Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Proprietà dei nuclei
Lezione 2
Classificazione dei nuclei
• I nuclei sono costituiti da protoni e neutroni.
• La carica del nucleo è data dal numero di protoni:
– numero atomico Z
– determina le proprietà chimiche dell’atomo risultante – di solito indicato attraverso il simbolo dell’elemento
chimico
• La massa del nucleo dipende principalmente dal numero di nucleoni:
– numero di massa A
– somma di Z e del numero di neutroni N
9 Be Berillio: Z=4
Numero di
massa A=9 Neutroni N=A-Z=5
N.B.: se fosse necessario indicare esplicitamente Z, useremo la notazione:
AZX
Classificazione dei nuclei
• Nuclei con lo stesso Z ma diverso N sono detti isotopi dello stesso elemento.
• Nuclei con lo stesso A, ma diverso Z, sono detti isobari.
• Nuclei con lo stesso N, ma diverso Z, sono detti isotoni.
• Un nucleo con determinati valori di A e Z può trovarsi in stati eccitati, isomeri o
risonanze, da cui solitamente decade nello stato
fondamentale emettendo radiazione elettromagnetica (raggi γ)
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N
→
Z
→
BNL Nuclide Map
http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/
Carta dei Nuclidi
BNL Nuclide Map
http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/
20983
Bi
Masse dei nuclei
• La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti:
• La differenza di massa è dovuta all’energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari:
– Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità.
• Una quantità fisicamente importante è l’energia media di legame per nucleone:
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M (A, Z ) < Zmp + (A − Z )mn
B.E. / c2 = M (A, Z ) − Zmp − (A − Z )mn
mp = 938.27 MeV / c2 mn = 939.57 MeV / c2
B
A = − B.E.
A = "#Zmp + (A − Z )mn − M (A, Z )$%c2 A
Spettrometro di massa
• Per la misura di masse atomiche si usano spettrometri di massa
• Il principio di funzionamento è il seguente – una sorgente di ioni
• gli atomi sono ionizzati e accelerati
– un selettore di velocità
• solo le particelle che viaggiano in linea retta attraversano i collimatori
• La forza elettrica e la forza magnetica si bilanciano
– uno spettrometro magnetico
• masse diverse hanno raggi diversi
sorgente di ioni selettore v
v! F!E = q !
Ev F!B = q!
v × ! Bv
F!E = −! FB
spettrometro magnetico qvB = m v2 R
mv = qBR
m = q Bv Ev BR
collimatori
v = Ev Bv
B!v E!v
R
Spettrometro di massa
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• Interessano precisioni sulle masse ~0.1 MeV.
– ~10-6 per atomi con A~100
• Per poter determinare la massa con precisione occorre
– misurare con precisione R
– misurare con precisione Ev, Bv, B
• stabilità ed uniformità
• Si ottengono precisioni migliori per rapporti di masse
– si utilizzano due molecole che hanno circa la stessa massa; ad esempio:
– si possono utilizzare le stesse regolazioni di E e B per le due molecole
– Le molecole passano attraverso le stesse regioni dell’apparato
• Il rapporto delle masse dipende solo dai raggi:
• Il carbonio consente numerose possibilità di realizzare le masse volute.
m = q Bv Ev BR
160Gd ≈ C12H16 AC12H16 = 12 ×12 + 16 ×1
m1 = q Bv Ev BR1 m2 = qBv
Ev BR2 C12H16
160Gd
m1 m2 = R1 R2
Masse atomiche
• Normalmente viene tabulato il peso atomico:
– include le masse degli elettroni e la loro piccola energia di legame Be: – espresso in unified atomic mass unit (u):
1/12 della massa di un atomo di 12C – 1 u = 931.49 MeV/c2 = 1.6605 × 10-27 kg
– NA = 6.022142×1023 mol-1 è il numero di atomi contenuti in 12 g di 12C
• Si definisce eccesso di massa la differenza rispetto ad A u:
Mass excess = m(A, Z) − A u
m(A, Z ) = M (A, Z) + Zme − Be(Z ) / c2
Mass excess [keV/c2] Atomic mass [µu]
Isotopi e pesi atomici
• Uno spettrometro di massa può venire usato come separatore di isotopi.
