=L/c

La situazione vista da M’, ragionando secondo la relatività galileiana è la seguente:

La simultaneità “assoluta”

L L

v

la velocità del raggio di luce che si propaga da B è c-v, mentre la velocità del raggio che proviene da A è c+v. M’ si allontana da A e si avvicina a B. Quindi abbiamo:

L-vt’_B= (c-v) t’_B

L+vt’_A= (c+v) t’_A da cui si ricava t_A’=t_B’=L/c=t_A=t_B

quindi gli eventi sono simultanei anche per M’. Secondo la relatività galileiana, eventi simultanei lo sono in ogni SRI.

t=0

t>0

15

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

Ragionando secondo la relatività di Einstein, la velocità dei raggi di luce è sempre la stessa in tutti i SRI. Quindi anche per M’, la velocità dei raggi di luce provenienti da A e B è c.

M’ si allontana da A e si avvicina a B.

Quindi abbiamo:

da cui si ricava

quindi gli eventi NON sono simulanei per M’.

Relatività della simultaneità

L L

v t=0

t>0

L + vt

_A^'

= c t

_A^'

L − vt

_B^'

= c t

_B^'

t

_A^'

= L c − v t

_B^'

= L

c + v

Δt ' = t

_A^'

− t

_B^'

= L

c − v − L

c + v = 2vL c

²

1− v

²

c

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

= 2βγ

²

L c

16

Si può arrivare alle stesse conclusioni utilizzando le trasformazioni di Lorentz

La simultaneità degli eventi per M implica t_A=t_B, pertanto

Osserviamo però che il risultato trovato ora con le trasformazioni di Lorentz non è in accordo con quello precedente. Perché?

Relatività della simultaneità (rivista)

L L

v t=0

t>0

ct

_A^'

= γ ^(ct

_A

− β ^x

_A

⁾ ct

_B^'

= γ ^(ct

_B

− β ^x

_B

⁾

Δt ' = t

_B^'

− t

_A^'

= γ β

c ( x

_A

− x

_B

) ^{= 2 γ β}

c L

Occorre notare che nel calcolo di pag. 16 dove è scritto L si deve intendere L’, cioè la semi- distanza A’B’ misurata nel sistema di M’. Per la contrazione delle lunghezza L’ = L/γ.

Il calcolo corretto è quindi

Δt ' = t

_A^'

− t

_B^'

= L '

c − v − L '

c + v = 2βγ

²

c L ' = 2βγ

²

c

L

γ = 2βγ c L

L’

L’

17

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

Nel sistema S’

Nel sistema S la sbarra è in moto per cui gli estremi vanno misurati simultaneamente cioè a t_b=t_a

Contrazione delle lunghezze

Se un corpo è a riposo rispetto ad un osservatore la sua lunghezza è determinata misurando la differenza tra le coordinate spaziali degli estremi.

Poiché il corpo è in quiete queste misure possono essere fatte ad ogni istante.

La lunghezza del corpo definita nel SR in cui esso è in quiete prende il nome di lunghezza propria.

y

’

x’

x

z

’ y

z

O O’

€

L

₀

= x

_b

'−x

_a

'

L

₀

= x

_b

'− x

_a

' = x

_b

− x

_a

− v(t

_b

− t

_a

) 1− β

²

L

₀

= x

_b

'− x

_a

' = x

_b

− x

_a

1− β

²

= L γ > L

v

18

La lunghezza propria è maggiore della lunghezza misurata in un qualsiasi SRI in cui il corpo non è in quiete

•  Consideriamo un orologio in quiete in S’, il cui periodo è dato dal tempo che intercorre fra andata e ritorno di un raggio di luce riflesso da due specchi

•  L’osservatore in S vede gli specchi muoversi con velocità v in direzione perpendicolare al raggio di luce. Il cammino ottico del raggio è

da cui si ricava il periodo

L’orologio a luce

ΔT

²

= 2s

c

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= 4

c²

(

D²

+ L

²

) ⁼

_c

⁴

²

^{⎛ ⎜} _⎝

^D2

⁺

^v2

^ΔT ₄

²

^⎞ _⎠ ^⎟

ΔT = 2D

c 1− v²

c²

= γ ΔT ' ΔT ' = 2D

c

s = D

²

+ L

²

= D

²

+ v ΔT 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

Il tempo in S scorre più lentamente che in S’

19

S S’

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

Si definisce tempo proprio Δt₀ il tempo misurato nel sistema in cui i due eventi avvengono nella stessa posizione spaziale (un solo orologio necessario per la misura). In qualsiasi altro SR vale

Orologi naturali sono costituiti dalle particelle che quando sono instabili hanno una vita media.

