Proprietà dei nuclei

(1)

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Proprietà dei nuclei

Lezione 2

(2)

Classificazione dei nuclei

•  I nuclei sono costituiti da protoni e neutroni.

•  La carica del nucleo è data dal numero di protoni:

–  numero atomico Z

–  determina le proprietà chimiche dell’atomo risultante –  di solito indicato attraverso il simbolo dell’elemento

chimico

•  La massa del nucleo dipende principalmente dal numero di nucleoni:

–  numero di massa A

–  somma di Z e del numero di neutroni N

9 Be

Berillio: Z=4

Numero di

massa A=9 Neutroni N=A-Z=5

N.B.: se fosse necessario indicare esplicitamente Z, useremo la notazione:

AZX

(3)

Classificazione dei nuclei

•  Nuclei con lo stesso Z ma diverso N sono detti isotopi dello stesso elemento.

•  Nuclei con lo stesso A, ma diverso Z, sono detti isobari.

•  Nuclei con lo stesso N, ma diverso Z, sono detti isotoni.

•  Un nucleo con determinati valori di A e Z può trovarsi in stati eccitati, isomeri o

risonanze, da cui solitamente decade nello stato

fondamentale emettendo radiazione elettromagnetica (raggi γ)

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2015/16

3

N

→

Z

→

BNL Nuclide Map

http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/

(4)

Carta dei Nuclidi

BNL Nuclide Map

http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/

20983

Bi

(5)

Masse dei nuclei

•  La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti:

•  La differenza di massa è dovuta all’energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari:

–  Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità.

•  Una quantità fisicamente importante è l’energia media di legame per nucleone:

5

M (A, Z ) < Zm_p + (A − Z )m_n

B.E. / c² = M (A, Z ) − Zm_p − (A − Z )m_n

m_p = 938.27 MeV / c² m_n = 939.57 MeV / c²

B

A = − B.E.

A = "#Zm_p + (A − Z )m_n − M (A, Z )$%c² A

(6)

Spettrometro di massa

•  Per la misura di masse atomiche si usano spettrometri di massa

•  Il principio di funzionamento è il seguente –  una sorgente di ioni

•  gli atomi sono ionizzati e accelerati

–  un selettore di velocità

•  solo le particelle che viaggiano in linea retta attraversano i collimatori

•  La forza elettrica e la forza magnetica si bilanciano

–  uno spettrometro magnetico

•  masse diverse hanno raggi diversi

sorgente di ioni selettore v

v! F!_E = q !

E_v F!_B = q!

v × ! B_v

F!_E = −! F_B

spettrometro magnetico qvB = m v² R

mv = qBR

m = q B_v E_v BR

collimatori

v = E_v B_v

B!_v E!_v

R

(7)

Spettrometro di massa

7

•  Interessano precisioni sulle masse ~0.1 MeV.

–  ~10^-6 per atomi con A~100

•  Per poter determinare la massa con precisione occorre

–  misurare con precisione R

–  misurare con precisione E_v, B_v, B

•  stabilità ed uniformità

•  Si ottengono precisioni migliori per rapporti di masse

–  si utilizzano due molecole che hanno circa la stessa massa; ad esempio:

–  si possono utilizzare le stesse regolazioni di E e B per le due molecole

–  Le molecole passano attraverso le stesse regioni dell’apparato

•  Il rapporto delle masse dipende solo dai raggi:

•  Il carbonio consente numerose possibilità di realizzare le masse volute.

m = q B_v E_v BR

160Gd ≈ C₁₂H₁₆ A_C₁₂_H₁₆ = 12 ×12 + 16 ×1

m₁ = q B_v E_v BR₁ m₂ = qB_v

E_v BR₂ C₁₂H₁₆

160Gd

m₁ m₂ = R₁ R₂

(8)

Masse atomiche

•  Normalmente viene tabulato il peso atomico:

–  include le masse degli elettroni e la loro piccola energia di legame B_e: –  espresso in unified atomic mass unit (u):

1/12 della massa di un atomo di ¹²C –  1 u = 931.49 MeV/c² = 1.6605 × 10^-27 kg

–  N_A = 6.022142×10²³ mol^-1 è il numero di atomi contenuti in 12 g di ¹²C

•  Si definisce eccesso di massa la differenza rispetto ad A u:

Mass excess = m(A, Z) − A u

m(A, Z ) = M (A, Z) + Zm_e − B_e(Z ) / c²

Mass excess [keV/c²] Atomic mass [µu]

(9)

Isotopi e pesi atomici

•  Uno spettrometro di massa può venire usato come separatore di isotopi.