– sia come analisi di composizione
– che come produzione di specifici nuclidi
• I pesi atomici degli elementi tengono conto dell’abbondanza isotopica.
– Tipicamente differiscono da A di frazioni in 10-3, – eccetto quanto sono presenti diversi isotopi con
abbondanza comparabile.
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Energia di legame per nucleone
Binding energy curve - common isotopes.Licensed under Public Domain via Commons.
Energia di legame per nucleone
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Binding energy curve - common isotopes.
Licensed under Public Domain via Commons.
• Osservazione:
– l’energia media di legame è approssimativamente costante:
B/A ~ 8 MeV
– l’interazione nucleare deve essere a corto range.
Interazioni a lungo e corto range
• Interazioni a lungo range (es. interazione Coulombiana):
– una particella interagisce con tutte le altre particelle presenti
– energia della particella: A+1∝A
– energia totale proporzionale al numero di coppie: E∝A(A-1)/2
• Interazioni a breve range (es. legami molecolari)
– una particella interagisce solo con le particelle più vicine
– energia della particella: A+1~costante – energia totale proporzionale al numero di
particelle: E∝A
Energia di legame per nucleone
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Binding energy curve - common isotopes.
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• Osservazione:
– esiste un massimo in corrispondenza del 56Fe.
– Sotto tale A, è energeticamente conveniente combinare nuclei leggeri in un nucleo pesante:
• fusione nucleare
• processo di nucleosintesi primordiale e stellare.
– Al di sopra i nuclei devono venire prodotti da altri meccanismi:
• esplosioni di supernovae.
Energia di legame per nucleone
Binding energy curve - common isotopes.Licensed under Public Domain via Commons.
• Osservazione:
– L’energia media di legame presenta irregolarità nella regione di basse masse:
• modelli nucleari dovranno spiegare queste proprietà
– In particolare 4He (Z=2, N=2) è più strettamente legato degli stati vicini:
• assenza di nuclei stabili con A=5 e 8
• possibilità di decadimenti α di elementi pesanti
Le barriere di massa A=5, A=8
• Energia di separazione
– Energia minima necessaria da fornire ad un nucleone per estrarlo dal nucleo.
– Per protoni:
– Per neutroni
• Sp(5Li) e Sn(5He) sono negative:
– gli stati legati sono instabili.
• Infine abbiamo che:
m(8Be)>2m(4He)
– tale nucleo decade
immediatamente in due α
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N
→
Z
→
A=5 A=8
Sp
( )
ZAX = m"#(
Z−1A−1X)
+ m( )
1H − m( )
ZAX $%c2
Sn
( )
ZAX = m"#(
A−1ZX)
+ mn − m( )
ZAX $%c2
Stabilità dei nuclei
Stabile
N Z Nuclei stabili
Pari Pari 156
Pari Dispari 48
Dispari Pari 50
Dispari Dispari 5
Stabilità dei nuclei
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Stabile β+
β-
β
-AZ
X→
AZ+1X
β
+AZ
X→
AZ-1X
Decadimenti β
Decadimenti tra nuclei isobari:
• β-: AZ-1X→AZX+e-+νe
– permesso se: m(A,Z-1)>m(A,Z)
• β+: AZX→AZ-1X+e++νe
– permesso se: m(A,Z)>m(A,Z-1)+2me
• Cattura Elettronica (EC): AZX+e-→AZ-1X+νe – permesso se: m(A,Z)>m(A,Z-1)
Tra due isobari contigui (|ΔZ|=1) è sempre permesso o un decadimento β- o un EC
– β+ sempre accompagnato da EC – sequenze di decadimenti fino a
raggiungere l’isotono più stabile:
valle di stabilità
– se A pari, nuclei dispari-dispari decadranno in pari-pari
– possono esserci più nuclei pari-pari stabili
N.B.: masse atomiche