Consideriamo un orologio a riposo nel sistema S’ in moto con velocità v rispetto a S.

L’intervallo di tempo fra due eventi che avvengono nella stessa posizione spaziale x₁’ in S’ è

Nel sistema S, i tempi dei due eventi sono legati a quelli misurati in S’ dalle trasformazioni di Lorentz

Il tempo misurato dagli orologi di S (dove i due eventi non hanno le stesse coordinate spaziali) è maggiore: in questo consiste la dilatazione dei tempi

Δt = t

₂

− t

₁

= γ ^{(t '}

₂

− t '

₁

) + γ β

c (x '

₁

− x '

₁

) = γ Δt '

t 0

t = γ Δ Δ

Dilatazione del tempo

Δt ' = t '

₂

− t '

₁

20

Nella teoria della relatività, spazio e tempo non sono quantità indipendenti.

Introduciamo ora una notazione semplificativa definendo:

•  il quadrivettore controvariante tempo-posizione

•  il quadrivettore covariante tempo-posizione

dove x₀=ct indica la coordinata temporale e x_1,2,3 le coordinate spaziali x,y,z

Le trasformazioni di Lorentz si possono scrivere in forma matriciale

x

_µ

= (x

₀

, −x

₁

, −x

₂

, −x

₃

) Quadrivettori

x '

⁰

x '

¹

x '

²

x '

³

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

⎟⎟

=

γ − βγ ^{0 0}

− βγ γ ^{0 0}

0 0 1 0

0 0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟⎟

x

⁰

x

¹

x

²

x

³

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

⎟⎟

x

^µ

= (x

⁰

, x

¹

, x

²

, x

³

)

21

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

Le trasformazioni di Lorentz lasciano invariata la quantità c²t²-x²-y²-z² in tutti i SR, cioè si tratta di un invariante relativistico.

Si può verificare ciò utilizzando la notazione covariante:

Possiamo scrivere questa espressione invariante come un prodotto scalare di quadrivettori

dove nell’ultimo passaggio si sottintende la sommatoria se l’indice è saturato.

x '

⁰

( )

²

^{- x '} ( )

^{1 2}

^{− x '} ( )

^{2 2}

^{− x '} ( )

^{3 2}

⁼ ( ^{γ x}

⁰

^{− βγ x}

¹

)

²

^{- γ x} (

¹

^{− βγ x}

⁰

)

²

^{− x} ( )

^{2 2}

^{− x} ( )

^{3 2}

⁼

= ^⎡ _⎣⎢ ( ) γ x

^{0 2}

⁺ ( ^{βγ x}

¹

)

²

^{− βγ}

²

^x

¹

^x

⁰

^⎤ _⎦⎥ ^{− ⎡} _⎣⎢ ( ) ^{γ x}

^{1 2}

⁺ ( ^{βγ x}

⁰

)

²

^{− βγ}

²

^x

¹

^x

⁰

_⎦⎥ ^{⎤ − x} ( )

^{2 2}

^{− x} ( )

^{3 2}

⁼

= x ( )

^{0 2}

( ^γ

²

^{− β}

²

^γ

²

) ^{− x} ( )

^{1 2}

( ^γ

²

^{− β}

²

^γ

²

) ^{− x} ( )

^{2 2}

^{− x} ( )

^{3 2}

⁼

= x ( )

^{0 2}

^{- x} ( )

^{1 2}

^{− x} ( )

^{2 2}

^{− x} ( )

^{3 2}

Prodotto scalare di quadrivettori

=1 =1

c

²

t

²

− x

²

− y

²

− z

²

= x

⁰

x

₀

+ x

¹

x

₁

+ x

²

x

₂

+ x

³

x

₃

= x

^µ

µ=0 3

∑ ^x

^µ

^{≡ x}

^µ

^x

^µ

22

Il prodotto scalare può essere anche scritto così

dove si sottintende la sommatoria sugli indici ripetuti (uno in alto e uno in basso).