–  sia come analisi di composizione

–  che come produzione di specifici nuclidi

•  I pesi atomici degli elementi tengono conto dell’abbondanza isotopica.

–  Tipicamente differiscono da A di frazioni in 10^-3, –  eccetto quanto sono presenti diversi isotopi con

abbondanza comparabile.

9

(10)

Energia di legame per nucleone

Binding energy curve - common isotopes.

Licensed under Public Domain via Commons.

(11)

Energia di legame per nucleone

11

•  Osservazione:

–  l’energia media di legame è approssimativamente costante:

B/A ~ 8 MeV

–  l’interazione nucleare deve essere a corto range.

(12)

Interazioni a lungo e corto range

•  Interazioni a lungo range (es. interazione Coulombiana):

–  una particella interagisce con tutte le altre particelle presenti

–  energia della particella: A+1∝A

–  energia totale proporzionale al numero di coppie: E∝A(A-1)/2

•  Interazioni a breve range (es. legami molecolari)

–  una particella interagisce solo con le particelle più vicine

–  energia della particella: A+1~costante –  energia totale proporzionale al numero di

particelle: E∝A

(13)

Energia di legame per nucleone

13

•  Osservazione:

–  esiste un massimo in corrispondenza del ⁵⁶Fe.

–  Sotto tale A, è energeticamente conveniente combinare nuclei leggeri in un nucleo pesante:

•  fusione nucleare

•  processo di nucleosintesi primordiale e stellare.

–  Al di sopra i nuclei devono venire prodotti da altri meccanismi:

•  esplosioni di supernovae.

(14)

Energia di legame per nucleone

•  Osservazione:

–  L’energia media di legame presenta irregolarità nella regione di basse masse:

•  modelli nucleari dovranno spiegare queste proprietà

–  In particolare ⁴He (Z=2, N=2) è più strettamente legato degli stati vicini:

•  assenza di nuclei stabili con A=5 e 8

•  possibilità di decadimenti α di elementi pesanti

(15)

Le barriere di massa A=5, A=8

•  Energia di separazione

–  Energia minima necessaria da fornire ad un nucleone per estrarlo dal nucleo.

–  Per protoni:

–  Per neutroni

•  S_p(⁵Li) e S_n(⁵He) sono negative:

–  gli stati legati sono instabili.

•  Infine abbiamo che:

m(⁸Be)>2m(⁴He)

–  tale nucleo decade

immediatamente in due α

15

N

→

Z

→

A=5 A=8

S_p

( )

_Z^AX ^{= m}^"#

(

^Z−1^A−1^X

)

^{+ m}

( )

¹^H ^{− m}

( )

^Z^A^X $

%c²

S_n

( )

_Z^AX ^{= m}^"#

(

^A−1^Z^X

)

^{+ m}ⁿ ^{− m}

( )

^Z^A^X $

%c²

(16)

Stabilità dei nuclei

Stabile

N Z Nuclei stabili

Pari Pari 156

Pari Dispari 48

Dispari Pari 50

Dispari Dispari 5

(17)

Stabilità dei nuclei

17

Stabile β⁺

β^-

β

^-

^A_Z

X→

^A_Z+1

X

β

⁺

^A_Z

X→

^A_Z-1

X

(18)

Decadimenti β

Decadimenti tra nuclei isobari:

•  β^-: ^A_Z-1X→^A_ZX+e^-+ν_e

–  permesso se: m(A,Z-1)>m(A,Z)

•  β⁺: ^A_ZX→^A_Z-1X+e⁺+ν_e

–  permesso se: m(A,Z)>m(A,Z-1)+2m_e

•  Cattura Elettronica (EC): ^A_ZX+e^-→^A_Z-1X+ν_e –  permesso se: m(A,Z)>m(A,Z-1)

Tra due isobari contigui (|ΔZ|=1) è sempre permesso o un decadimento β^- o un EC

–  β⁺ sempre accompagnato da EC –  sequenze di decadimenti fino a

raggiungere l’isotono più stabile:

valle di stabilità

–  se A pari, nuclei dispari-dispari decadranno in pari-pari

–  possono esserci più nuclei pari-pari stabili

N.B.: masse atomiche

(19)

Stabilità dei nuclei

19

Stabile β⁺

β^-

emissione di n

α

^A_Z

X→

^A-4_Z-2

X

α

Fissione spontanea

emissione

di p

(20)