Stabilità dei nuclei
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Stabile β+
β-
emissione di n
α
AZX→
A-4Z-2X
α
Fissione spontanea
emissione
di p
Momento magnetico
• Una particella può essere dotata di momento angolare: spin S
• In una visione classica, in cui una distribuzione di massa ruota con velocità angolare ω attorno al proprio asse:
– I = momento d’inerzia
• Se abbiamo una corrispondente distribuzione di carica:
• la particella presenta anche un momento magnetico:
S = dV
∫
ρ(r) r sin(
θω) (
r sinθ)
S = dV
∫
ρ(r)v × r=ω
∫
dVρ(r)r2sin2θ = Iωρe(r) = Q
M ρ(r)
µ = dV ρe(r) v
2πr
(
πr2sin2θ)
∫
µ = Q 2M S
= Q
2M ω dV ρ(r)r
∫
2sin2θrsinθ
rsinθ
I=Qv/2πrsinθ
I S
Momento magnetico
• In meccanica quantistica solo alcuni valori di S sono permessi:
• Il momento magnetico si può esprimere come
– g fattore giromagnetico
• p, n, e (e ν) hanno tutti s=1/2
– possono trovarsi in due stati di Sz=±ℏ/2 – g=2 per particelle elementari di spin ½ – κ=g-2: anomalia magnetica
• Per l’elettrone:
• Per il protone:
• Per il neutrone:
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S = s(s +1)! s = 0, 12,1, 23… Sz = m! m = −s,−s +1,…+ s µ! = g Q!
2M
"
S
!
!
"
# $
%&
µe =µB = e! 2me
Spesso gergalmente si dice S=sℏ
= 5.788381×10−11MeV / T ge ≈ 2
µp = 2.79µN = 2.79 e!
2mp κp = 3.58 µn = −1.91µN κn = −3.82
µN = 3.152451×10−14MeV / T
Magnetone di Bohr
Magnetone nucleare
Momento magnetico
• Nuclei stabili con A pari (tipicamente Z-N pari-pari) presentano S=0 – µ=0
• Nuclei con A dispari (Z-N pari-dispari/dispari pari) hanno valori osservati -3µN<µ<7µN.
– molto minore del numero di nucleoni disponibili
• I momenti magnetici dei singoli nucleoni tendono a compensarsi l’uno con l’altro.
Dimensione dei nuclei
• Primi studi sulla struttura interna del nucleone effettuati con esperimenti di scattering elastico e-nucleo
• Acceleratore lineare a Stanford
• Serie di esperimenti con elettroni di energia 150-550 MeV e diversi tipi di bersaglio.
• McAllister e Hofstadter, Phys. Rev. 102 851 (1956)
Premio Nobel nel 1961
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Cinematica
• Consideriamo un elettrone
incidente su un nucleo a riposo.
– Per fissare le idee definiamo l’asse z come la direzione del moto.
– Possiamo trascurare la massa dell’elettrone.
– mN massa del nucleo.
• L’elettrone scambia un fotone con il nucleo, trasferendogli un
tetramomento q.
– W massa dello stato adronico finale:
k =
(
E 0 0 E)
k =!
(
E! E sinθ 0! E cosθ!)
p =
(
mN 0 0 0)
q =
(
E − "E − "E sinθ 0 E − "E cosθ)
W2 = p + q
( )
2 = mN2 + 2 pq( )
+ q2e-
e-
N adroni
Cinematica: Invarianti relativistiche
• Ci sono tre tetravettori indipendenti: p, k, k′
– Possono venire combinati a dare tre quantità scalari
• Energia nel centro di massa
• Due a scelta tra:
– Momento trasferito
– Per comodità si definisce Q2 come quantità positiva:
– Frazione di energia trasferita
– xB
• Caso elastico:
– un vincolo aggiuntivo
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s = p + k
( )
2 = mN2 + 2mNEq2 = k − "
(
k)
2 = −2 k "( )
k = −2E "E (1− cosθ ) = −4E "E sin2 12θ Q2 = −q2y = 2 pq
( )
2 pk
( )
=E − "E
E 0 < y < 1 x = Q2
2 pq
( )
0 < x < 1 W2 = mN2W2 = p + q
( )
2 = mN2 + 2 pq( )
+ q2 ⇒ mN2 = mN2 + 2 pq( )
+ q2 ⇒ x = −q2
2 pq
( )
= 12E !E (1− cosθ )
2mN
(
E − !E)
= 1 ⇒"
E
E = 1
1+ E / m
(
N)
(1− cosθ ) =1
1+ 2E / m
(
N)
sin2 12θSezione d’urto di Mott
• Quando si considera lo spin dell’elettrone, la sezione d’urto di Rutherford viene modificata.