Si utilizza anche il tensore di indici covarianti e controvarianti:

Per passare da vettori covarianti a controvarianti si definisce il tensore metrico

g

^µν

= g

_µν

=

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

x

^µ

x

_µ

= x

^µ

g

_µν

x

^ν

ν=0 3

∑

µ=0 3

∑ ^{= g}

^µν

^x

^µ

^x

^ν

^{= g}

^µν

^x

^µ

^x

^ν

Tensore metrico g

^µν

g

_µν

x

^ν

= x

_µ

g

^µν

x

_ν

= x

^µ

g

_ν^µ

= g

^µα

g

_αν

≡ δ

_ν^µ

=

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

23

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

•  La grandezza è la distanza di un evento dall’origine di uno spazio a 4 dimensioni in cui la metrica non è definita positiva (Spazio di Minkowski)

•  s² (cioè la lunghezza dei quadrivettori) è invariante per trasformazioni di Lorentz

•  Poiché c è un limite superiore per tutte le velocità possibili, lo spazio tempo può essere diviso in tre regioni possibili mediante un iper- superficie (“cono luce”) descritta da s²=0

•  Un oggetto con velocità <c partendo da O descrive una traiettoria all’interno del cono superiore (t>0) . Questa regione è detta futuro.

Analogamente il semicono inferiore è chiamato passato (t<0) .

•  La regione esterna al cono di luce viene detta Altrove. Un sistema fisico che si trova in O non può mai raggiungere Altrove, perché in tal caso avrebbe una velocità > c.

s

²

= c

²

t

²

− x

²

− y

²

− z

²

Spazio di Minkowski

24

Consideriamo due eventi che avvengono in posizioni (per semplicità consideriamo solo x) e tempi differenti nel sistema S.

Utilizzando le trasformazioni di Lorentz calcoliamo Δt’ e Δx’ in un sistema S’ con β<1

L’appartenenza ad una delle regioni dello spazio di Minkowski può essere determinata tramite la distanza invariante tra i due eventi

Se Δs²>0 gli eventi sono di tipo tempo Se Δs²<0 gli eventi sono di tipo spazio Se Δs²=0 gli eventi sono di tipo luce

Δs

²

= c

²

Δt

²

− Δx

²

− Δy

²

− Δz

²

t '

₂

− t '

₁

= γ ^(t

₂

− t

₁

) − γ β

c (x

₂

− x

₁

) ⇒ Δt ' = γ Δt 1- β ^Δx cΔt

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ x '

₂

− x '

₁

= γ ^(x

₂

− x

₁

) − γβ ^c(t

₂

− t

₁

) ⇒ Δx' = γ Δx 1− β ^{c Δt} Δx

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

25

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

Ø  Se la distanza fra gli eventi è >0

Questa condizione applicata a

implica che Δt e Δt’ hanno lo stesso segno in tutti i SR

•  se Δt>0 è Δt’>0 in ogni SR; l’evento 2 si trova nel futuro dell’evento 1 (cono luce superiore)

•  se Δt<0 èΔt’<0 in ogni SR; l’evento 2 si trova nel passato dell’evento 1 (cono luce inferiore)

Si può scegliere un SR S’ con in cui gli eventi avvengono nello stesso punto (Δx’=0) e in tempi diversi.

Gli eventi possono quindi essere collegati da un segnale fisicamente possibile (<c) e quindi da un rapporto di causa-effetto.

La causalità non può essere invertita cioè in tutti i sistemi uno dei due eventi avviene prima dell’altro.

Δs

²

= c

²

Δt

²

− Δx

²

> 0 ⇒ Δx cΔt <1

β = Δx

cΔt

Δt ' = γ Δt 1- β ^Δx cΔt

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Altrove Altrove

Principio di causalità

Evento 2

Evento 1

26

Ø  Se la distanza fra gli eventi è <0 Questa condizione applicata a

implica che il segno di Δt non è univocamente determinato ma dipende dal SR.

Non è possibile definire in modo assoluto l’anteriorità di uno degli eventi: esistono SR in cui 2 è anteriore ad 1 e SR in cui 2 è successivo a 1.

Esiste inoltre un sistema si riferimento con

in cui gli eventi sono simultanei (Δt’=0).

Ø  Se la distanza ds²=0, i due eventi sono collegabili solo con un segnale che viaggi alla velocità della luce.

Δs

²

= c

²

Δt

²

− Δx

²

< 0 ⇒ Δx cΔt >1

β =

cΔt

Δx <1

Δt ' = γ Δt 1- β ^Δx cΔt

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Altrove Altrove

Evento 2 Evento 1

27

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

•  La legge oraria di una particella x(t) è una linea continua interna al cono luce (v<c) detta linea di universo della particella.