Momento magnetico

•  Una particella può essere dotata di momento angolare: spin S

•  In una visione classica, in cui una distribuzione di massa ruota con velocità angolare ω attorno al proprio asse:

–  I = momento d’inerzia

•  Se abbiamo una corrispondente distribuzione di carica:

•  la particella presenta anche un momento magnetico:

S = dV

∫

ρ^{(r) r sin}

(

θω

) (

^{r sin}^θ

)

S = dV

∫

ρ(r)v × r

=ω

∫

^dVρ^(r)r²^sin²θ = I^ω

ρ_e(r) = Q

M ρ^(r)

µ = dV ρ_e(r) v

2πr

(

πr²sin²θ

)

∫

µ = Q 2M S

= Q

2M ω dV ρ(r)r

∫

²sin²θ

rsinθ

I=Qv/2πrsinθ

I S

(21)

Momento magnetico

•  In meccanica quantistica solo alcuni valori di S sono permessi:

•  Il momento magnetico si può esprimere come

–  g fattore giromagnetico

•  p, n, e (e ν) hanno tutti s=1/2

–  possono trovarsi in due stati di S_z=±ℏ/2 –  g=2 per particelle elementari di spin ½ –  κ=g-2: anomalia magnetica

•  Per l’elettrone:

•  Per il protone:

•  Per il neutrone:

21

S = s(s +1)! s = 0, ¹₂,1, ₂³… S_z = m! m = −s,−s +1,…+ s µ! = g Q!

2M

"

S

!

"

# $

%&

µ_e =µ_B = e! 2m_e

Spesso gergalmente si dice S=sℏ

= 5.788381×10⁻¹¹MeV / T ge ≈ 2

µ_p = 2.79µ_N = 2.79 e!

2m_p κ_p = 3.58 µ_n = −1.91µ_N κ_n = −3.82

µ_N = 3.152451×10⁻¹⁴MeV / T

Magnetone di Bohr

Magnetone nucleare

(22)

Momento magnetico

•  Nuclei stabili con A pari (tipicamente Z-N pari-pari) presentano S=0 –  µ=0

•  Nuclei con A dispari (Z-N pari-dispari/dispari pari) hanno valori osservati -3µ_N<µ<7µ_N.

–  molto minore del numero di nucleoni disponibili

•  I momenti magnetici dei singoli nucleoni tendono a compensarsi l’uno con l’altro.

(23)

Dimensione dei nuclei

•  Primi studi sulla struttura interna del nucleone effettuati con esperimenti di scattering elastico e-nucleo

•  Acceleratore lineare a Stanford

•  Serie di esperimenti con elettroni di energia 150-550 MeV e diversi tipi di bersaglio.

•  McAllister e Hofstadter, Phys. Rev. 102 851 (1956)

Premio Nobel nel 1961

23

(24)

Cinematica

•  Consideriamo un elettrone

incidente su un nucleo a riposo.

–  Per fissare le idee definiamo l’asse z come la direzione del moto.

–  Possiamo trascurare la massa dell’elettrone.

–  m_N massa del nucleo.

•  L’elettrone scambia un fotone con il nucleo, trasferendogli un

tetramomento q.

–  W massa dello stato adronico finale:

k =

(

E 0 0 E

)

k =!

(

E! E sinθ 0! E cosθ!

)

p =

(

m_N 0 0 0

)

q =

(

E − "E − "E sinθ 0 E − "E cosθ

)

W² = p + q

( )

² ^{= m}^N² ^{+ 2 pq}

( )

^{+ q}²

e^-

N adroni

(25)

Cinematica: Invarianti relativistiche

•  Ci sono tre tetravettori indipendenti: p, k, k′

–  Possono venire combinati a dare tre quantità scalari

•  Energia nel centro di massa

•  Due a scelta tra:

–  Momento trasferito

–  Per comodità si definisce Q² come quantità positiva:

–  Frazione di energia trasferita

–  x_B

•  Caso elastico:

–  un vincolo aggiuntivo

25

s = p + k

( )

² ^{= m}^N² ^{+ 2m}^N^E

q² = k − "

(

k

)

² = −2 k "

( )

k = −2E "E (1− cosθ ) = −4E "E sin^{2 1}₂θ Q² = −q²

y = 2 pq

( )

2 pk

( )

⁼

E − "E

E 0 < y < 1 x = Q²

2 pq

( )

0 < x < 1 W² = m_N²

W² = p + q

( )

² ^{= m}^N² ^{+ 2 pq}

( )

^{+ q}² ^{⇒ m}^N² ^{= m}^N² ^{+ 2 pq}

( )

^{+ q}² ^{⇒ x =} ^−q

2

2 pq

( )

^{= 1}

2E !E (1− cosθ )

2m_N

(

E − !E

)

^{= 1 ⇒}

"

E

E = 1

1+ E / m

(

_N

)

^{(1− cosθ )} ⁼

1

1+ 2E / m

(

_N

)

^sin^{2 1}²^θ

(26)

Sezione d’urto di Mott

•  Quando si considera lo spin dell’elettrone, la sezione d’urto di Rutherford viene modificata.