• Si ottiene la sezione d’urto di Mott:
• Se si considera un nucleone con spin ½:
dσ dΩ
"
#$ %
&
'
Mott
= α2 cos2 12θ 4E2sin4 12θ
E( E dσ
dΩ = α2
4E2sin4 12θ
"
E
E ⇒
Correzione per tenere in conto che siamo nel sistema del laboratorio
dσ
dΩ = α2 cos2 12θ 4E2 sin4 12θ
"
E
E 1+ Q2
2mN2 tan2 12θ
#
$% &
'( = dσ dΩ
"
#$ %
&
'
Mott
1+ Q2
2mN2 tan2 12θ (
)* +
,-
Formula di Rosenbluth
• Nel caso generale:
• Solitamente le funzioni W sono espresse in termine dei fattori di forma adimensionali F1 ed F2.
• Che si possono interpretare come i termini che definiscono il contributo della carica e del momento magnetico anomalo:
κ=g-2 nell’interazione e-p.
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dσ
dΩ = α2 cos2 12θ 4E2sin4 12θ
"
E E
W2
( )
Q24mN2 +W1
( )
Q22mN2 tan2 12θ
#
$
%%
&
' ((
W1
( )
Q2 = Q2(
F1(q2) +κ F2(q2))
2 W2( )
Q2 = 4mN2 F12(q2) + κ4m2Q2N
2 F22(q2)
!
"
## $
%&&
Interpretazione dei fattori di forma
• La sezione d’urto è proporzionale al quadrato dell’elemento di matrice
• Nel caso di scattering di Rutherford
• Per una generica distribuzione di carica normalizzata ρ(r):
∫
drρ(r) = 1 f V i =∫
drψ*f ( )r V r( )ψi( )rV r( ) = Ze
2
4πε0r f V i = dre
i
!pf⋅r Ze2 4πε0re
−i
!pi⋅r
∫
= Ze2
4πε0
4π!2
q2 q = pi − pf
V r( ) = d !r Ze
2ρ( !r ) 4πε0 | r − !r |
∫
f V i = dre
i
!pf⋅r
d "r Ze2ρ( "r ) 4πε0 | r − "r |
%
∫
&
' (
)*e−
i
!pi⋅r
∫
= dr d !r Ze2ρ( !r ) 4πε0 | r − !r |
∫
e−i
!q⋅r
∫
= d !rρ( !r )e−
i
!q⋅ !r
dr Ze2
4πε0 | r − !r |
∫
e−i
!q⋅(r− !r )
∫
= 4Zeπε20
4π!2 q2
!