Il cono luce può essere definito relativamente a ciascun punto della linea di universo stessa

•  In un sistema SR’ in cui la particella è istantaneamente in quiete vale Per l’invarianza di ds² risulta

La velocità istantanea della particella in SR è

e quindi possiamo scrivere la variazione infinitesima del tempo proprio dτ come

dτ è un invariante relativistico

Coincide con il tempo ordinario nel sistema di riposo (β=0) della particella.

dx ' = 0 dt = d τ

v = dx dt

d τ = dt 1− 1 c

²

dx dt

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= dt 1− β

²

ds

²

= c

²

dt

²

− dx

²

= c

²

d τ

²

Tempo proprio

28

Quadrivettore velocità

La derivata rispetto al tempo proprio del quadrivettore x^µ è un quadrivettore le cui componenti controvarianti sono:

η

⁰

= dx

⁰

dτ = d(ct)

dτ = c dt 1 γ dt

= γc

η

¹

= dx

¹

dτ = dx 1 γ dt

= γv

_x

η

²

= dx

²

dτ = dy 1 γ dt

= γv

_y

η

³

= dx

³

dτ = dz 1 γ dt

= γv

_z

^η

µ

η

µ

= γ

^2c2

− γ

^2v_x²

− γ

^2v_y²

− γ

^2v_z²

= γ

^2c2

( 1− β

²

) ^{= c}

²

Il modulo della quadrivelocità è invariante,

come dev’essere per un quadrivettore.

η

^µ

= ( γ ^c, γ ^{v !} )

29

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 Paolo Maestro

•  Le componenti spaziale e temporale hanno dimensioni di un energia.

•  La parte spaziale si può scrivere come cp dove p=m₀γv è la quantità di moto definita come nella meccanica classica, tenendo conto del fattore γ introdotto dalla derivata d/dτ.

•  Il modulo del quadrimomento è

•  Una interpretazione interessante delle equazioni trovate si ottiene associando il fattore relativistico γ alla massa e non alla velocità.

Si definisce così la massa relativistica dove m₀ è la massa a riposo.

•  La massa relativistica può essere interpretata come misura dell’inerzia di una particella.

Il fatto che m(v) cresce rapidamente con v e m→∞ per v → c, può dare una spiegazione intuitiva dell’irraggiungibilità di c per particelle materiali.

Quadrimomento

Definiamo il quadrimomento come

p

^µ

p

µ

= m

₀²

c

⁴

m = m

₀

γ

p

^µ

= m

₀

c η

^µ

= m (

₀

γ ^c

²

^{, m}

₀

γ ^{c v !} )

30

E

_kin

= !

∫ F ⋅ ^{d x = ! d} p ! dt ⋅

∫ ^{d x = !} ∫ ^{v ⋅ d ! p ! = m}

⁰

∫ ^{v ⋅ ! d(γ v) = m !}

⁰

∫ ^v

²

^{dγ + m}

⁰

∫ ^{γ v ⋅ ! d v = !}

= m

₀

∫ v

²

^{dγ + 1} ₂ ^m

⁰

∫ ^{γ dv}

²

^{= m}

⁰

∫ ^v

²

^{dγ + m}

⁰

∫ ^{γ dv}

²

^{− 1} ₂ ^m

⁰

∫ ^{γ dv}

²

⁼

= m

₀

∫ d γv ( )

²

^{− 1} ₂ ^m

⁰

∫ ^{γ dv}

²

^{= m}

⁰

∫ ^{d γv} ( )

²

^{− 1} ₂ ^m

⁰

^{1− v}

2

c

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

−1/2

∫ ^dv

²

⁼

= m

₀ 0

d γv ( )

²

∫

v

^{− c}

2

2 m

₀

1− v

²

c

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

−1/2

d v

²

c

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

0

∫

v

⁼

= m

₀

γv

²

+ m

₀

c

²

1− v

²

c

²

− m

₀

c

²

= m

₀

γc

²

− m

₀

c

²

Energia relativistica

Dimostriamo che la componente temporale del quadrimomento rappresenta l’energia relativistica.

Applichiamo il teorema dell’energia cinetica utilizzando la definizione di impulso relativistico

E

_kin

= m

₀

γ c

²

− m

₀

c

²

•  Una particella con velocità v ha energia E=m₀γc²

•  Una particella ferma ha energia di riposo m₀

•  L’energia cinetica è E_k= E – m₀c²= m₀c²(γ-1)

•  La componente temporale del quadrimomento rappresenta l’energia relativistica.

31