•  Si ottiene la sezione d’urto di Mott:

•  Se si considera un nucleone con spin ½:

dσ dΩ

"

#$ %

&

'

Mott

= α² ^cos^{2 1}₂θ 4E²sin^{4 1}₂θ

E( E dσ

dΩ = α²

4E²sin^{4 1}₂θ

"

E

E ⇒

Correzione per tenere in conto che siamo nel sistema del laboratorio

dσ

dΩ = α² ^cos^{2 1}₂θ 4E² sin^{4 1}₂θ

"

E

E 1+ Q²

2m_N² tan^{2 1}₂θ

#

$% &

'( = dσ dΩ

"

#$ %

&

'

Mott

1+ Q²

2m_N² tan^{2 1}₂θ (

)* +

,-

(27)

Formula di Rosenbluth

•  Nel caso generale:

•  Solitamente le funzioni W sono espresse in termine dei fattori di forma adimensionali F₁ ed F₂.

•  Che si possono interpretare come i termini che definiscono il contributo della carica e del momento magnetico anomalo:

κ=g-2 nell’interazione e-p.

27

dσ

dΩ = α² ^cos^{2 1}₂θ 4E²sin^{4 1}₂θ

"

E E

W₂

( )

Q²

4m_N² +W₁

( )

Q²

2m_N² tan^{2 1}₂θ

#

$

%%

&

' ((

W₁

( )

Q² ^{= Q}²

(

^F¹^(q²^{) +κ F}²^(q²⁾

)

² ^W²

( )

^Q² ^{= 4m}^N² ^F¹²^(q²^{) + κ}_4m²^Q²

N

2 F₂²(q²)

!

"

## $

%&&

(28)

Interpretazione dei fattori di forma

•  La sezione d’urto è proporzionale al quadrato dell’elemento di matrice

•  Nel caso di scattering di Rutherford

•  Per una generica distribuzione di carica normalizzata ρ(r):

∫

drρ(r) = 1 f V i =

∫

drψ^*_f ( )^r ^{V r}( )^ψi( )r

V r( ) ⁼ ^Ze

2

4πε0r f V i = dre

i

!p_f⋅r Ze² 4πε₀^r^e

−i

!p_i⋅r

∫

⁼ ^Ze

2

4πε₀

4π!²

q² q = p_i − p_f

V r( ) ⁼ ^{d !}^r ^Ze

2ρ( !r ) 4πε₀ | r − !r |

∫

f V i = dre

i

!p_f⋅r

d "r Ze²ρ( "r ) 4πε0 | r − "r |

%

∫

&

' (

)*e⁻

i

!p_i⋅r

∫

⁼ ^{dr d !}^r ^Ze

2ρ( !r ) 4πε₀ | r − !r |

∫

^e⁻

i

!q⋅r

∫

= d !rρ( !r )e⁻

i

!q⋅ !r

dr Ze²

4πε0 | r − !r |

∫

^e⁻

i

!q⋅(r− !r )

∫

⁼ ₄^Ze_πε²

0

4π!² q²

!

"

# $

%& d 'r ρ( 'r )e⁻

i

!q⋅ 'r

∫

(29)

Interpretazione dei fattori di forma

•  Se il processo di scattering avviene non in un punto, ma su una distribuzione di densità compare un contributo dovuto alla propagazione delle onde piane

corrispondenti alle funzioni d’onda della particelle incidente e di quella diffusa:

•  Per particelle puntiformi

•  A basso momento trasferito, q≪1/r, e, sviluppando l’integrale, si ottiene una serie di potenze in q:

–  Assumendo ρ a simmetria sferica:

•  Se q≫1/r, l’integranda oscilla fortemente e

29

F(q²) = dre

∫

^{−i "}^{k ⋅r}ρ(r)e^ik⋅r ⁼

∫

^dre^iq⋅r^ρ(r)

F(q²) = 1

F(q²) = dre

∫

^iq⋅rρ(r) = drρ(r) 1+ iq ⋅ r − 1

2

(

q ⋅ r

)

² ^+...