"
# $
%& d 'r ρ( 'r )e−
i
!q⋅ 'r
∫
Interpretazione dei fattori di forma
• Se il processo di scattering avviene non in un punto, ma su una distribuzione di densità compare un contributo dovuto alla propagazione delle onde piane
corrispondenti alle funzioni d’onda della particelle incidente e di quella diffusa:
• Per particelle puntiformi
• A basso momento trasferito, q≪1/r, e, sviluppando l’integrale, si ottiene una serie di potenze in q:
– Assumendo ρ a simmetria sferica:
• Se q≫1/r, l’integranda oscilla fortemente e
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F(q2) = dre
∫
−i "k ⋅rρ(r)eik⋅r =∫
dreiq⋅rρ(r)F(q2) = 1
F(q2) = dre
∫
iq⋅rρ(r) = drρ(r) 1+ iq ⋅ r − 12
(
q ⋅ r)
2 +...$
%&
' ()=
∫
drρ(r) = 1
∫
drρ(r)iq ⋅ r =
∫
0−1
2
∫
drρ(r) q ⋅ r( )
2 =− 16q2 r2 Primo termine dello sviluppo:0ggetto della misura di Hofstadter
F(q2) → 0 per q2 → ∞
• La figura mostra uno schema semplificato della camera di scattering
• Gli elettroni normalmente attraversano la camera di scattering senza interagire con il bersaglio e vengono misurati dal rivelatore monitor che permette così di misurare il numero di elettroni di ogni impulso
La camera di scattering
• Occasionalmente gli elettroni interagiscono nel bersaglio
• Gli elettroni deflessi dell'angolo a cui è posto il rivelatore entrano nelo
spettrometro.
• Lo spettrometro misura il momento per verificare lo scattering elastico:
E!
E = 1
1+ E
mN (1− cosθ)
Risultati per idrogeno
a) Sezione d’urto di Mott
b) Particella di Dirac
c) Sezione d’urto di Rosenbluth per protone puntiforme
La curva sperimentale indica una correzione:
con
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F1
( )
Q2 = F2( )
Q2 = 1−Q62 rp2rp2 = 0.74 ± 0.24 fm
F1( )Q2 = F2( )Q2 = 1
dσ
dΩ= α2 4E2sin4 12θ
"
E
E cos2 12θ F1
2+κ2Q2 4mp2 F22
#
$%% &
'((+ Q2
2M(F1 +κ F2)2tan2 12θ
)
* ++
, - .. dσ
dΩ= α2 4E2sin4 12θ
"
E
E cos2 12θ
dσ
dΩ= α2 4E2sin4 12θ
"
E
E cos2 12θ 1+ Q2
2M tan2 12θ
#
$% &
'(
Risultati per particelle α
• Siccome il nucleo di He ha spin 0, il confronto viene fatto con la formula di Mott
– Scalata per Z2
• Anche in questo caso accordo con un fattore di forma:
F1
( )
Q2 = 1−Q62 rHe2 rHe2 = 1.60 ± 0.10 fm dσdΩ = Z2α2
4E2sin4 12θ* cos
2 12θ*F12
( )
Q2Un’analogia con l’ottica
• Il fenomeno è simile a quello della diffrazione:
– Interferenza tra i fronti d’onda diffusi dai vari centri di scattering
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Frosch et al, “Structure of the He4 Nucleus from Elastic Electron Scattering”, Phys. Rev. 160 874 (1967)
A( θ ) = dye
i2π
λ ysinθ
−d/2
∫
d/2x y
θ
eik⋅x k = 2π
λ
( )
1, 0ρ x
( )
=δ x( )
ϑ d / 2− | y |( )
ei !k ⋅x k =! 2π
λ
(
cosθ,sinθ)
=
∫
dxρ x( )
ei( !k −k)⋅x• Gli studi sistematici sui nuclei furono completati da Hofstadter† negli anni 50 presso l’Università di Stanford
– Ricostruzione di ρ(r)
– Altri esempi di studi più recenti
• †R. Hofstadter, Electron Scattering and Nuclear Structure Rev. Mod. Phys 28 p.214 (1956)
• http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1961/hofstadter-bio.html
Altri nuclei
197Au
16O 109Ag 208Pb
208Pb
Le dimensioni dei nuclei
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• I risultati di molte misure delle dimensioni nucleari sono stati trovati in accordo con la legge empirica
• La conseguenza di questa legge empirica è che la densità della materia nucleare è costante
• La densità della materia nucleare è molto elevata R = roA1/3
r
o= 1.2 ×10
−15m = 1.2 fm
V = 4
3π R3 = 4
3πro3A MA ≈ AmN
ρ = MA
V = AmN 4
3πro3A
= mN 4 3πro3