$

%&

' ()=

∫

drρ(r) = 1

∫

drρ(r)iq ⋅ r =

∫

⁰

−1

2

∫

drρ(r) q ⋅ r

( )

² ⁼⁻ ¹₆^q² ^r² Primo termine dello sviluppo:

0ggetto della misura di Hofstadter

F(q²) → 0 per q² → ∞

(30)

•  La figura mostra uno schema semplificato della camera di scattering

•  Gli elettroni normalmente attraversano la camera di scattering senza interagire con il bersaglio e vengono misurati dal rivelatore monitor che permette così di misurare il numero di elettroni di ogni impulso

La camera di scattering

•  Occasionalmente gli elettroni interagiscono nel bersaglio

•  Gli elettroni deflessi dell'angolo a cui è posto il rivelatore entrano nelo

spettrometro.

•  Lo spettrometro misura il momento per verificare lo scattering elastico:

E!

E = 1

1+ E

m_N (1− cosθ)

(31)

Risultati per idrogeno

a)  Sezione d’urto di Mott

b)  Particella di Dirac

c)  Sezione d’urto di Rosenbluth per protone puntiforme

La curva sperimentale indica una correzione:

con

31

F₁

( )

Q² ^{= F}²

( )

^Q² ^{= 1−}^Q₆² ^r^p²

r_p² = 0.74 ± 0.24 fm

F₁( )Q² ^{= F}²( )^Q² ^{= 1}

dσ

dΩ= α² 4E²sin^{4 1}₂θ

"

E

E cos^{2 1}₂θ F1

2+κ²Q² 4m_p² F₂²

#

$%% &

'((+ Q²

2M(F₁ +κ F2)²^tan^{2 1}²^θ

)

* ++

, - .. dσ

dΩ= α² 4E²sin^{4 1}₂θ

"

E

E cos^{2 1}₂θ

dσ

dΩ= α² 4E²sin^{4 1}₂θ

"

E

E cos^{2 1}₂θ 1+ Q²

2M tan^{2 1}₂θ

#

$% &

'(

(32)

Risultati per particelle α

•  Siccome il nucleo di He ha spin 0, il confronto viene fatto con la formula di Mott

–  Scalata per Z²

•  Anche in questo caso accordo con un fattore di forma:

F₁

( )

Q² ^{= 1−}^Q₆² ^r^He² r_He² = 1.60 ± 0.10 fm dσ

dΩ = Z²α²

4E²sin^{4 1}₂θ^* ^cos

2 12θ^*F₁²

( )

Q²

(33)

Un’analogia con l’ottica

•  Il fenomeno è simile a quello della diffrazione:

–  Interferenza tra i fronti d’onda diffusi dai vari centri di scattering

33

Frosch et al, “Structure of the He⁴ Nucleus from Elastic Electron Scattering”, Phys. Rev. 160 874 (1967)

A( θ ) = dye

ⁱ

2π

λ ^ysinθ

−d/2

∫

d/2

x y

θ

e^ik⋅x k = 2π

λ

( )

1, 0

ρ x

( )

⁼^{δ x}

( )

ϑ d / 2− | y |

( )

e^{i !}^{k ⋅x} k =! 2π

λ

(

cosθ,sinθ

)

=

∫

dxρ x

( )

^e^{i( !}^{k −k)⋅x}

(34)

•  Gli studi sistematici sui nuclei furono completati da Hofstadter^† negli anni 50 presso l’Università di Stanford

–  Ricostruzione di ρ(r)

–  Altri esempi di studi più recenti

•  †R. Hofstadter, Electron Scattering and Nuclear Structure Rev. Mod. Phys 28 p.214 (1956)

•  http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1961/hofstadter-bio.html

Altri nuclei

197Au

16O ¹⁰⁹Ag ²⁰⁸Pb

208Pb

(35)

Le dimensioni dei nuclei

35

•  I risultati di molte misure delle dimensioni nucleari sono stati trovati in accordo con la legge empirica

•  La conseguenza di questa legge empirica è che la densità della materia nucleare è costante

•  La densità della materia nucleare è molto elevata R = r_oA^1/3

r

_o

= 1.2 ×10

⁻¹⁵

m = 1.2 fm

V = 4

3π R³ = 4

3πr_o³A M_A ≈ Am_N

ρ = M_A

V = Am_N 4

3πr_o³A

= m_N 4 3πr_o³

ρ ∼ 10

¹⁴

g / cm

³

Proprietà dei nuclei